线性代数总复习很全.pptx

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1、上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积性质是计算行列式的中心环节，利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式的重要方法。第1页/共68页展开定理及其应用展开定理及其应用利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低一阶行列式的计算。第2页/共68页特殊关系式第3页/共68页例题解计算下列行列式 第4页/共68页第5页/共68页解方程此为范德蒙行列式例题第6页/共68页二、矩阵二、矩阵不能推出(1)(3)(2)或不能推出交换律不成立消去律不成立转置矩阵的运算律一、矩阵运算中注意的几点第7页/共68页特殊矩阵特殊矩阵：若若阶梯阵A与行最简阶梯阵B若A 为n阶对称矩阵A 为n阶反对称矩阵第8

2、页/共68页n 阶方阵A可逆的充要条件n阶方阵A可逆可逆矩阵可逆矩阵第9页/共68页可逆矩阵的性质 设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则5、求方阵A的逆矩阵的方法第10页/共68页特别：第11页/共68页矩阵的初等变换,初等方阵用初等方阵左（右）乘 A，相当于对 A 作初等行（列）变换得到的矩阵，矩阵A的标准型第12页/共68页1、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2、秩的基本关系式：3、关于秩的重要结论：矩阵的秩矩阵的秩第13页/共68页重要结论定理定理第14页/共68页秩的求法：秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2）初等变换法：,R（A）=T的阶梯数3）若P可

3、逆，则,常需先验证P可逆第15页/共68页选择题 1 1设 A、B 都是 n 阶方阵，则 e第16页/共68页选择题2（4）第17页/共68页（2）第18页/共68页选择题4（3）第19页/共68页解例第20页/共68页例：设方阵 A满足2A2-5A-8E=0，证明 A-2E 可逆，关键：寻求方阵 B，使（A-2E）B=E分析原式可写为（重点）第21页/共68页例：设矩阵 X 满足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得 AXB-XB=C，则得显然A-E、B均可逆，并且解（重点）第22页/共68页例第23页/共68页R(A)=2初等变换例（重点）第24页/共68页例解第25页/共68页三向量组

4、的线性关系三向量组的线性关系定义定义 极大无关组、等价等价定义（重点）第26页/共68页结论结论:2、。3、1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；秩（A）=列向量组的秩=行向量组的秩第27页/共68页定理定理第28页/共68页定理第29页/共68页判别法判别法 1 1判别法 2 等价的向量组的秩相等；部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关第30页/共68页判别法3 第31页/共68页例题例题DF第32页/共68页例题例题BC第33页/共68页设 解例重点第34页/共68页(续续)其余向量由此极大无关组表示为：所以第35页/共68页向量4-4-

5、例题4 4解 1)因为行列式 所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；否则线性无关。第36页/共68页证明证明证明第37页/共68页证明证明分析：只要证明：B的列秩=m;证明第38页/共68页第39页/共68页例例 设向量组设向量组问 k 为何值时表示法唯一，不唯一，不可表示。解 设即用克莱姆法则第40页/共68页 k=-3 时表示法唯一，时同解方程组有无穷多解。时方程组有唯一解表示法不唯一，第41页/共68页线性方程组解的存在性定理各种解法解的结构四、线性方程组的解法与解的结构四、线性方程组的解法与解的结构定理1 设有非齐次线性方程组第42页/共68页定理1 设有齐次线性方程组（2）方程组

6、方程组-2-2-通解、基础解通解、基础解系系第43页/共68页方程组方程组-2-2-通解、基础解通解、基础解系系定理2 设有非齐次线性方程组（1）第44页/共68页 讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、解系数行列式所以1):2):有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。（重点）例第45页/共68页例题例题3 3（续）（续）由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.2):则通解为第46页/共68页当时，称与正交。定理定理中两两正交、非零向量组线性无关。若满足称为规范正交基。定义3 五、内积、施密特正交化。第47页/共68页定义定义4 4 是n阶方阵,若是正交矩阵称性质2的列(行)向

7、量组为正交单位向量组是正交矩阵性质1是正交矩阵则A可逆且设性质3设 A、B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。性质4设 A 是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质5设 A 是正交矩阵，则第48页/共68页3、施密特正交化方法设在中为线性无关向量组令正交化过程：则是正交向量组，单位化第49页/共68页六、特征值与特征向量、矩阵的对角化六、特征值与特征向量、矩阵的对角化内容：矩阵的特征值与特征向量的定义,求法,性质；相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法定义1使方程设方阵成立数和 n 元非零列向量第50页/共68页1-1-特征值、特征向量特征值、特征向

8、量-求法求法1、特征值的求法2、特征向量的求法第51页/共68页2-2-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵-的性质的性质性质 全不为零。第52页/共68页3-3-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵-的性的性质质性质2第53页/共68页例例2 2、3-3-特征值、相似矩特征值、相似矩阵阵 例3 设A是一个方阵-100第54页/共68页例4-4-相似矩阵设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.解 1）因为矩阵A、B相似，所以第55页/共68页例4-4-相似矩阵设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.2）因为矩阵A、B相似，所以1也是A的特征值，所以并且1是B的一个特征值第56页/共68页3-3-特征向量的性质

9、特征向量的性质1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相3）正交向量组必是线性无关组。互正交。第57页/共68页4-n4-n阶方阵阶方阵A A可对角化的条件、方可对角化的条件、方法法1、一个充分必要条件：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量2、两个充分条件：1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。3、对角化方法：4、正交对角化（重点）（重点）第58页/共68页例例1 1（1）求设相似于（1）由性质（2）（2）解第59页/共68页例5第60页/共68页三阶实对称矩阵 的特征值

10、分别为秩例例8 8相应的特征向量分别为已知求 的值及矩阵解秩有三个不同特征值,则 可取的特征向量为则第61页/共68页七、二次型化标准型七、二次型化标准型-1-1-基本定义、基本内容基本定义、基本内容1、二次型二次齐次多项式；标准型的矩阵对角阵二次型的矩阵表示2、二次型的矩阵前提：实对称矩阵；注意元素特点 标准型仅含有平方项的二次型则二次型的矩阵第62页/共68页二次型及其标准型-2-2-最重要内容注1：对线性变换 X=PY来说，当P可逆矩阵时，称之为可逆变换；当P是正交矩阵时，称之为正交变换 用正交变换 将二次型 化为标准型；第63页/共68页二次型二次型-3-3-例例2 2求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型 解 二次型的矩阵为第64页/共68页3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：第65页/共68页第66页/共68页第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页