Levy过程及其在金融领域中的应用.pptx

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1、二个例子第1页/共40页Monika Piazzesi Bond Yields and the Federal ReserveJournal of Political Economy,2005,vol.113,no.2第2页/共40页Rafal Weron Heavy tails and electricity prices The Deutsche Bundesbanks 2005 Annual Fall Conference(Eltville,10-12 November 2005):第3页/共40页概要概要 Levy过程简介 Levy过程在数理金融中的应用 Levy过程的统计分析 Lev

2、y过程的进一步推广第4页/共40页Levy过程的定义：设X(t),t0是一随机过程：如果（1）X(t)具有平稳独立增量（2）P(X(0)=0)=1（3）X(t)具有右连左极的轨道（4）X(t)是随机连续的,即,对任意a0,s0,当ts有 P(|X(t)-X(s)|a)0 第5页/共40页Levy Processes:1930s-1940sPaul Levy(France)Alexander Khintchine(Russia)Kiyosi Ito(Japan)第6页/共40页Levy过程的三种刻画Levy-Khintchine公式：称为Levy三元组，称为Levy测度第7页/共40页Levy过

3、程的三种刻画 Levy-Ito分解：X(t)=布朗运动+常数漂移+复合Poisson过程+纯跳鞅是一Poisson随机测度，且与布朗运动Bt相互独立第8页/共40页Levy过程的三种刻画 Levy 过程是Markov过程：转移半群：T(t)f=Ef(x(t)无穷小算子：第9页/共40页Levy过程的例子Levy-Ito分解变为：Subordinator：关于时间t单调递增的Levy过程，此时Levy三元组应满足：第10页/共40页第11页/共40页Levy过程的例子稳定过程：Levy三元组：第12页/共40页第13页/共40页Levy过程的例子Gamma 过程Levy三元组：过程的一维分布：第

4、14页/共40页第15页/共40页Levy过程的例子正态逆Gauss过程：Levy三元组：过程的一维分布：第16页/共40页Levy过程的例子Levy 三元组t=1时，过程的一维分布：J1 第一类Bessel函数,Y1第二类Bessel函数双曲线的Levy运动第17页/共40页在金融领域的应用定价中的几何Levy过程模型：资产价格：St满足：Zt是Levy过程。在几何Levy过程模型下，市场一般是一不完备的市场，等价鞅测度不唯一，如何选择一合适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的主要问题。第18页/共40页具体的Levy过程(1)Stable process(Mandelbrot,Fam

5、a(1963)(2)Jump diffusion process(Merton(1973)(3)Variance Gamma process(Madan(1990)(4)Generalized Hyperbolic process(Eberlein(1995)(5)CGMY process(Carr-Geman-Madam-Yor(2000)(6)Normal inverse Gaussian process(Barndorff-Nielsen)(7)Finite moment log stable process(Carr-Wu(2003)第19页/共40页Morton模型其中：Wt标准布朗

6、运动，Nt为Poisson过程Yi独立同分布，服从正态分布，且Wt,Nt,Yi相互独立第20页/共40页可供选择的等价鞅测度(1)Minimal Martingale Measure(MMM)(Follmer-Schweizer(1991)(2)Variance Optimal Martingale Measure(VOMM)(Schweizer(1995)(3)Mean Correcting Martingale Measure(MCMM)(4)Esscher Martingale Measure(ESMM)(Gerber-Shiu(1994),B-D-E-S(1996)(5)Minimal

7、 Entropy Martingale Measure(MEMM)(Miyahara(1996),Frittelli(2000)第21页/共40页参考文献R.Cont,P.Tankov(2003).Financial modelling with jump processes.Chapman and Hall/CRC Press.J.M.Corcuera,D.Nualart,W.Schoutens(2005).Completion of a Levy market by power-jump assets.Finance Stoch.9,109-127.E.Eberlein,J.Jacod(1

8、997).On the range of options prices.Finance Stoch.1,131-140.Frittelli,M.(2000),The Minimal Entropy Martingale Measures and the Valuation Problem in Incomplete Markets,Mathematical Finance 10,39-52.Bellini,F.and Frittelli,M.(2002),On the existence of minimax martingale measures,Mathematical Finance 1

9、2,1-21.第22页/共40页Ornstein-Uhlenbeck型过程其中Z(t)为一Levy过程，X(t)称为Ornstein-Uhlenbeck型过程K.Sato和M.Yamazato(1984,ASP)第23页/共40页Barndorff-Nielsen-Shephard模型推广的随机波动率模型：dX(t)=bX(t)dt+(t)X(t)dW(t)Z(t)是一Levy过程E.Barndorff-Nielsen 和N.Shephard(2001,JRSS(B)E.Barndorff-Nielsen 和N.Shephard(2002,JRSS(B)第24页/共40页利率模型CKLS模型（

10、1992）：（1976）在r=0时，这一模型为Vasicek 模型在r=1/2时，这一模型为CIR 模型。在b=0，r=0，这一模型即为Merton 模型Monika Piazzesi Bond Yields and the Federal ReserveJournal of Political Economy,2005,vol.113,no.2第25页/共40页过程的统计推断问题参数估计问题最大似然估计广义矩估计估计函数（鞅估计函数）假设检验问题 有无跳、变点问题第26页/共40页中国科学 A辑，2006 36（8）901-927模型：模型：问题：问题：求参数，c的估计结果：结果：得到了，c

11、的最大似然估计，并证明了相合性与渐进正态性。张世斌、张新生、孙曙光第27页/共40页第28页/共40页第29页/共40页第30页/共40页模型的进一步推广自相似过程分数维布朗运动：第31页/共40页分数维布朗运动及其随机积分分数维布朗运动的基本性质：在H1/2时，分形布朗运动是长程相依的；在H1/2时，分形布朗运动既不是Markov过程，也不是半鞅。第32页/共40页关于分形布朗运动的随机积分 Rough paths1.Lyons,T.J.Differential equations driven by rough signals.Rev.Math.Iberoamer.14(1998),215

12、-310.2.Coutin,L.,Qian,Z.Stochastic analysis,rough path analysis andfractional Brownian motions.Probab.Theory Related Fields 122(2002),no.1,108-140.Malliavin calculus第33页/共40页关于分形布朗运动的随机积分Nualart,D.Stochastic calculus with respect to the fractionalBrownian motion and applications.Contemporary Mathema

13、tics 336(2003),3-39.Wick productsDuncan,T.E.,Hu,Y.,Pasik-Duncan,B.Stochastic calculus forfractional Brownian motion I.Theory.SIAM J.Control Optim.38(2000),582-612.轨道意义下（path-wise）第34页/共40页分数维Orntein-Uhlenbeck型过程(Fractional Orntein-Uhlenbeck Type Processes)dX(t)=-X(t)dt+dWH(t)+dY(t)其中WH(t)是参数为H的分数维布朗

14、运动，Y(t)为纯跳Levy过程。第35页/共40页（张新生（2006）第36页/共40页由Levy过程驱动的随机微分方程dX(t)=B(X(t)dt+M(X(t)dZ(t)Z(t)为Levy过程R.F.Bass,Stochastic Dierential Equationswith Jumps,Probability Surveys Vol.1(2004)1-19第37页/共40页参考文献（书）D.Applebaum,Levy Processes and Stochastic Calculus,Cambridge University Press,2004O.E.Barndorff-Niel

15、sen,T.Mikosch and S.Resnick (Eds.),Levy Processes:Theory and Applications,Birkhauser,2001J.Bertoin,Levy Processes,Cambridge University Press,1996W.Schoutens,Levy Processes in Finance:Pricing Financial Derivatives,Wiley,2003R.Cont and P Tankov,Financial Modelling with Jump Processes,Chapman&Hall/CRC,2004 K.Sato.Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions.Cambridge:Cambridge University Press,1999第38页/共40页 谢谢！第39页/共40页谢谢您的观看！第40页/共40页