物理根轨迹分析.pptx

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1、4-1 根轨迹的基本概念一.根轨迹的定义：1、定义：当系统某个参数变化时，闭环特征根在 s 平面上移动的轨迹。2、根轨迹法：根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条件下，绘制出系统闭环特征根在 s 平面上随参数变化时运动的轨迹。第第4章章 根轨迹根轨迹第1页/共69页4-1 根轨迹的基本概念例例1:已知如图已知如图 系统系统.R(s)C(s)-第第4章章 根轨迹根轨迹其中，K为开环放大系数，Kg叫根轨迹增益，Kg=2K。可见:开环传递函数的极点是：-p1=0，-p2=2，没有 零点。解：系统开环传函：第2页/共69页Kg01/41/2125 s10-0.13-0.29-1-1+j-1+2j -1+

2、j s2-2-1.866-1.707-1-1-j-1-2j-1-j 根轨迹的基本概念(续)第第4章章 根轨迹根轨迹闭环传函：特征方程：特征根：Kg由0 时描点法第3页/共69页j0123-11p1p2根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)2-2可见：根轨迹图全面的描可见：根轨迹图全面的描述了述了K对对S1,2分布的影响。分布的影响。第4页/共69页（1）Kg从根轨迹均在 s 左半平面，所以系统对 所有的Kg值都稳定。（2）0Kg1，特征根为实数，过阻尼，无超调。（3）Kg=1，特征根为重实数，临界阻尼，也无超调。（4）Kg1，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。（5）在Gk中，有一个零值极点，系统

3、为1 型，阶跃 下ess0。根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过闭环特征方程找特征根。第5页/共69页 绘制根轨迹的实质还是寻找特征方程1+GK=0的 根，所以满足GK(s)=-1的s值，都必定在根轨 迹上，则根轨迹方程为：GK(s)=-1.由于G GK K(s)(s)是复数s s的函数，故上式为一矢量方程二、根轨迹方程：第6页/共69页幅值方程：相角方程：根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。确定根轨迹上某点对应的Kg值确定某点是否是根轨迹上的点第7页/

4、共69页 例2：单位反馈系统的 ,试判断s1(-1,j1)、s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。幅值条件和相角条件的应用解:系统开环极点为：-p1=0,-p2=-1无开环零点。由相角方程得：故s1不是根轨迹上的点。第8页/共69页 例2：单位反馈系统的 ,试判断s1(-1,j1)、s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。幅值条件和相角条件的应用解:由相角方程得：故s2是根轨迹上的点。第9页/共69页 例3：求上例中 s2(-0.5,-j1)对应的Kg值。幅值条件和相角条件的应用解:由幅值方程得：第10页/共69页4-2 绘制根轨迹的基本法则1 1、根轨迹的连续性、根轨迹的连续性根轨

5、迹是连续变化的曲线或直线根轨迹是连续变化的曲线或直线2 2、根轨迹的对称性、根轨迹的对称性根轨迹位于复平面实轴或对称于实轴根轨迹位于复平面实轴或对称于实轴3 3、根轨迹的分支数、根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于系统阶数根轨迹的分支数等于系统阶数4 4、根轨迹的起点与终点、根轨迹的起点与终点起点：起点：n n个开环极点个开环极点终点：终点：m m个开环零点和个开环零点和n-mn-m个无穷大零点个无穷大零点第11页/共69页证明：根轨迹的起点是指Kg=0的根轨迹点，而终点 是指Kg的根轨迹点。1）当）当Kg=0时，有时，有s=-pi；则根轨迹必起始于开环极点。绘制根轨迹的基本法则(续)第12页/共

6、69页2）当Kg时，即终止于开环零点或无穷远处。绘制根轨迹的基本法则(续)第13页/共69页 5、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极点数目之和应为奇数。绘制根轨迹的基本法则(续)第14页/共69页6、根轨迹的渐近线：若nm，当Kg时，有（n-m）条趋于无穷远 处，它们趋向的方位由渐近线决定：渐近线与实轴正方向夹角：(k k=0,=0,1,1,2,2,n n-m m)渐近线与实轴交点的坐标：绘制根轨迹的基本法则(续)第15页/共69页有3条趋于无穷远处;例例 1：已知：已知 求渐近线求渐近线.绘制根轨迹的基本法则(续)渐近线方位角：渐近线截距：第16页/共69页7、根轨迹

7、的分离点(汇合点)及分离角：几条根轨迹在s平面上相遇又分开-汇合点或分离点。绘制根轨迹的基本法则(续)若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个分离点（包括无穷远的极点）；若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的点）；由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况少）。第17页/共69页分离点的计算：绘制根轨迹的基本法则(续)则点第18页/共69页2、极值法：在分离点sd的Kg(d)值不是过阻尼的极大值就是欠阻尼的极小值或相反。可见：与重根法结果相同。绘制根轨迹的基本法则(续)第19页/共69页3、牛顿余数定理法 绘制根轨迹的基本法则(续)2

8、2、分析根轨迹，找出一个试探点、分析根轨迹，找出一个试探点s s1 1；第20页/共69页绘制根轨迹的基本法则(续)点。点。重根法或极值法第21页/共69页绘制根轨迹的基本法则(续)牛顿余数定理法判断是否为分离点的两方法：（1）作图，舍弃不在根轨迹上的点；（2）带入特征方程，舍弃令Kg=2时，闭环极点之和=开环极点之和=常数。且与Kg无关。闭环极点的和与积（续）第31页/共69页因此，Kg时（或Kg时），若一部分闭环极点在 s平面上向右移，则另一部分闭环极点必向左移；对于任一Kg，闭环极点之和保持不变。（用以判断 根轨迹在s平面上的走向）。应用：在n-m2时（1）根之和可以确定根轨迹走向，且在

9、已知部分闭环极点时，用来求其余的闭环极点。（2）根之积用来求对应的Kg值。闭环极点的和与积（续）第32页/共69页闭环极点的和与积（续）或第33页/共69页4 3 控制系统根轨迹的绘制例4-15 已知系统开环传函为试绘制Kg由0+变化时的根轨迹草图解（1）系统有4个开环极点：无开环零点,即n=4，m=0,有4条根轨迹分支。（2）实轴上的根轨迹区域为-3 0（3）n-m=4，故有4条渐近线，其截距和夹角分别为：第34页/共69页4 3 控制系统根轨迹的绘制（4）根轨迹在实轴上的分离点（5）根轨迹在开环极点-p3,4处的岀射角为：（6）根轨迹与虚轴之交点令实部虚部等于0得：第35页/共69页结论：

10、当系统仅有两个开环极点-p1、-p2和一个开环零点-z时，其根轨迹要么是直线要么是圆弧；且圆弧的圆心(-z,0)，半径控制系统根轨迹的绘制（续）例例4-16：已知：已知画根轨迹。画根轨迹。解解（1）系统有两个开环极点系统有两个开环极点0，-2，一个开环零点，一个开环零点-4；（2）实轴上的根轨迹区：实轴上的根轨迹区：-2,0，(-,-4;第36页/共69页控制系统根轨迹的绘制（续）例例4-16：已知：已知画根轨迹。画根轨迹。（3）平面上的轨迹是圆，圆心为平面上的轨迹是圆，圆心为(-4,0),半半径为径为 根轨迹如右图所示，可知它与实轴的根轨迹如右图所示，可知它与实轴的两分离点为：两分离点为：第

11、37页/共69页二、参量根轨迹l参量根轨迹定义：在控制系统中，除开环增益Kg和开环放大系数K以外，其它参量变化时绘制出的根轨迹被称为参量根轨迹。l绘制根轨迹的关键：正确地求出等效开环传递函数l绘制步骤：(1)列出原系统的特征方程。(2)以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。(3)绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。第38页/共69页39二、参量根轨迹例4-17 已知系统结构图如下，试绘出参量由0变化时的根轨迹。解 系统开环传函为：系统特征方程为：得等效开环传函为：第39页/共69页40二、参量根轨迹等效开环传函有两

12、个极点、一个零点：实轴上的根轨迹区域为:(-，0)得等效开环传函为：平面上的根轨迹为圆弧，圆心(0,0)，半径为则的参量根轨迹如图所示。第40页/共69页41二、参量根轨迹参量根轨迹可用来分析参数对系统性能的影响。（1）当=0时，系统为欠阻尼情况，阻尼系数小，振荡剧烈；（2）当0=1.8时，系统为过阻尼情况，无振荡，但调节时间变长。第41页/共69页第一步，得出等效开环传函；(1)列出原系统的特征方程。(2)以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。第二步，根据根轨迹的绘制方法，绘制参量根轨迹。二、参量根轨迹的绘制步骤总结第42

13、页/共69页 为确定闭环系统的性能指标，评价系统性能的优劣，需知道闭环零、极点。4-4 求取闭环零极点的方法一、求闭环极点的方法：（以实例说明之）例1 1：单位反馈系统的试用根轨迹法求取=0.5=0.5时的共轭闭环主导极点和其他闭环极点，并估算此时系统的性能指标。解：系统开环传函第43页/共69页求取闭环极点的方法（续）当Kg由0变化时的根轨迹如右图所示。由图可知，系统稳定时，Kg的取值范围为：0Kg20即0K5第44页/共69页求取闭环极点的方法（续）画出=0.5的等阻尼线，它与负实轴的夹角为=60。设它与根轨迹的交点为-s1,-s2,-s3,读图知第45页/共69页求取闭环极点的方法（续）

14、因n-m=3,故闭环极点之和=开环极点之和，即由根轨迹方程的幅值条件得对应于-s3点的Kg为：三个闭环极点中，实数极点与复数极点的实部之比和模值之比分别为：故-s1,-s2满足主导极点的条件，-s3对系统性能的影响可忽略。第46页/共69页求取闭环极点的方法（续）该二阶系统的特征参数：此时，开环放大系数为：故静态误差系数为：故动态性能指标：该系统为型系统，在单位斜坡输入下的稳态误差为第47页/共69页求取闭环极点的方法（续）求闭环极点的方法：(1)画出系统根轨迹；(2)根据；在根轨迹图中画出等阻尼线；(3)读图求出交点处的极点；(4)利用根之和及根之积公式求其它极点，及对应的开环放大系数；(5

15、)利用降阶的方法求出系统动静态性能指标。注意：高阶系统降阶时，要保证其静态性能保持不变。第48页/共69页50例例2：若要求阶跃响应下的若要求阶跃响应下的 问开环放大倍数问开环放大倍数K=？解：解：1）绘制根轨迹：）绘制根轨迹：分离点：分离点：此时Kg=16.9。与虚轴交点：与虚轴交点：利用根轨迹分析系统性能及确定系统参数第50页/共69页51-4-6CDs3ABs1s20jsd1所以，稳定范围：0K10。渐进线：利用根轨迹分析系统性能及确定系统参数第51页/共69页52 若按性能指标找不出合适的闭环极点与K K值，就要 改造根轨迹，附加校正环节。利用根轨迹分析系统性能及确定系统参数可见满足题

16、目要求第52页/共69页1 1、单位反馈系统：即单位反馈系统的闭环零点等于开环零点。二、求取闭环零点的方法1 1、非单位反馈系统：设第53页/共69页即非单位反馈系统的闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。求取闭环零点的方法（续）第54页/共69页求取闭环零点的方法（续）对于开环传函 中有零极点相消的情况可将原结构图等效为目的：补齐闭环极点例：图4-33具有速度反馈的控制系统利用开环传函求特征方程：由反馈通道的零点补回丢失的闭环极点。第55页/共69页求取闭环零点的方法（续）例：图4-33具有速度反馈的控制系统利用闭环传函求特征方程：利用开环传函求特征方程：此时利用根轨迹求出的特征根是

17、不全的。由反馈通道的零点补回丢失的闭环极点。第56页/共69页57三、闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系(1)稳定性系统稳定的充要条件是闭环极点均在S左半平面，与闭环零点无关(2)快速性闭环极点离虚轴越远，对应的瞬态分量衰减越快(3)平稳性共轭极点应位于=45的等阻尼线上，对应着最佳值(4)主导极点利用主导极点和降阶的方法可近似估算高阶系统的性能(5)闭环零点闭环零点可以削弱或抵消闭环零点的作用，故利用偶极子可抵消对系统性能起负作用的闭环极点的影响，从而提高系统性能。(6)稳态性能与系统型别(开环极点)和开环放大系数有关第57页/共69页一、增加开环零点对根轨迹的影响（1）改变根轨迹在实轴上的

18、分布；（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）利用偶极子，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点；（4）根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能和稳定性，而且，所加的零点越靠近虚轴影响越大。45 增加开环零极点对根轨迹的影响第58页/共69页二、增加开环极点对根轨迹的影响（1）改变根轨迹在实轴上的分布；（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）改变分支数；（4）根轨迹曲线将向右偏移，不利于改善系统的动态性能和稳定性，而且，所加的极点越靠近虚轴影响越大。45 增加开环零极点对根轨迹的影响第59页/共69页三、增加开环偶极子对根轨迹的影响（1）开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状和Kg没有

19、影响；（2）位于原点附近的开环偶极子可显著地影响系统误差系数，即在很大程度上影响系统的稳态误差。45 增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环偶极子的目的：（1）抵消对系统性能有损的闭环极点；（2）增加开环放大系数，减小稳态误差。第60页/共69页45 增加开环零极点对根轨迹的影响例4-23 4-23 已知某系统的开环传函为若给此系统增加一开环极点-2-2，或增加开环零点-2-2。试分别分析对系统根轨迹和动态性能带来的影响。第65页/共69页 例：例2所述系统：阶跃下要求 已求得 若稳态 误差对K的要求不满足，需增大K，可增加一 对偶极子，其极点比零点更靠近原点。增加开环偶极子对根轨迹的影响第66页/共69页因此使因此使 减小，稳态精度增加。减小，稳态精度增加。0j-6-1.57-4A2.1-2.1B他们基本上不影响他们基本上不影响A,B两点的根轨迹和两点的根轨迹和 值。但值。但K增加了：增加了：稳态性能分析（续）稳态性能分析（续）第67页/共69页68作业P.1874-2（1）、（4）4-3（a）4-5第68页/共69页69感谢您的观看！第69页/共69页