线性系统状态空间综合法.pptx

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1、19-1 线性系统的可控性与可观性线性系统的可控性与可观性9-1-1 问题的提出 可控性系统内部所有变量的运动能由u来控制，即ux的关系。可观性系统内部所有变量的运动能由y来反映，即y x的关系。例9-11/ssX1X1-11/ssX2X2-2U(s)Y(s)c1c2b1b2显然，b1，b2，c1，c20，x1,x2 既可控又可观测。b1=0，x1不可控b2=0，x2不可控c1=0，x1不可观c2=0，x2不可观第1页/共82页21/ssX1X1-11/ssX2X2-1U(s)Y(s)c1c2b1b2显然，b1,b2,c1,c20，x1,x2既可控又可观测。b2=0 x2不可控b1=0只要b2

2、0，x1可控即：当b20时，无论b1为何值，x1,x2均可控c1=0 x1不可观测c2=0只要c10，x2可观测即：当c10时，无论c2为何值，x1，x2均可观测例9-2 已知系统状态空间表达式，第2页/共82页39-1-2 9-1-2 可控性问题基本概念可控性问题基本概念考虑线性时变系统：1）状态可控 非零初始状态 称状态x0 在时刻 t0 可控。2）系统可控 若任意x0在t0时刻可控，称为系统在t0时刻可控。若系统在所有时刻可控，称为系统是一致可控的。3）系统不完全可控 状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的。存在无约束的容许控制u(t)在有限时间间隔内(t0,tf)第3页/

3、共82页4要求（t0，t1）是有限时间间隔；对转移的形式和路线没有要求，即可控性表征系统运动的一个定性的特性；关于u(t)：对u(t)的幅值没有限制，但要求必须是容许控制，即：亦即u(t)的每一个分量ui(t)在Tt上平方可积；对线性定常系统，在t0，t1上考虑与在0，t1-t0上考虑是等价的，即 可控性与t0无关。系统可控 系统状态完全可控 若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控；终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。几点说明几点说明:第4页/共82页54）状态可达与系统可达 对系统：若存在容许控制u(t)，使得：u(t)则称状态xf在t0时刻是可达的。若状态xf对所有时刻都是

4、可达的，则称xf为完全可达或一致可达。若每个状态在t0时刻均可达，则称系统在t0时刻可达。比较：状态可达：u(t)某初始状态x0 坐标原点u(t)初始坐标原点 某终端状态xf 系统可控：状态完全可控，体现x0的任意性 系统可达：状态完全可达，体现xf的任意性应指出：线性定常系统：可控性与可达是等价的；但对离散系统和时变系统，严格地讲，二者并不等价。状态可控：第5页/共82页69-1-3 9-1-3 可观测性的基本概念可观测性的基本概念考虑线性时变系统,u(t)=0：设：初始时刻t0；初始状态x(t0)；时间定义区间：Tt=(t0，t)在有限时间(t0t1)内，能由输出y(t)(tTt)唯一确定

5、初态值x(t0),则称系统在t0，t1内是完全可观测的。简称可观测。若对所有 tf t0，系统均可观测，则称系统在t0,)内完全可观测，简称系统完全可观测。若不能由y(t)(tTt)唯一确定所有状态x(t0),则称系统不完全可观测，简称不可观测。第6页/共82页79-1-4 9-1-4 线性定常系统可控性判据线性定常系统可控性判据考虑线性定常系统：x(t)n维向量；u(t)p维向量；系统简记为：(A,B)1)格拉姆矩阵判据（A，B）状态完全可控 存在t1，使W(0,t)非奇异，其中：格拉姆矩阵显然，用此判据需要求eAt，再求积分。通常只用于理论分析、证明。2）秩判据即当 rank(S)=n （

6、满秩），则系统完全可控。（A,B）状态完全可控 可控性矩阵S满秩。其中：第7页/共82页8例9-3 判断已知系统的可控性。解：可控性判别阵为:可见，rankS=23，系统不可控。第8页/共82页9LuR1R2R4R3CuciLiL解：该桥式电路的微分方程为：选取状态变量x1=iL，x2=uc，消去中间变量，得：例9-4 桥式网络如图，试用可控性判据判断可控性。第9页/共82页10其可控性矩阵为：当时，rankS=2=n，系统可控。当电桥处于平衡状态，由于R1R4=R2R3，使得：rankS=1n=2，系统不可控。由状态方程易知，此时 x2是不可控变量。LuR1R2R4R3CuciLiL第10页

7、/共82页11电桥平衡时，uc0，即电容上的电压uc不受输入电压ui控制。1/ssX2X2=uc-s21/ssX1X1=iL-s1Ui(s)1/L第11页/共82页12解：该电路的微分方程为：uR1R2i1R3x1iLC1C2i2i3i4x2=y其中：消去中间变量，得状态方程：例9-5 网络如图，试用可控性判据判断其可控性。第12页/共82页13其可控性矩阵为：rankS=2=n，系统可控rankS=1n，系统不可控由电路图可知：时，即不能通过u使x1,x2到达任意状态。当时，当时，uR1R2i1R3x1iLC1C2i2i3i4x2=y第13页/共82页14uR1R2C1uC1uC2C2解：设

8、得状态方程：当时，rankS=1i所对应的约当块的块数时，系统可能可控；输入的维数p i 所对应的约当块的块数时，系统可能可观；输出的维数q i 所对应的约当块的块数时，系统一定不可观。第32页/共82页33例9-15 判断已知系统的可观测性。所以，该系统状态完全可观。第33页/共82页34（1）以上两个矩阵元素不全为零，系统可观。解：第一个J块对应的第一列元素为零，系统不可观。（2）解：课堂练习试判断下列系统的可观测性。第34页/共82页35则 一定可观 6）能观标准型第35页/共82页369-1-7 可控可观性与传递矩阵的关系可控可观性与传递矩阵的关系1)SISO系统 c(sI-A)-1

9、不存在零极点对消 可观由c(sI-A)-1b导出的传递函数不存在零极点对消 可控可观(sI-A)-1b不存在零极点对消 可控思考题：研究下列系统可控性、可观性与传递函数的关系。（1）可控不可观（2）可观不可控（3）不可控不可观第36页/共82页37多输入系统可控 (sI-A)-1B的n行线性无关多输出系统可观 C(sI-A)-1的n列线性无关例9-16 确定已知系统的可控可观性。解：三个行向量线性无关，故系统可控。2)MIMO系统第37页/共82页38三列线性无关，故系统可观。注意：多输入系统的可控性与(sI-A)-1B中有无零极点对消无关；多输出系统的可观性与C(sI-A)-1中有无零极点对

10、消无关。但对SISO系统 (sI-A)-1b存在零极点对消不完全可控;c(sI-A)-1 存在零极点对消 不完全可观。第38页/共82页391 非奇异线性变换的不变性变换前后，系统特征值、传递矩阵、可控性、可观测性均不变。证明：非奇异变换的不变性(P特征向量构成)9-1-8 9-1-8 非奇异线性变换的不变性非奇异线性变换的不变性P变换1）特征值不变性第39页/共82页402）传递矩阵不变3）可控性不变4）可观测性不变 同理可证：第40页/共82页41令 整理：2 化可控系统为可控标准型 Ac 第41页/共82页42即:即 为可控性矩阵的逆矩阵的最后一行 第42页/共82页43的计算方法：（2

11、）计算可控性矩阵逆阵 ，（3）取 的最后一行构成行向量（4）构造P阵（5）求 即将非标准型可控系统可控标准型的变换矩阵。（1）计算可控性矩阵 第43页/共82页44例9-17 将状态方程化为可控标准型。解：系统可控。第44页/共82页45若有：1 定义考虑系统：S19-1-9 对偶原理对偶原理I/sxxA1B1uC1yI/szzA2B2vC2wS2则称系统S1和系统S2互为对偶系统。其结构图如下：或：第45页/共82页46将其化为可观测标准型的问题即对偶系统一定可控：将其对偶系统化为可控标准型，便可获得可观测标准型。对偶系统化为可控标准型的问题。(2)互为对偶系统的特征值相同 3 对偶原理应用

12、化可观测系统为可观标准型 设SISO系统可观测，动态方程为:系统 能控(1)系统 能观 系统 能控系统 能观系统系统互为对偶系统，则：对偶原理2 2 对偶系统的性质第46页/共82页47基本思路：可观，但非可观标准型系统S1系统S2可控，但非可控标准型系统S3其中：P-1P-1系统S4其中：即对S1做PT变换对耦原理第47页/共82页48计算步骤：1）列出对偶系统的可控性矩阵S1（原系统的可观性矩阵V2）2）求 3）取出 的第n行 vn 构造P阵 4）求5）利用对偶原理获得原系统可观测标准型 即 引入变换 将对偶系统化为可控标准型第48页/共82页491）连续系统离散后,其可控性矩阵S1可观性

13、矩阵V1均与采样周期T有关；2）连续系统可控，离散化后的系统不一定可控；3）连续系统可观，离散化后的系统不一定可观；4）连续系统不可控，不论T取何值，离散化后的系统一定不可控；5）连续系统不可观，不论T取何值，离散化后的系统一定不可观。本节小结：主要内容：可控可观的概念（包括离散系统）；可控可观性判据（包括离散系统）；线性变换：化系统为可控标准型、可观标准型；对偶原理。本节重点：可控可观性判据课后练习：1)总结判据及各判据的特点。2)p514E9-26。结 论：第49页/共82页509-3 9-3 反馈结构与极点配置反馈结构与极点配置9-3-1 常见的反馈结构（1）状态反馈 即将状态变量引到输

14、入端：引入状态反馈后闭环系统状态方程：考虑n阶线性定常系统系统矩阵变化输出方程不变传递函数矩阵注意K的维数。K+_vpxnBIsCA+uxxypx1nx1-第50页/共82页51（2）输出反馈1）输出反馈至状态微分 原系统：BIsCA+uxxy引入输出反馈：_H传递函数矩阵2）输出量反馈至参考输入 引入输出反馈：F+_v动态方程：思考：H、F的维数qx1nx1nxqpx1pxq第51页/共82页52三种反馈比较：K+_vBIsCA+uxxy系统矩阵：A-BK pxnSISO：K为1xn的行向量 K=k1 k2 knBIsCAH+uxxy_系统矩阵：A-HC nxqSISO：H为nx1的列向量B

15、IsCA+_vuxxyF系统矩阵：A-BFC pxqSISO：F为标量第52页/共82页53A-BFC B C|I-(A-BFC)|=0 A B C|I-A|=0A-BK B C|I-(A-BK)|=0A-HC B C|I-(A-HC)|=0 系统矩阵 控制矩阵 输出矩阵 特征方程无反馈状态反馈输出反馈(1)输出反馈(2)状态反馈：完全表征系统动态行为，信息量大，可在不增加系统维数 情况下自由支配相应特性。输出反馈：仅利用状态变量线性组合进行反馈,信息量较小,所引入的补 偿装置使系统维数增加，且有时难以得到所期望的响应特性。若令K=FC则状态反馈与反馈至输入端的输出反馈等价。所以状态反馈功能更

16、强。若已知F，必有一个K与之对应若已知K，不一定有F与之对应三种反馈结构比较小三种反馈结构比较小结结第53页/共82页549-3-2 反馈结构对系统性能的影响反馈结构对系统性能的影响可控性可观性稳定性响应特性 1）对可控、可观性的影响定理1 引入状态反馈，BIsCAK+_vuxxy系统的可控性不变，但可能改变系统的可观测性。定理2 输出到状态微分的反馈，BIsCA+uxxyH_不改变系统的可观测性，但可能改变系统的可控性。定理3 输出至参考输入的反馈，vFBIsCA+uxxy既不改变系统的可控性，也不改变系统的可观测性。第54页/共82页55故原系统可观测引入状态反馈：其中：引入反馈后的系统矩

17、阵：引入反馈后的可观测性：故不可观可观性改变的原因：解：原系统可观性矩阵：例9-22 已知系统状态空间描述,引入状态反馈K=0 4,分析其可观性.状态反馈产生了零极点对消。第55页/共82页56状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。镇定通过引入反馈，使反馈后的闭环系统稳定。状态反馈的镇定问题：对于如果存在状态反馈矩阵K，使通过状态反馈 u=v-Kx 构成的闭环系统的系统矩阵(A-BK)特征值均具有负实部，称系统实现了状态反馈镇定。定理4 当且仅当线性定常系统不可控部分的特征值都具有负实部时，系统是状态反馈可镇定的。2）反馈结构对系统稳定性的影响 例如，不可控子系统的状态方程为特征值为1=-1

18、，2=-3，没有正实根存在，故能通过状态反馈使其镇定。第56页/共82页57状态反馈不影响不可控子系统的极点。证明：设(A,B)不完全可控，通过结构分解(非奇异线性变换)状态反馈矩阵为：引入反馈后，系统矩阵：反馈后系统特征方程：第57页/共82页58极点配置利用状态反馈或输出反馈使闭环极点位于所希望的位置。极点配置的目的改善系统的性能。基本问题：1）实现极点配置的的条件；2）极点配置的算法如何求反馈矩阵。（1）实现极点配置的条件定理5 用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控。定理6 用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是 受控系统可观。说明：对于反馈至参考输入端的输出反

19、馈，通常不能实现任意配置 极点。9-3-39-3-3 SISO系统的极点配置系统的极点配置第58页/共82页59以状态反馈矩阵K的求法为例来介绍算法基本思路：求反馈矩阵K，使闭环系统极点为希望极点1,2,n 即求K，使下式成立：1 设但输入系统为可控标准型，即：则（2）SISO系统的极点配置算法第59页/共82页60第60页/共82页612 设系统(A,b)可控，但不是标准型处理方法直接求解借助于线性变换下面介绍第二种方法的计算步骤1）求出原系统特征多项式2）求出希望的特征多项式3）计算K对应能控标准型的状态反馈阵4）求变换矩阵PP-1变换把(A，b)化为可控标准型其中P1是的最后一行5）求状

20、态反馈阵K第61页/共82页62求状态反馈向量K，使闭环特征值为解：系统可控性矩阵：系统可控，故可以通过状态反馈实现任意极点配置方法1 直接法：希望的闭环特征多项式：例9-23 已知SI线性定常系统的状态方程为：第62页/共82页63比较系数得：解得：即第63页/共82页64 方法2 线性变换法：被控系统的特征多项式为：希望特征多项式：于是可控性矩阵第64页/共82页65绘制状态变量图v1/sx2x21/sx1u=x1-61/sx3x3-1214-1861220原系统：状态反馈：第65页/共82页663 已知被控系统的I/O描述（传递函数或微分方程）一般方法：先列写状态空间表达式，再求状态反馈

21、 （能控标准型实现较为简单）例9-24 设受控系统传递函数为试用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1+j，-1-j解：系统为SISO系统，其传递函数无零极点对消 故该系统可控可观，可实现任意配置极点。可控标准型实现：第66页/共82页67引入状态反馈后的系统矩阵：引入状态反馈后的特征方程：希望特征方程对应系数相等:第67页/共82页68状态变量图：-4-1-41/sx2=x21/sx3=x3-21/sx1x1u-310yv状态反馈矩阵K思考：1）引入状态反馈后，系统的可控可观性是否发生了变化？2）能否通过输出反馈实现该极点配置？第68页/共82页69考虑SISO系统是可控的，但不是标准型。为可控

22、标准型线性变换前后系统传递函数不变，故受控系统的传递函数为（3）状态反馈对传递函数零点的影响第69页/共82页70引入状态反馈闭环系统相应传递函数第70页/共82页71比较反馈前后系统的传递函数：状态反馈只改变系统极点，不改变系统零点；当希望极点与原系统的某些零点相同时，Gk(s)有零极点对消，可观测性不能保证。第71页/共82页729-4-1 全维观测器及其设计全维n维（n个状态变量全部重构）状态观测器利用被控对象的输入量与输出量来重构系统状态。目的用观测器重构的状态代替被控系统的状态，实现状态反馈。（1）全维状态观测器构成方案 设被控对象动态方程为：若实现状态反馈，而有些状态变量不能或不易

23、引出时，利用计算机模拟与被控对象完全相同的动态方程 9-4 状态观测器及其设计工程实现状态反馈的关键：状态可测，即可获得各状态的信息。状态观测器第72页/共82页73BIsCA+uxxy模拟系统K_v固有系统状态反馈BIsCA+由状态方程的解：比较：输入引起的部分相同，但由初态引起的部分与x(0)有关，故有：2）系统(A，B，C)在实际模拟中一定存在误差。关键：问题：1）的初始状态只能是估计，一定会存在误差；重构状态第73页/共82页74BIsCA+uxxy状态观测器K_v固有系统状态反馈_+BIsCA+H_解决问题的思路：调整 使之=x(t)利用反馈概念：当给定输出偏差，通过调整环节使偏差

24、当偏差=0时，输出=给定解决的方法：以y(t)为给定，为反馈信号通过选择合理反馈矩阵H，配置观测器的极点，从而使 迅速跟踪x(t)。第74页/共82页75全维观测器的方程观测器系统矩阵 观测器分析设计的关键问题：在 的情况下，保证观测器存在条件（2）全维观测器的分析设计由观测器方程和被控系统方程BIsCA+H_欲使只要(A-Hc)的特征根具有负实部。解得：第75页/共82页76H的选择(A-HC)的极点位置过大：实现困难，噪声加剧过小：速度慢一般要求观测器的响应速度要比状态反馈系统的快些，但衰减不能过快。定理9-7 若受控系统(A,B,C)可观测，则其状态可用全维状态观测器：给出估计值，其中输

25、出反馈矩阵H按极点配置的需要选择，以决定状态误差衰减的速率。设计全维状态观测器的一般步骤：1）判断系统的可控可观性；2）确定观测器的极点：与系统闭环极点相比，远离虚轴；3）计算输出反馈矩阵Hnq;4）绘制系统结构图。第76页/共82页77小 结9-4-1 全维观测器及其设计1 状态观测器的作用实现状态反馈2 带有全维状态观测器的系统的结构K_v_+BIsCA+H_BIsCA+uxy3 全维观测器的方程4 全维观测器估计误差5 设计全维状态观测器的一般步骤：1）判断系统的可控可观性；2）确定观测器的极点：与系统闭环极点相比，远离实轴；3）计算输出反馈矩阵Hnq;4）绘制系统结构图。第77页/共8

26、2页78解:被控对象的传递函数为：系统可控标准型为：系统可控可观测。例9-25 被控对象传递函数,设计全维状态观测器,极点-10，-10。输出反馈阵H为(2x1)维矩阵，全维观测器系统矩阵为：令观测器特征方程等于期望的特征方程：第78页/共82页79系数相等得:全维观测器状态方程：-23.5-8.51/s1/su2-3-2x2(0)x1(0)x2x1y1/s1/s2-3-2第79页/共82页80设计状态观测器的目的：用 代替x(t)，实现状态反馈。状态反馈子系统：复合系统动态方程：9-4-2 分离原理分离原理问题：状态观测器的H与状态反馈K的设计之间是否相互影响？由图知，具有状态观测器的状态反馈系统是2n维的复合系统，其中：可见，与状态反馈K及u、v均无关。状态观测器动态方程为：BIsCABIsCA+uK_vH+_第80页/共82页81P445习题9-1，9-3，9-4，9-5，9-6，9-7，9-8，9-10，9-12第81页/共82页82感谢您的观看！第82页/共82页