线性矩阵不等式1.pptx

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1、主要内容主要内容线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式概论系统性能分析系统性能分析控制器设计控制器设计第1页/共32页线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式概论第2页/共32页线性矩阵不等式的一般表示线性矩阵不等式的一般表示线性矩阵不等式：线性矩阵不等式：仿射矩阵不等式仿射矩阵不等式仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f(x)=A x+b，这里，A 是一个 mk 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 其中 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。第3页/共32页凸（约束）问题凸（约束）问题定义

2、（凸集）一个集合的连线仍在集合内。和及参数有称为的凸组合。称为凸的，如果集合中任意两点即任意给定两点和将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中第4页/共32页关于凸集定义的理解关于凸集定义的理解第5页/共32页Schur补定理补定理引理 (Schur Complement)对于分块对称阵其中b)，且c)，且a)为方阵，则以下三个条件是等价的：第6页/共32页Schur补应用补应用 若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0,使得如下不等式成立 只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立 Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具第7页/共32页标准的线性矩阵不等式问题标准的线性

3、矩阵不等式问题可行性问题可行性问题(LMIP)求不等式的可行解求不等式的可行解 检验是否存在检验是否存在x，使得，使得 成立。成立。特征值问题特征值问题(EVP)求不等式的优化解求不等式的优化解广义特征值问题广义特征值问题(GEVP)仿射矩阵函数的不等式优仿射矩阵函数的不等式优化问题化问题Linear Matrix Inequality(LMI)第8页/共32页系统性能分析系统性能分析第9页/共32页连续时间系统连续时间系统系统增益指标 考虑第10页/共32页L2范数范数对于平方可积的信号 ，定义 其中 是向量的欧式范数。这样定义的 正好是信号 的能量。将所有有限能量的全体记成 即 也称为信号

4、 的 范数 第11页/共32页L范数范数对幅值有界的信号 ，定义 当 是一个标量信号时，等于 的峰值。将所有幅值有界的信号全体记成 即 也称为信号 的 范数。第12页/共32页四个性能指标四个性能指标IE(Impulse-to-Energy)增益：EP(Energy-to-Peak)增益：EE(Energy-to-Energy)增益：PP(Peak-to-Peak)增益：第13页/共32页定理定理1-IE若有一最优值 ，则第14页/共32页定理定理2-EP若有一最优值 ，则第15页/共32页定理定理3-EE第16页/共32页定理定理4-PP第17页/共32页H2性能性能T的H2范数的平方等于系

5、统脉冲响应的总的输出能量。(IE)系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)对于SISO系统第18页/共32页用线性矩阵不等式刻画系统的用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数范数第19页/共32页H性能性能增益 有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数 的 范数，即第20页/共32页用线性矩阵不等式刻画系统的用线性矩阵不等式刻画系统的H范数范数定理：针对系统和给定的一个常数定理：针对系统和给定的一个常数 0,若存在对称矩阵若存在对称矩阵P0,使使得如下线性矩阵不等式成立得如下线性矩阵不等式成立则有|T(s)|,且系统渐进稳定。第21页/共32页证明：对上述不等式分

6、别左乘,右乘矩阵diag1/2I,1/2I,-1/2I,得记X=P第22页/共32页运用Schur补，可得若D=0,则有严格真传递函数阵的H范数与矩阵不等式的等价关系第23页/共32页给出了系统H范数与LMI之间的关系使得H控制问题可基于LMI进行求解有界实引理有界实引理(Bounded real lemma)第24页/共32页控制器设计控制器设计第25页/共32页H控制器设计控制器设计第26页/共32页第27页/共32页状态反馈状态反馈H控制控制第28页/共32页H控制律的存在条件和设计方法控制律的存在条件和设计方法第29页/共32页H次优控制次优控制第30页/共32页H最优控制最优控制第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页