数学基础傅立叶变换.pptx

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1、傅里叶变换定理（1 1）（1）线性定理：如果 （波的叠加原理）则有（2）相似性定理：如果 （缩放和反演定理）则有（单缝衍射，缝窄衍射变宽）第1页/共20页傅里叶变换定理（2 2）（3）位移定理：如果则有，函数在空域中的平移，带来频域中的相移同时，函数在空域中的相移，带来频域中的平移第2页/共20页傅里叶变换定理（3 3）（4）帕色伐（Parseval）定理：如果 则有：该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。第3页/共20页（5）卷积定理：如果则有即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积卷积定理为傅里叶变换的计算提供了另一

2、个方便的途径。傅里叶变换定理（傅里叶变换定理（4 4）第4页/共20页傅里叶变换定理（5 5）（6）傅里叶积分定理：在函数 的各个连续点上有 对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“倒立像”。第5页/共20页二维傅里叶变换定义若函数 在整个平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅里叶变换定义为 傅里叶变换记作函数 的傅里叶反变换为傅里叶反变换记作 第6页/共20页傅里叶频谱概念和狄里赫利条件根据欧拉公式，是频率为 的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数 是各种频率为 的余（正）弦函数的叠加，叠加时的权重因子是 。因此傅里叶变换 常称为函数

3、的频谱傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和狄里赫利条件是其中一种狄里赫利条件可具体表述为：“在任一有限矩形区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，而且没有无穷大间断点”第7页/共20页关于存在性的两点说明在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如余（正）弦函数、阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的，而且都不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可

4、能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义和广义的区别 第8页/共20页二维不变线性系统的传递函数 如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为 同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为 根据卷积定理有 即称做不变线性系统的的传递函数 第9页/共20页传递函数的意义空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递”为输出过程中的作用，因而称为传递函数传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各种频率

5、基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些基元成分的初位相传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作位相传递函数第10页/共20页空间频率的两种意义空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，其大小是没有限制的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm）表示出的

6、意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别第11页/共20页不变线性系统的本征函数 如果函数 满足以下条件 （式中 为一复常数）则称为算符所表征的系统的本征函数。这就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，它相应的输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。前面讲的基元函数复指数函数就是线性不变系统的本征函数 即物理光学中已经说明光波可以用复指数函数表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数表示的光输入变为复指数函数表示的光输出的不变线性系统第12页/共20页非相干成像系统的本征函数（1 1）下面

7、再讨论其脉冲响应是实函数的一类特殊的空间不变线性系统，它把一个实值输入变换为一个实值输出。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有 由于 因而由此可见，这种系统振幅传递函数是偶函数，位相传递函数是奇函数 第13页/共20页常用函数及其傅里叶变换（1）常数c（2）函数（3）余弦函数（4）正弦函数第14页/共20页非相干成像系统的本征函数（2 2）余弦函数或正弦函数是这类系统的本征函数，输入函数为余弦函数 对应的频谱为该不变线性系统输出函数频谱则为 系统输出函数相应为 第15页/共20页非相干成像系统的本征函数（3 3）因而有：这表明，

8、对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。第16页/共20页级联系统 下图表示的是两个级联在一起的空间不变线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入第17页/共20页两个系统级联的传递函数对于总的系统 和 分别是其输入和输出，因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的传递函数为 第18页/共20页n n个空间不变线性系统的级联n个空间不变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传递函数分别为 用模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到振幅传递函数和位相传递函数的如下关系级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者说光学链就是这种情况。第19页/共20页谢谢您的观看！第20页/共20页