线性代数矩阵特征值与特征向量.pptx

《线性代数矩阵特征值与特征向量.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数矩阵特征值与特征向量.pptx（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、本章的主要内容本章的主要内容6.1 矩阵的特征值与特征向量6.2 相似矩阵与矩阵对角化6.3 实对称矩阵的对角化第1页/共16页1.矩阵的特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的定义3.矩阵的特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量的性质6.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2.矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算第2页/共16页1、基本概念、基本概念定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零向量 x 满足Ax=x，那么数 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 的特征向量注 特征值和特征向量只针对方阵而言 例 则 =

2、1 为矩阵 的特征值；为对应于 =1 的特征向量.第3页/共16页2、特征值与特征向量的计算、特征值与特征向量的计算已知已知所以齐次线性方程组有非零解所以齐次线性方程组有非零解.特特征征方方程程特特征征多多项项式式l特征方程|A I|=0l特征多项式 f()=|A I|(为未知数的一元 n 次多项式)第4页/共16页求特征值、特征向量的方法求特征值、特征向量的方法:求出求出 即为特征值即为特征值;把得到的特征值把得到的特征值 代入上式代入上式,求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解的非零解 x,即为所求特征向量即为所求特征向量.特征值就是特征方程的根特征值就是特征方程的根注注 在复数范围内在

3、复数范围内 n 阶矩阵阶矩阵有有 n 个特征值个特征值(重根按重数计算重根按重数计算)称集合称集合 1,n 为矩阵为矩阵A A的的谱谱(spectrum).将将|1|,|1|,|n|的最大值的最大值称为称为A的的谱半径谱半径,记作记作(A),即即即即第5页/共16页例例 解解第6页/共16页例例 解解第7页/共16页解解 第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A A的特征方程的特征方程,求出特征值求出特征值.例例 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.特征值为特征值为第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值 代入齐次方程组代入齐次方程组求非零解求非零解.第8页/共16页,齐次线性方程组为

4、齐次线性方程组为系数矩阵系数矩阵解解 例例 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.特征值为特征值为得基础解系得基础解系是对应于是对应于第9页/共16页系数矩阵系数矩阵解解 例例 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.特征值为特征值为得基础解系得基础解系是对应于是对应于齐次线性方程组为齐次线性方程组为第10页/共16页 性质性质1 设设 n 阶方阵阶方阵A的的n个特征值为个特征值为 则则矩阵矩阵A A的主对角元素之和称为的主对角元素之和称为矩阵矩阵A的迹的迹.3、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质第11页/共16页 若若A的特征值是的特征值是,x是是A的对应于

5、的对应于 的特征向量的特征向量,性质性质2 (1)kA的特征值是的特征值是k;(k是任意常数是任意常数)(m是正整数是正整数)证证再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 m-2 次次,就得就得第12页/共16页 若若A的特征值是的特征值是,X是是A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量,性质性质2 (1)kA的特征值是的特征值是k;(k是任意常数是任意常数)(m是正整数是正整数)(3)若若A可逆可逆,则则A-1-1的特征值是的特征值是-1-1,的特征值是的特征值是且且x仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于的特征向量的特征向量.证证第13页/共16页 若若A的特征值是的特征值是,X是是A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量,性质性质2 (1)kA的特征值是的特征值是k;(k是任意常数是任意常数)(m是正整数是正整数)(3)若若A可逆可逆,则则A-1-1的特征值是的特征值是-1-1,的特征值是的特征值是且且x仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于的特征向量的特征向量.为为x的多项式的多项式,则则f(A)的特征值的特征值 第14页/共16页作业P165.1,2,3,4P170.5P213.6-3，6-6 第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页