相似矩阵与二次型习题课.pptx

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1、二、基础知识（一）方阵的特征值与特征向量 2.求法（1）特征多项式1.定义第1页/共21页3.性质特征方程 其解为A的特征值。（2）特征向量：的非零解。（1）设 是 的特征值，则 是 的特征值;是 的特征值.（2）是 的特征值，则第2页/共21页（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其（4）与 的特征多项式相同，特征值相同。（5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。的特征值为的特征值为（二）相似矩阵、相似变换1.定义 2.性质：若A与B相似，则有第3页/共21页（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。（2）（三）方阵的对角化（3）若A可逆，则B可逆，且 与 也相似。（4）与 相似 ，相似变

2、换阵仍为P。（5）与 相似 。1.定义第4页/共21页将方阵A对角化的步骤：推论：若n阶方阵 A有n个互不相同的特征值，则A一定可以对角化。2.n阶方阵 A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。1.求A的特征值2.求 对应的特征向量。（四）实对称阵第5页/共21页（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤：（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。（3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。1.求A的特征值2.求 对应的特征向量3.将 正交规范化得到4.构造矩阵P=,P正交阵，使第6页/共21页解：三、典型例题即1.设 有一个特征值对应

3、的特征向量为求 a,b,c.第7页/共21页2.已知 可对角化，求a解：由于A可对角化，则A有3 个线性无关的特征向量。A的特征值第8页/共21页与 对应的特征向量中存在2个线性无关的。即 的基础解系中含有两个解。3.设A与B相似，(1)求a,b(2)求可逆阵P，使第9页/共21页解：(1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6.所以(2)时，第10页/共21页基础解系为：时，第11页/共21页基础解系为：故使第12页/共21页4.已知 是矩阵 的一个特征向量。（1）求a,b及特征向量P所对应的特征值。（2）问A能否对角化？说明理由。解：即第13页/共21页故 是A的特征值。与 对应的A的线性无关的特征向量只有一个，故A不能对角化。第14页/共21页解：7.设三阶矩阵 的特征值为对应的特征向量分别为：由于A可对角化，故存在可逆矩阵 使第15页/共21页第16页/共21页8.求一个正交相似变换矩阵P，将 对角化。第17页/共21页将其对应的特征向量单位化、正交化后，得 所以，解：第18页/共21页填空题例1：的特征值为1，-1，2，则 解答：0例2：矩阵，则解答：126第19页/共21页例3：已知 是 的特征向量，则 解答：1或-2第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页