线性代数习题课例题.pptx

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1、解 用行列式展开式法。按第一行展开，即第1页/共73页 例1.3.2 计算四阶行列式 对四阶及四阶以上的行列式，计算它的最基本的方法也是用行列式展开式，即按某一行或某一列来展开用该行或该列的所有元素与其相应的代数余子式乘积之和。一般选择含零元素较多的那一行或那一列。第2页/共73页 解 方法一 按行展开式法。按第一行来展开，即第3页/共73页 方法二 按列展开式法。按第一列来展开，即 可见，行列式按某一行或某一列来展开，只要计算正确，结果应当是一样的。一般情况下总是选取含零元素较多的那一行或那一列来展开，这样计算比较简单方便。第4页/共73页 例1.3.3 计算五阶行列式 解 用行、列展开式法

2、。即行展开，列展开综合使用的方法。即选取含零元素较多的那一行或那一列来展开，得第5页/共73页 第6页/共73页 上面最后一个三阶行列式的计算，当然可以用行列式的展开式法来计算，但是，我们注意到这个三阶行列式的第一行与第三行的元素相同，由行列式的性质2可知，这个三阶行列式的值为零，这是利用行列式的性质得到的结果。也是一种行列式的重要计算法。第7页/共73页 2.用行列式性质法。(1)化上三角法 上(下)三角行列式的计算是比较容易的，其值等于主对角线所有元素的乘积。所以，利用行列式的性质将行列式化为上（下）三角行列式，是计算行列式时经常使用的一种方法，而且，将所求的行列式化为上（下）三角行列式的

3、过程是这几条性质综合运用的结果。其中最重要的是性质7的灵活运用。以化为上三角行列式为例：首先将主对角线下方第一列第8页/共73页 的元素全部化为零，然后依次将主对角线下的第二列、第三列、直到第n-1列元素化为零。一般情况下，为了避免分数运算，应先将主对角线元素变成1或-1。第9页/共73页例1.3.4 计算行列式解 用化上三角法。在计算中，分数运算总是比较麻烦的，所以，如果行列式中含有分数元素，利用性质5每行先提取公因子，然后进行整数运算比较简便，即第10页/共73页 第11页/共73页 第12页/共73页 第13页/共73页 例1.3.5 计算行列式 解解 用化上三角法。这个三阶行列式中各元

4、素的数字都比较大，直接用行列式的展开式法计算肯定是很麻烦的。但我们观察到，第二列的诸元素与第三列的相应元素恰好相差100。第14页/共73页 第15页/共73页 第16页/共73页 第17页/共73页 (2)造零降阶法 用行列式性质使其行列式中的零元素增多,然后按零元素较多的那一行或那一列来展开，使其降阶，再反复利用这种方法，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算，这种方法称为造零降阶法。第18页/共73页 例1.3.6 计算三阶行列式第19页/共73页 解 用造零降阶法。这是一个带有参数的三阶行列式，一般容易考虑用行列式的展开式法，但要分解为一次因式的乘积有时就比较麻烦。在这种情况下，用造零

5、降阶法去计算行列式比较好，有第20页/共73页 第21页/共73页 例1.3.7 计算四阶行列式 第22页/共73页 解 用造零降阶法。即第23页/共73页 第24页/共73页 3 用递推公式或加“边”法，计算 n 阶行列式。例1.3.8 计算 n 阶行列式 ，第25页/共73页 解 方法一 用递推公式法。把第一列的各个元素分别写成两个元素的和，利用行列式性质6可得到 第26页/共73页 把上式中后一个 n 阶行列式的第一行乘以-1分别加至第二行、第三行、第 n 行，于是得第27页/共73页 第28页/共73页故得到递推公式 ,n=1，2，利用递推公式，依次类推得 第29页/共73页 所以第3

6、0页/共73页 方法二 用加“边”法。将 添加一行一列，但使其值不变,即 将此行列式的第一行乘以-1分别加至各行，得第31页/共73页 当x=a时，计算有 ；当 时，第二行至第 n+1 行分别乘以 加至第一行，得第32页/共73页 这是一个下三角行列式，所以第33页/共73页 总而言之，不管x=a，还是 ，都有第34页/共73页 方法三 用化上三角形法。将 第一行乘以(-1)分别加到第二至第 n 行，得将上述行列式的第二列至第 n 列都加到第一列，有第35页/共73页 第36页/共73页 方法四 用行列式性质法。将 第二行至第 n 行都加到第一行，得第37页/共73页 将上述行列式的第一行乘以

7、(-a)分别加到第二行至第 n 行，有第38页/共73页 由此例可见，计算行列式的方法很多，也很灵活。要掌握行列式的计算方法，应加强练习，在练习中总结经验和方法。第39页/共73页 1.3.2用克拉默法则求解线性方程组的方法例1.3.9k 取什么值时，下面方程组有惟一解？有唯一解时求出解。第40页/共73页 解 这是三个未知量三个方程的线性方程组。由克拉默法则知，当系数行列式 时，方程组有唯一解。由第41页/共73页 知，当 时，即当 且 时，线性方程组有惟一解。计算第42页/共73页 于是，当 且 时，线性方程组有惟一解，其解为 问：在本题中，k取什么值时，方程组无解？第43页/共73页1.

8、4 本章的自测题 一、填空题 1.非零元素只有n-1个的 n 阶行列式的值等于_。参考答案：第44页/共73页 2._。参考答案：第45页/共73页 3._。参考答案：第46页/共73页 4._。参考答案：第47页/共73页 5.n 阶行列式 中元素 的代数余子式 与余子式 之间的关系是 _,按第 j 列展开的公式是 。参考答案：，第48页/共73页 6.。参考答案：18第49页/共73页 7.中a的代数余子式为_。参考答案：第50页/共73页 二、单项选择题 1.的解为（）第51页/共73页 A.；B.；第52页/共73页 C.；D.。参考答案：第53页/共73页 2.若 ；则 。A.-2；

9、B.2；C.0；D.-3。参考答案：第54页/共73页 3.是按()展开的。A.第2列；B.第2行；C.第1列；D.第1行。参考答案：第55页/共73页 4.设 则下式中()是正确的。第56页/共73页 A.B.C.D.参考答案：第57页/共73页 5.的 的代数余子式 的值为()。A.3；B.-3；C.5；D.-5。参考答案：第58页/共73页 三、是非题 1.()参考答案：第59页/共73页 2 ()参考答案：第60页/共73页 3.（）参考答案：第61页/共73页 4 ()参考答案：第62页/共73页 5.n 阶行列式 中元素 的 代 数 余子式 为 n-1 行列式。()参考答案：第63页/共73页 7.()参考答案：第64页/共73页 8.若方程个数与未知量个数相等且系数行列式 ，则方程组一定有解。()参考答案：第65页/共73页四、计算行列式 1.参考答案：第66页/共73页 2.参考答案：第67页/共73页 3.参考答案：-2第68页/共73页 4.参考答案：-18 第69页/共73页 5.参考答案：4第70页/共73页 6.参考答案：6 第71页/共73页 五、解行列式方程参考答案：，第72页/共73页感谢您的观看！第73页/共73页