线性代数线性相关性判定定理.pptx

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1、定理定理1 1向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.即有第1页/共20页故因 这 个数不全为0，故 线性相关.必要性设 线性相关，则有不全为0的数使 第2页/共20页因 中至少有一个不为0，不妨设 则有即 能由其余向量线性表示.向量组向量组 （当（当 时）线性时）线性无关无关的充分必要条件是的充分必要条件是 中中任何一个任何一个向向量都量都不能不能由其余由其余 个向量线性表示个向量线性表示定理1的逆否命题第3页

2、/共20页例1 向量组 线性相关的充要条件是（A）中有一零向量（B）中任意两个向量的分量成比例（C）中有一向量是其余向量的线性组合（D）中任意一个向量是其余向量的线性组合第4页/共20页例2 若向量组 线性相关，则 是其余向量的线性组合，这种说法对吗？不对例如但 不能写成其余向量的线性组合所以线性相关由于第5页/共20页例3 假定 能用 表示为问向量组 是否线性相关？由定理1知 线性相关第6页/共20页.,:,:121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性相关组组而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组ABArra aa aa aa

3、 aa aLL定理2证设线性无关，而向量组线性相关，k，（否则与线性无关矛盾）可由线性表示.即有第7页/共20页下证唯一性：两式相减有线性无关，即表达式唯一.设定理2的逆否命题 设向量组A：线性无关，而向量不能由向量组A线性表示，则向量组B：线性无关。第8页/共20页（A）如果存在不全为零的数 使则 线性无关（B）若向量组 线性相关，则 可由其余向量线性表示（C）向量组 线性无关的充要条件是 不能由其余m1个向量线性表示。（D）若 不线性相关，则一定线性无关例4 设 是一组n维向量，则下列结论正确的是第9页/共20页例5 命题：如果 线性无关，且 不能由 线性表示则 线性无关。是否为真命题？答

4、此命题为定理2 的逆否命题，所以为真命题例6 命题：设 可由 线性表示，且表示法唯一，则 线性无关。是否为真命题？证由已知 可由 线性表示存在一组数 使得第10页/共20页设两式相加得因 由 唯一的线性表示所以所以即 线性无关所以此命题为真命题第11页/共20页,也线性相关。也线性相关。若干个向量后所得的向量组若干个向量后所得的向量组线性相关线性相关若向量组若向量组,21ra aa aa aL定理3,2ra aa aLa a1则增加则增加证因为线性相关故存在一组不全为零的数使从而其中不全为零所以线性相关部分相关则整体相关整体无关则部分无关第12页/共20页例7 n维向量组 线性无关的充要条件是

5、（A）存在一组不全为零的数使（B）中任意两个向量均线性无关（C）中存在一个向量不能由其余向量线性表示（D）中任意一个向量都不能用其余向量线性表示第13页/共20页例8 设向量组 线性相关，向量组 线性无关，问 能否由 线性表示？证明你的结论解能因为 线性无关，所以 线性无关整体无关则部分无关而 线性相关由定理2，可唯一的由 线性表示第14页/共20页1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 例如例如 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 是是A的一个二阶子式的一个二阶子式 第15页/共20页定理4 设n维行向量组A：构成一

6、个r n型矩阵其中r n，则向量组A线性无关的充分必要条件是：在矩阵A中至少存在一个不等于零的r阶子式第16页/共20页定理4当rn时，我们有如下推论推论1 n个n维向量线性无关的充要条件是它们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。推论2 n个方程的n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是系数行列式推论3 当mn时，m个n维向量一定线性相关。这就是说，向量的个数超过维数的向量组一定线性相关。第17页/共20页例 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性解矩阵A中有3个2维行向量，由推论3知必线性相关。因为 由推论1知B的三个行向量线性无关。矩阵C的4个3阶子式全为零，故C的3个行向量线性相关。（定理4的逆否命题）第18页/共20页推论4 如果在m n型矩阵A中有一个r阶子式，则含有D的r个行向量和r个列向量都线性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页