线性系统的数学模型.pptx
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1、学习要求:1、掌握建立数学模型的一般原理,传递函数的概念,对于不很复杂的系统能够写出传函;2、掌握方框图及信号流图化简原则,利用方框图或信号流 图求传函;3、掌握几种典型环节的传递函数;4、了解开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数(内容介绍:微分方程、传递函数、结构图、信号流图)第1页/共101页学习内容:2-1 线性系统的微分方程一、数学模型的概念工程的最终目的是构建实际的物理系统,以完成某些规定的任务。如一个实际的调速系统,温控系统等。采用的方法可分为经验法和解析法去完成设计任务。第2页/共101页 经验法中依靠丰富的经验,加之试凑方法。对比较简单系统,可得到满意结果.对复杂系统,往往
2、采用解析法。解析法的采用其前题是应先建立其数学模型,即先建立描述这一系统运动规律的数学表达式。第3页/共101页1.1.建立数学模型的方法解析法(机理)依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式,建立模型。实验辨识法人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征,同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第4页/共101页 2.几个概念对一个复杂系统,建立数学模型一般较困难。(1)通常的办法是作一些简化系统的假设将系统理想化,一个理想化的系统称作物理模型。(2)物理模型的数学描述称作
3、数学模型。(3)建模:通常指建立物理模型的数学模型第5页/共101页经常遇到的一个问题是准确分析出哪些物理变量和相互关系是可以忽略的,哪些对模型准确度有决定性影响。如:线性化问题线性化:实际物理系统一般均为非线性系统,只是非线性程度有所不同而已,许多系统在一定条件下可被近似视作线性系统,使问题得到简化。工程中一般的做法是将模型简化为线性型,以线性模型为基础,求得系统的近似特性,必要时,再采用较复杂模型进一步研究。第6页/共101页(4)数学模型的描述方法时间域:微分方程(一阶微分方程组)、差分方程、状态方程复数域:传递函数、结构图频率域:频率特性注:微分方程(一般系统);传递函数(研究输入输出
4、关系线性定常系统);图示方法(结构图、信号图);第7页/共101页 二、线性系统的微分方程 一个完整的控制系统通常是由若干元器件或环节以一定方式连接而成的。对系统中每个具体的元器件或环节按照其运动规律可以比较容易地列出其微分方程,然后将这些微分方程联立起来,可求出整个系统的微分方程。控制系统的时域数学模型第8页/共101页获取微分方程的步骤:1.分析系统工作原理和信号传递变换的过程,确定系统和各元件的输入、输出量;2.从输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量遵循的物理学定律,依次列写出各元件、部件的动态微分方程;3.消去中间变量,得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程;4.标
5、准化:右端输入,左端输出,导数降幂排序第9页/共101页 建立数学模型的目的之一:是为了用数学方法定量地对系统进行分析。当系统微分方程列出后,只要给定输入量的初始条件,便可以对微分方程求解。设:给定量或扰动量为系统的输入量 r,n 被控制量称为系统输出量 y,c 系统的输出量在系统输入量作用下的变动过程称作系 统的响应。考查:输入量、输出量之间微分方程描述的数学模型。第10页/共101页预备知识1、电容2、电感3、弹簧弹性力4、阻尼器 平动阻尼器 旋转阻尼器K:阻尼系数 F:阻尼力 y:位移 w:旋转角速度 T:阻尼力矩 第11页/共101页5、牛顿定律6、电机电枢回路电压平衡方程第12页/共
6、101页电动机和负载折合到电动机轴上的两个变量:电动机轴上的转矩平衡方程:第13页/共101页例1电机在 Ua作用下带动负载转矩为ML物体以w角 速度旋转。电枢控制式的直流电动机:第14页/共101页 解:1输入量:Ua、ML 输出量:w2列写原始方程电枢回路方程:第15页/共101页3消去中间变量ia,Ea,Mm从方程可看:输入、输出及各阶导数之间无乘积关系 可见:方程线性输入、输出及各阶导数前系数为常数 可见:方程为线性定常系统。当ML=0(空载),ML=常数(固定负载),时 方程均有变化第16页/共101页La=0时,且ML=常数用图示:电机uaMLw第17页/共101页例2直流电机的调
7、速系统UaRaUrUwM LUt第18页/共101页设La=0输入量Ur、ML,输出w列原始方程:消去中间变量:可见:系统为线性定常一阶系统 第19页/共101页负载ML可视为特殊输入量,ML=0时一般考虑线性定常系统(单输入单输出系统)表达式其中假定:ai(i=0,1,.n)bj(j=0,1,.m)均为常数,且nm可见:微分方程是在时间域内描述系统动态性能的 数学模型。第20页/共101页2-2 线性化存在一类:非线性程度不严重或在一定范围内可近似为线性系统的非线性系统。可化为线性系统处理。线性系统具有齐次性、叠加性。对非线性系统的线性化处理可使系统的设计和分析简化。就线性系统而言:分析和设
8、计方法较简单,成熟。本课就是介绍线性系统分析与设计方法。(除第七章介绍本质非线性系统处理)第21页/共101页线性化方法有三类:1.忽略次要因素2.弦近似(以弧代曲)3.切近似常用切近似方法对非线性系统线性化。具体作法:在工作点附近进行泰勒级数展开。设y=f(x),a为某工作点,a(x0,y0)y=f(x)第22页/共101页忽略二次以上高阶项可以在a附近,用直线代替了非线性特性a(x0,y0)xy第23页/共101页第24页/共101页2-3 传递函数前已叙述,可用微分方程描述系统运动状态,求解微分方程可得到系统的响应,方法直观。对一类特定的用线性定常微分方程描述的系统,可用拉氏变换方法分析
9、、求解。引出传递函数概念。第25页/共101页复习拉普拉斯变换:拉普拉斯变换及其反变换的定义:一个定义在0,即(0t)区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换式F(s)的定义为式中s=+j为复数。F(s)称为f(t)的象函数,f(t)称为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称为拉氏变换,F(s)又称为f(t)的拉氏变换式。记为拉氏变换是线性变换,满足叠加性和齐次性。第26页/共101页如果F(s)已知,要求出它所对应的原函数f(t),则由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换,它的定义为:为书写简便起见,通常可用记号“L”表示对方括号里的函数作拉氏变换,即用记号“L-1”表示对方括号里的函数作拉氏
10、反变换,即 第27页/共101页常见的L变换:原函数f(t)象函数F(s)(t)1 1(t)1/S t n e-t 1/s+sinwt w/w2+s2 coswt s/w2+s2 t n e-t n!/(s+)n+1 第28页/共101页拉氏变换的基本性质:性质1 唯一性:由定义式所定义的象函数F(s)与定义在0,)区间上的时域函数f(t)存在着一一对应的关系。性质2 线性性质:(线性定理)令f1(t)和 f2(t)是2个任意的时间函数,且它们的象函数分别为F1(s)和F2(s),a和b是2个任意的常数,于是:La f1(t)+b f2(t)=a Lf1(t)+b Lf2(t)=a F1(s)
11、+b F2(s)第29页/共101页 性质3(时域)导数性质(微分定理):原函数f(t)的象函数与其导数f(t)=df(t)/dt的象函数之间有如下关系:Lf(t)=sF(s)-f(0)式中的f(0)为原函数f(t)在t=0时的值。第30页/共101页 性质4(时域)积分性质(积分定理):原函数f(t)的象函数与其积分的象函数之间有如下关系性质5 卷积定理:设f1(t)和 f2(t)的象函数分别为F1(s)和F2(s),则卷积 的拉氏变换为F1(s)F2(s)。性质6 延迟定理:性质7 相似定理:第31页/共101页性质8 初值定理:性质 9 终值定理:L氏变换用于求解线性定常微分方程(将微分
12、运算化为代数运算)第32页/共101页第33页/共101页注:零初值响应与输入及内部结构、参数有关。对零初值响应的分析就是对系统内部结构、参数的分析。二、传递函数定义:线性定常系统在零初始条件下,系统输出量的L氏变换与输入量L氏变换之比,称为该系统的传递函数G(s)C(s)/R(s)=G(s)第34页/共101页设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述:式中c(t)系统输出量;r(t)系统输入量;ai(i=0,1,n)和bj(j=0,1,m)与系统结构和参数 有关的常系数。第35页/共101页于是,由定义得系统的传递函数为则有C(s)=G(s)R(s)用方框图表示:G(s)R(s)C(s)第
13、36页/共101页传递函数的性质:(1)传递函数是复变量s的有理分式,其分子M(s)和分母N(s)的各项系数均为实数,由系统的参数确定。当传递函数为n阶时,即称为n阶系统。传递函数是物理系统的一种数学描述形式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量无关。第37页/共101页(2)传递函数G(s)的拉氏反变换是单位脉冲响应g(t)。(传递函数是单位脉冲响应的L氏变换)C(s)=G(s)R(s)r(t)=(t)R(s)=1 C(s)=G(s)1=G(s)C脉=L-1G(s)=k(t)-单位脉冲响应函数(3)服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数,正如一些不同的物理现象可以用形式相同的微分
14、方程描述一样,故它不能反映系统的物理结构和性质。传递函数只描述系统的输入输出特性,而不能表征系统内部所有状况的特性。第38页/共101页(4)传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得到的,因此,传递函数的概念只能用于线性定常系统。确定的传递函数与确定的零极点分布相对应。传递函数的零点和极点:G(s)=C(s)/R(s)将上叙定义式的分子和分母分解因式,传递函数表达式又可表示为:第39页/共101页式中K放大系数;Zi为G(s)零点;Pj为G(s)极点。传递函数分子多项式的根称为传递函数的零点,传递函数分母多项式方程,即传递函数的特征方程的根称为传递函数的极点。一般零点、极点可为实数,也
15、可为复数,若为复数,必共轭成对出现。传递函数的求取方法很多,也很灵活,一般可由下列途径获得。第40页/共101页1、由系统的原理图求传递函数;2、由系统的微分方程求传递函数;3、由系统的结构图求传递函数;4、由系统的频率特性曲线求传递函数;5、由系统的响应曲线或响应的解析式求传递函数。传递函数的求取:第41页/共101页三、典型环节 典型环节的传递函数 控制系统是由若干元部件或环节组成的,那么一个系统的传递函数总可以分解为数不多的典型环节的传递函数的乘积。逐个研究和掌握这些典型环节的传递函数的特性,就不难进一步综合研究整个系统的特性。第42页/共101页输出量与输入量成比例关系叫比例环节,也称
16、为无惯性环节比例环节的微分方程为 y(t)=K x(t)两边取拉氏变换得 Y(s)=K X(s)比例环节的传递函数为 G(s)=Y(s)/X(s)=KG(s)X(s)Y(s)方框图实际对象如:杠杆、放大器、传动链之速比、测速发电机的电压与转速1比例环节作用:能将输入信号放大或缩小的环节第43页/共101页2、惯性环节(一阶环节)这种环节具有一个储能元件,惯性环节的微分方程为式中 惯性环节的时间常数;K惯性环节的比例系数两边取拉氏变换得(S+1)Y(s)=K X(s)1/S+1X(S)Y(S)S Y(s)+Y(s)=K X(s)第44页/共101页惯性环节的传递函数为 G(s)=1/s+1考查单
17、位阶跃响应:设x(t)=1(t),求y(t)=?解:t=2时,y=0.87;t=3时,y(3)=0.95t,y=1t=0时,y=0 ;t=时,y()=0.75动态响应曲线:第45页/共101页3、积分环节积分环节的输出量等于输入量对时间的积分,即 其传递函数 式中T积分时间常数。在单位阶跃信号作用下的响应为:第46页/共101页4、微分环节理想的微分环节是指输出量与输入量的一阶导数成正比的环节,其微分方程为:式中 时间常数微分环节的传递函数为 5、振荡环节振荡环节的微分方程为 振荡环节的传递函数为 第47页/共101页式中参数:振荡环节的阻尼比。wn振荡环节的自然振荡角频率。振荡环节及其动态响
18、应曲线0=1振荡的强度与阻尼比有关,值越小,振荡越强;当=0时,输出量为等幅振荡曲线,振荡的频率为自然振荡频率,值越大则振荡越小;当1时,环节输出量则为单调上升曲线;当01时,振荡环节的动态响应曲线具有衰减振荡特性。第48页/共101页6、时滞环节时滞环节也称延迟环节。输出为输入信号的延迟。数学表达式为 y(t)=r(t-)式中 纯滞后时间对上式求拉氏变换,可得式中=t-传递函数为(将时滞环节展开成泰勒级数,并略去高次项)G(s)=Y(s)/R(s)=e-s第49页/共101页时滞环节及其动态响应曲线 从简化后的传递函数来看,时滞环节在一定条件下近似为惯性环节。时滞环节的动态响应如图所示,输出
19、与输入波形相同,但延迟了时间,系统中有延迟环节时,可能使系统变得不稳定,且越大对系统的稳定越不利。第50页/共101页四、一般传递函数获取骤 1.了解原理,找出输入r(t),输出 y(t))2.列原始方程(各环节方程)3.消去中间变量4.在零初始条件下,取L变换,例1 1、无源网络 RLCUcUr改写成运算网络(用运算阻抗)可见:Ur(s)=IR+ISL+Uc(s)Uc(s)=1/SC I 二阶系统第51页/共101页例2运放组成环节的传递函数Z0ZfI1UrUfIfI1假设运放的输入阻抗很大,输出阻抗很小。A可视为虚地,UA=0 I1+If=I1=0 Z0、Zf的不同构成,可形成不同的典型环
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