数理统计基础.pptx

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1、1 数理统计中的几个概念1.1 总体与个体总体与个体 我们将研究对象的全体所构成的一个集合称为总体或母体,而把组成总体的每一单元成员称为个体.如为研究某厂生产的电子元件的使用寿命分布情况，则总体为该厂生产的所有电子元件，而每一个该厂生产的电子元件都是一个个体.第1页/共49页 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体,总体中的每个元素称为个体.比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命.而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一个随机变量，常用X表示.为方便起见，今后我们把总体与随机变量X等同起来看，即总体就是某随机变量X可能取

2、值的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究.第2页/共49页1.2 简单随机样本简单随机样本 对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息.一般采用两种方法：一是全面调查.如人口普查，该方法常要消耗大量的人力、物力、财力.有时甚至是不可能的，如测试某厂生产的所有电子元件的使用寿命.二是抽样调查.抽样调查是按照一定的方法，从总体X中抽取n个个体.这是我们对总体掌握的信息.数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、估计、推断.因此，要求抽取的这n个个体应具有很好的代表性.第3页/共49页 按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个

3、体进行观察或测试的过程称为随机抽样.从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一个样本.从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次抽样结果的影响.这种抽样方法称为简单随机抽样.由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本.往后如不作特别说明,提到“样本”总是指简单随机样本.第4页/共49页 从总体X中抽取一个个体,就是对随机变量X进行一次试验.抽取n个个体就是对随机变量X进行n次试验,分别记为X1,X2,Xn.则样本就是n维随机变量(X1,X2,Xn).在一次抽样以后,(X1,X2,Xn)就有了一组确定

4、的值(x1,x2,xn),称为样本观测值.样本观测值(x1,x2,xn)可以看着一个随机试验的一个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空间,称为子样空间.第5页/共49页 定义:设X是具有分布函数F(x)的随机变量,若X1,X2,Xn是具有同一分布函数F(x)的相互独立的随机变量,则称(X1,X2,Xn)为从分布函数(或总体F(x)、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本.它们的观察值(x1,x2,xn)称为样本值,又称为X的n个独立的观察值.若(X1,X2,Xn)为X的一个样本,则(X1,X2,Xn)的联合分布函数为 若X具有概率密度p(x),则(X1,X2,Xn)的联合概率密

5、度函数为第6页/共49页总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体推断总体第7页/共49页1.3 统计量统计量 定义：设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,g(X1,X2

6、,Xn)是关于X1,X2,Xn的一个连续函数且g(X1,X2,Xn)中不含有任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)是样本(X1,X2,Xn)的一个统计量.设(x1,x2,xn)是相应于样本(X1,X2,Xn)的样本值,则g(x1,x2,xn)称是g(X1,X2,Xn)的观察值.第8页/共49页1.3 常用的统计量常用的统计量 设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,则第9页/共49页 设（x1,x2,xn）是样本(X1,X2,Xn)的观察值,则第10页/共49页若总体均值若总体均值E(X)E(X)存在，总体方差存在，总体方差D(X)D(X)存在，存在，则由则由X X1 1,X,X2 2

7、,X,Xn n的独立性及同分布性，有的独立性及同分布性，有第11页/共49页证明 定理:设总体X的均值为,方差为2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有第12页/共49页 定理:设总体X的均值为E(X)=,方差D(X)=2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有证明第13页/共49页第14页/共49页解 因为第15页/共49页2 数理统计中常用的三个分布2.1 2分布分布2.1.1 2分布的概念分布的概念第16页/共49页2分布的的密度函数的示意图第17页/共49页2.1.2 2分布的构造分布的构造 定理:设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且XiN(0,1),则统计量第18页/共4

8、9页2.1.3 2分布的性质分布的性质 定理:设12 2(n1),22 2(n2),且12与 22相互独立,则12+22 2(n1+n2).证明 由分布的可加性即可证明.定理:若2 2(n),则E(2)=n,D(2)=2n.证明 因XiN(0,1),故E(Xi2)=D(Xi)=1;D(Xi2)=E(Xi4)-E(Xi2)2=3-1=2,i=1,2,n于是第19页/共49页2.1.4 2分布的上分位点分布的上分位点对于(0,1)给定,称满足条件:的点n2()为n2分布的上 分位点.aca2(n)第20页/共49页2.2 T分布分布2.2.1 T分布的概念分布的概念第21页/共49页T分布的的密度

9、函数的示意图第22页/共49页2.2.2 T分布的构造分布的构造第23页/共49页2.2.3 T分布的性质分布的性质(1)f(t)(1)f(t)关于t=0t=0(纵轴)对称，且 E(T)=0，D(T)0(2)f(t)(2)f(t)的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即 第24页/共49页2.2.4 T分布的上分位点分布的上分位点 设T Tt(n),t(n),对于(0,1)(0,1)给定,称满足条件:的点t tn n()为t t分布的上 分位点.ta(n)a第25页/共49页注注:第26页/共49页2.3 F分布分布2.3.1 F分布的概念分布的概念第27页/共49页F分布的的密度函数的示

10、意图(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O第28页/共49页2.3.2 F分布的构造分布的构造 定理:设X 2(n1),Y 2(n2),且X,Y独立,则随机变量第29页/共49页2.3.3 F分布的上分位点分布的上分位点设F(n1,n2)，对于给定的a,0a1,称满足条件的点F F (n1,n2)为F F分布的上 分位点.OFa(n1,n2)a第30页/共49页2.3.4 F分布的性质分布的性质定理：证明证明:设设FF(n1,n2),则则得证得证!第31页/共49页解 因此有 第32页/共49页试确定Z的分布.解 由样本的同分布性知：由此得：由t分布的构造知:第33页/共

11、49页0第34页/共49页3 一个正态总体下的统计量的分布证明第35页/共49页 定理:设(X1,X2,Xn)是来自总体XN(,2)的一个样本,则第36页/共49页且它们表示的随机变量是相互独立的,故证明第37页/共49页解 所以第38页/共49页解 查表得 则有 由于第39页/共49页4 两个正态总体下的统计量的分布两个正态总体下的统计量的分布第40页/共49页定理：证 第41页/共49页其中 注:此定理只有在两个总体的方差相等时才成立.第42页/共49页 证明:(1)因为所以(2)因为(3)故所以第43页/共49页特别,当X2=Y2时,有第44页/共49页证 由F分布的构造知 即 由于且相互独立第45页/共49页解 第46页/共49页解 其中 则 第47页/共49页解 因为所以查表得因此第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页