数理方程与特殊函数钟尔杰齐次弦振动方程的分离变量法.pptx

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1、引例引例 有界弦的振动问题有界弦的振动问题u(x,t)=cos t sin x2/16解解 u=f(x+t)+g(x t)2f(x)=sin x+C2g(x)=sin x C 第1页/共16页齐次波动方程分离变量方法齐次波动方程分离变量方法其中其中是已知函数是已知函数设问题的解设问题的解 u(x,t)可以按自变量分离可以按自变量分离u(x,t)=T(t)X(x)将将 utt=T”X,uxx=T X”代入波动方程代入波动方程3/16第2页/共16页utt=a2 uxxT”(t)X(x)=a2T(t)X”(x)常微分方程常微分方程边界条件边界条件:固有值问题固有值问题:X(0)=0X(L)=0T(

2、t)X(0)=0T(t)X(L)=04/16第3页/共16页分三种情形分三种情形:(1);(2);(3)解解 的二次方程的二次方程:(1)通解通解:A=B=0时固有值问题只有零解时固有值问题只有零解X(0)=0X(L)=0边界条件边界条件:5/16第4页/共16页(2)通解通解:X(x)=Ax+BX(0)=0X(L)=0B=0A L+B=0A=B=0时特征值问题只有零解时特征值问题只有零解(3)6/16第5页/共16页通解通解:X(0)=0X(L)=0A=0(n=1,2,)7/16第6页/共16页代入方程代入方程通解通解:弦振动方程的基本解弦振动方程的基本解:un(x,t)=Tn(t)Xn(x

3、)8/16第7页/共16页9/16例例1 Dn=0第8页/共16页Fourier级数级数:设设 f(x)在区间在区间 连续连续设设 f(x)在在 上连续上连续(奇延拓奇延拓)10/16第9页/共16页设设 f(x)在在 0,L上有定义上有定义(奇延拓奇延拓)11/16第10页/共16页波动方程初始条件波动方程初始条件12/16第11页/共16页方程的方程的Fourier解解结论结论:13/16第12页/共16页例例3 设设 a2=10000解解:(n为奇数为奇数)14/16第13页/共16页15/16第14页/共16页习题3.1 3.1（P.56P.56）2(1),2(1,3)2(1),2(1,3)思考题思考题1.偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法有何不同？有何不同？2.比较固有值问题与矩阵特征值问题比较固有值问题与矩阵特征值问题3.偏微分方程分离变量法对于边界条件有何要求偏微分方程分离变量法对于边界条件有何要求？4.如何利用初始条件确定波动方程的级数解中的系如何利用初始条件确定波动方程的级数解中的系数数Cn,Dn?第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页