初一奥数几何图形的计数问题课件.ppt
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1、几何图形的计数问题几何图形的计数问题主讲:刘文峰主讲:刘文峰专题简析专题简析在几何中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数线段的条数,满足某种条件的三角形的三角形的个数个数,若干个图分平面所成的区域数区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析分析,还是可以找到一些处理方法的常用的方法有枚举法、加法原枚举法、加法原理理和和乘法原理法乘法原理法以及以及递推法递推法等例例1、如图165所示,数一数图中有多少条不同的线段?解:解:对于两条线段,只要有一个端点不同,就是不同的线段,我们以左端点为标准,将线段分5类分别计数:(1)、以A为左端点的线段有:AB,AC,AD,AE,AF共
2、5条;(2)、以B为左端点的线段有BC,BD,BE,BF共4条;(3)、以C为左端点的线段有CD,CE,CF共3条;(4)、以D为左端点的线段有DE,DF共2条;(5)、以E为左端点的线段只有EF一条所以,不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)一般地,如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为:n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2例2、图166中有多少个三角形?解:解:以OA为一边的三角形有OAB,OAC,OAD,OAE,OAF共5个;以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数,下同前面已计数过的不再数,下同),它们是OBC,
3、OBD,OBE,OBF;以OC为一边的三角形有OCD,OCE,OCF共3个;以OD为一边的三角形有ODE,ODF共2个;以OE为一边的三角形有OEF一个所以,共有三角形5+4+3+2+1=15(个个)说明:说明:其实,不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数一般地,当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时,它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为:n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2.例例3、(1)、图图167中一共有多少个长方形?(2)、所有这些长方形的面积和是多少?解:解:(1)图中长的一边有5个分点(包括端点),所以,长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)同样
4、,宽的一边上不同的线段也有10条所以,共有长方形1010=100(个)(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5,17,25,26,12,20,21,8,9,1,宽的一边上的10条线段长分别为2,6,13,16,4,11,14,7,10,3所以,所有长方形面积和为(52+56+53)+(172+176+173)+(12+16+13)=(5+17+1)(2+6+3)=14486=12384例例4、图图168中共有多少个三角形?解:解:显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类:最大的三角形1个(即ABC),第二大的三角形有1+2=3(个),第三大的三角
5、形有1+2+3=6(个),第四大的三角形有1+2+3+4=10(个),第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个),最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)我们的计数是有规律的当然,要注意在ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个),所以最小的三角形不是21个而是24个于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个个)图中共有三角形592=118(个个)例例5、图图169中有多少个等腰直角三角形?解:解:图图169中有55+44=41个点在每点标一个数,它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数因此,共有等腰直角三角形48+516+64+104+84
6、+114+161 =268(个)例例6、(1)、图图170(a)中有多少个三角形中有多少个三角形?(2)、图图170(b)中又有多少个三角形?中又有多少个三角形?解:解:(1)图图170(a)中有6条直线一般来说,每3条直线能围成一个三角形,但是这3条直线如果相交于同一点,那么,它们就不能围成三角形了从6条直线中选3条,有 种选法(见说明),每次选出的3条直线围成一个三角形,但是在图170(a)中,每个顶点处有3条直线通过,它们不能围成三角形,因此,共有20-3=17个个三角形(2)、图图1-70(b)中有7条直线,从7条直线中选3条,有765/6=35种选法每不过同一点的3条直线构成一个三角
7、形图图170(b)中,有2个顶点处有3条直线通过,它们不能构成三角形,还有一个顶点有4条直线通过,因为4条直线中选3条有4种选法,即能构成4个三角形,现在这4个三角形没有了,所以,图图170(b)中的三角形个数是:35-2-4=29(个个)说明说明:从6条直线中选2条,第一条有6种选法,第二条有5种选法,共有65种选法但是每一种被重复算了一次,例如l1l2与l2l1实际上是同一种,所以,不同的选法是652=15种从6条直线中选3条,第一条有6种选法,第二条有5种选法,第三条有4种选法,共有654种选法但是每一种被重复计算了6次,例如,111213,111312,121113,121311,13
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