数理方程与特殊函数钟尔杰方程求解叠加原理.pptx

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1、例例1 1 求一维齐次双曲型方程通解求一维齐次双曲型方程通解令令特征方程特征方程Jacobi矩阵矩阵第1页/共16页第2页/共16页 通解通解 u(x,t)=f(x at)+g(x+at)第3页/共16页二阶方程自变量的变换二阶方程自变量的变换:a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f 第4页/共16页其中其中=0=0第5页/共16页特征方程特征方程一般一般第6页/共16页1.由由 a11uxx+2a12uxy+a22uyy=0 构造二次方构造二次方程程3.写出新方程及通解写出新方程及通解.求解求解,得得2.构造线性变换构造线性变换4.将变换表达式代入得原方程通

2、解将变换表达式代入得原方程通解第7页/共16页例例2 2 求方程的通解求方程的通解 uxx+2uxy 3uyy=0=1 1(3)+11+(-3)3=8 通解通解:解解:由特征方程由特征方程变换变换:第8页/共16页例例3 3 求方程求方程 uxx 4x2uyy=0 的通解的通解 解解:由特征方程由特征方程变换变换:通解通解:第9页/共16页例例4.讨论讨论 x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0 的类型的类型,并化为标准型并化为标准型,再求通解再求通解.特征方程特征方程判别式判别式:a122 a11a22=(xy)2 x2y2=0 故故,该微分方程为抛物型该微分方程为抛物型ln y=ln x

3、+C0y=Cx构造变换构造变换:第10页/共16页x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0a11a12a22标准型标准型:通解通解:第11页/共16页物理现象的叠加性：几种不同的因素同时出现时所产生的效果，等于各个因素物理现象的叠加性：几种不同的因素同时出现时所产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效果的总和（叠加）单独出现时所产生的效果的总和（叠加）。在同一时刻同一高度在同一时刻同一高度,B球自由下落球自由下落,A,A球向水平方向射出球向水平方向射出.实验结果是实验结果是A,B两球同时两球同时落地落地A球水平方向的运动不影响竖直球水平方向的运动不影响竖直方向的运动方向的运动,抛射体运动是

4、两个抛射体运动是两个方向运动的叠加方向运动的叠加第12页/共16页u(x1,x2,xn)满足满足二阶线性微分方程二阶线性微分方程 记记引入二阶线性微分算子引入二阶线性微分算子 显然显然:Lc1u1+c2u2=c1 Lu1+c2 Lu2第13页/共16页叠加原理叠加原理1:设设ui满足线性微分方程满足线性微分方程 Lui=fi (i=1,n)则有则有：例例5 求方程求方程 uxx+2uxy 3uyy=x2 的一般解的一般解解解:易证易证 u1=x4/12 是方程是方程 uxx+2uxy 3uyy=x2 的解的解而而 u2=f(y 3x)+g(y+x)是方程是方程 uxx+2uxy 3uyy=0的一般解的一般解故故 u=u1+u2 是方程是方程 uxx+2uxy 3uyy=x2 的一般解的一般解第14页/共16页习题习题2.4（P.36）1、2(1),(3)思考题思考题1.方程方程 a11uxx+2a12uxy+a22uyy=0 特征方程如何特征方程如何构造？构造？2.如何用矩阵表示如何用矩阵表示a11uxx+2a12uxy+a22uyy？3.二阶微分方程化简与二次型化简有何不同二阶微分方程化简与二次型化简有何不同？4.简述线性变换的简述线性变换的Jacobi矩阵在微分方程化简中的矩阵在微分方程化简中的作用作用第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页