文学高等量子力学.pptx

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1、 ,则 第1页/共38页 本征值连续变化，无法编号，用本征值本身给本征矢编号本征值连续变化，无法编号，用本征值本身给本征矢编号连续实变量连续实变量本征方程本征方程第2页/共38页连续本征矢的正交归一化关系连续本征矢的正交归一化关系假设本征矢量有完全性类比假设本征矢量有完全性类比连续函数连续函数第3页/共38页第4页/共38页有限有限说明这种本征矢同说明这种本征矢同Hilbert空间中所有其它归一化矢量空间中所有其它归一化矢量 的内的内积都是有限的。积都是有限的。QM存在这样的算符，其本征值谱在一个区间是存在这样的算符，其本征值谱在一个区间是离散，在另一区间是连续的，则离散，在另一区间是连续的，

2、则第5页/共38页 连续谱的算符连续谱的算符 离散谱的算符离散谱的算符 一部分离散谱一部分离散谱 一部分连续谱一部分连续谱 各种关系一一对应，作一般讨论，希望两种各种关系一一对应，作一般讨论，希望两种情况都适用。约定取和或积分是随意的情况都适用。约定取和或积分是随意的：都适用都适用对对第6页/共38页简洁，适于理论推导，但不具体简洁，适于理论推导，但不具体 4 表象理论表象理论4-1 矢量和算符的矩阵表示矢量和算符的矩阵表示表示表示抽象抽象具体具体例三维物理空间例三维物理空间（x,y,z）(坐标表示坐标表示)一组数字表示一组数字表示(群表示群表示)第7页/共38页选定一组基矢选定一组基矢物理上

3、，取几个有物理意义的物理上，取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组厄米算符构成对易完备组K算符完备组中各算符本征值序号的集合算符完备组中各算符本征值序号的集合第8页/共38页QM，取定这样一组基矢称为取一个表象，该表象用算符完备组，取定这样一组基矢称为取一个表象，该表象用算符完备组K命名，称命名，称K表象。表象。空间中任意矢量空间中任意矢量 ，用它展开：，用它展开：复数复数 在在 上的分量上的分量两矢量的内积：两矢量的内积：分量表示分量表示1第9页/共38页一组数具体表示一个算符一组数具体表示一个算符确定A，确定数第10页/共38页如果把左矢如果把左矢,右矢和算符写成下列矩阵形式右矢和算符写

4、成下列矩阵形式,则上述这些分量关则上述这些分量关系成为矩阵间的乘法关系系成为矩阵间的乘法关系第11页/共38页则矢量的相加、数乘和内积，算符的相加和相乘，算符对矢量的作用等都可用具体的矩阵表示。除加法以外的所有运算全部成为矩阵的乘法，例如：第12页/共38页对两个算符乘积C=AB,有第13页/共38页通过在矢量空间中建立基矢，找到用矩阵具体表示矢量、通过在矢量空间中建立基矢，找到用矩阵具体表示矢量、算符和它们之间的关系，便于具体的运算和求出具体的算符和它们之间的关系，便于具体的运算和求出具体的结果。结果。第14页/共38页对应对应 抽象抽象右矢空间右矢空间内内积积左矢空间左矢空间具体化具体化将

5、抽象矢量空间与具体的新矢量空间将抽象矢量空间与具体的新矢量空间矩阵空间矩阵空间一一对比：一一对比：行矩阵空间行矩阵空间 矩阵矩阵+列矩阵空间列矩阵空间 矩阵矩阵+：在基在基 上的分量上的分量用一组数表示新矢量空间用一组数表示新矢量空间内内积积第15页/共38页一对对偶左右矢空间一对对偶左右矢空间一对对偶行列矩阵空间一对对偶行列矩阵空间算符算符方矩阵共同算符方矩阵共同算符矩矩阵阵乘乘法法第16页/共38页4-2 表象变换表象变换一个空间不同的基一个空间不同的基 矢量和算符的不同表象矢量和算符的不同表象 表象表象K 矢量矢量 算符算符 基矢基矢 完全性关系完全性关系变换关系变换关系表象表象L？已知

6、矩阵表示已知矩阵表示第17页/共38页行行列列按按 序序号号编编号号按按 序序号号编编号号与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有所不同所不同第18页/共38页 是幺正矩阵是幺正矩阵行列编号与行列编号与 相反相反满足满足矢量矢量表象变换表象变换求变换关系求变换关系第19页/共38页 矢量的表象变换矢量的表象变换已知已知写成矩阵形式写成矩阵形式反过来，反过来，矢量的表象变换矢量的表象变换第20页/共38页算符算符反过来，反过来，算符的表象变换算符的表象变换表象变换改变矢量表象变换改变矢量 与算符与算符 的矩阵表示，但不改变的矩阵表示，但不改变 的数值。的数值。实际

7、上，数学上的表象变换实际上，数学上的表象变换 酉变换酉变换复空间复空间欧式空间欧式空间正交变换正交变换保持任意矢量的长度的线性变换保持任意矢量的长度的线性变换幺正变换幺正变换第21页/共38页4-3 若干矩阵运算方矩阵方矩阵的迹定义：的迹定义：的性质：的性质：的行列式：的行列式：第22页/共38页第23页/共38页性质：性质：Proof:第24页/共38页第25页/共38页附：附：=0第26页/共38页第27页/共38页算符算符 的迹和行列式在任何的迹和行列式在任何 表象中有相同的值表象中有相同的值性质：性质：在表象变换下不变在表象变换下不变算符的表象变换是一种相似变换算符的表象变换是一种相似

8、变换知道知道矩阵的相似变换矩阵的相似变换 （方阵）方阵）幺正幺正称称 相似相似数学上定义不要求数学上定义不要求 为幺正为幺正第28页/共38页定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际上为幺正变换）成定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际上为幺正变换）成为对角矩阵为对角矩阵 Proof：采取直接把变换矩阵给出来的证法。采取直接把变换矩阵给出来的证法。第29页/共38页第30页/共38页第31页/共38页第32页/共38页4-4 连续本征值性质连续本征值性质离散离散 连续连续表象理论表象理论有限维空间有限维空间推广推广无限维无限维表象基矢无穷维表象基矢无穷维形式推广形式推广在无穷维空间中取在无穷维空间中取K表象，而厄米算符或对易的厄米算表象，而厄米算符或对易的厄米算符完备组符完备组K具有在某一区间的连续值谱。具有在某一区间的连续值谱。第33页/共38页第34页/共38页第35页/共38页离散表象离散表象连续表象连续表象数列数列函数函数双变量函数（对行矩阵和方阵 同样理解）第36页/共38页所有运算都是矩阵的乘法关系这样把离散连续表象的的记法做到完全的一一对应，统一写成：第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页