数学二项式定理一新人教A选修.pptx

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1、二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿于牛顿于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 物理是我物理是我的强项的强项数学上我同样有建树数学上我同样有建树第1页/共18页(a+b)2=思考思考:(a+b):(a+b)4 4的展开式是什么的展开式是什么?(a+b)3=复复 习：习：第2页/共18页次数次数:各项的次数等于二项式的次数各项的次数等于二项式的次数项数项数:次数次数+1+1(a+b)

2、2=(a+b)3=复复 习：习：第3页/共18页(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20,则则a2前的系前的系数为数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22 b2(a+b)3=a3+3a2b+3a

3、b2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析第4页/共18页(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式代表着这些项在展开式中出现的次数中出现的次数第5页/共18页每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C40,则则a4前的前的系

4、数为系数为C40恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C41种，则种，则a3b前的系数为前的系数为C41恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，则种，则a2b2前的系数为前的系数为C42恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，则种，则ab3前的系数为前的系数为C43恰有恰有4个取个取b的情况有的情况有C44种，则种，则b4前的系数为前的系数为C44则则(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4第6页/共18页(a+b)n=(a+b)(a+

5、b)n n的展开式是：的展开式是：一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理第7页/共18页二项式定理：二项式定理：n Nn N*注注:(1):(1)上式右边为上式右边为二项展开式二项展开式,各项次数都等于二项式的次数各项次数都等于二项式的次数(2)(2)展开式的项数为展开式的项数为 n+1 n+1 项；项；(3)(3)字母字母a a按降幂排列按降幂排列,次数由次数由n n递减到递减到0 0 字母字母b b按升幂排列按升幂排列,次数由次数由0 0递增到递增到n n(4)(4)二项式系数可写成组合数的形式二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标为二项式的次数组合数的下标为二项式的次数

6、 组合数的上标由组合数的上标由0 0递增到递增到n n第8页/共18页(5)(5)展开式中的第展开式中的第 r+1 r+1 项，项，即通项即通项 T Tr+1r+1=_=_；二项式定理：二项式定理：n Nn N*(6)(6)二项式系数为二项式系数为 _；项的系数为项的系数为 二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积第9页/共18页在二项式定理中，令在二项式定理中，令a=1a=1，b=xb=x，则有：，则有：在上式中，令在上式中，令 x=1x=1，则有：，则有：第10页/共18页解解:直接展开直接展开例：求例：求 的展开式的展开式第11页/共18页先化简后展开先化简后展开例：求例：求 的

7、展开式的展开式解解:第12页/共18页例例2：求：求(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的系数项的系数解：解：(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项是项是所以所以(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的系数是项的系数是280变式练习：变式练习：(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的二项式系数项的二项式系数是是 _注意注意 二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别用一用用一用第13页/共18页例例1 1、展开、展开 练习：展开练习：展开2 2、求、求(x+a)(x+a)1212的展开式中的倒数第的展开式中的倒数第4 4项。项。练习、求练习、求(1+2x)(1+2x)7 7的展开式中第的展开式中第4 4项。项。变式：第四项的二项式系数及系数关键：由项数确定r，利用展开式通项公式求解第14页/共18页例例2(1)2(1)求求 的展开式常数项；的展开式常数项；变式：变式：求求(x(x )9 9的展开式中的展开式中x x3 3的系数。的系数。分析：由展开式通项公式确定r求解第15页/共18页例例3：求：求 展开式中展开式中x3的系数的系数解：解：展开式的通项是展开式的通项是由题意得：由题意得：9-2k=3k=3因此因此x3的系数是的系数是用一用用一用第16页/共18页Thank you！第17页/共18页谢谢您的观看！第18页/共18页