选修坐标系平面直角坐标系.pptx

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1、平面直角坐标系第1页/共18页 声响定位问题声响定位问题 某中心接到其正东、正西、正北方某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s4s，已知各观测点到中心的距离都是，已知各观测点到中心的距离都是1020m1020m，试确定该巨响的位置。，试确定该巨响的位置。(假定当假定当时声音传播的速度为时声音传播的速度为340m/s340m/s，各相关点，各相关点均在同一平面上均在同一平面上).).信息中心信息中心观测

2、点观测点观测点观测点观测点观测点PBACyxO第2页/共18页 y yx xB BA AC CP Po o 以接报中心为原点以接报中心为原点O O，以，以BABA方向为方向为x x轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.设设A A、B B、C C分别是西、分别是西、东、北观测点，东、北观测点，则则 A(1020,0),B(A(1020,0),B(1020,0),C(0,1020)1020,0),C(0,1020)设设P P（x,yx,y）为巨响为生点，）为巨响为生点，因因A A点比点比B B点晚点晚4s4s听到爆炸声，听到爆炸声，故故|PA|PA|PB|=3404=1360|PB|=3404=1

3、360 由由B B、C C同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得|PC|=|PB|PC|=|PB|，故故P P在在BCBC的垂直平分线的垂直平分线POPO上，上，POPO的方程为的方程为y=y=x x，由双曲线定义由双曲线定义P P点在以点在以A,BA,B为焦点的双曲线为焦点的双曲线 上上a=680,c=1020,a=680,c=1020,b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=1020=10202 2-680-6802 2=5340=53402 2.所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：用用y=y=x x代入上式，得代入上式，得 答答:巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北4

4、5450 0,距中心距中心 第3页/共18页坐坐 标标 法法(3)(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：(1)(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第4页/共18页 例例1.1.已知已知ABCABC的三边的三边a,b,ca,b,c满足满足b b2 2+c+c2 2=5a=5a2 2,BE

5、,CF,BE,CF分别为边分别为边AC,CFAC,CF上的中线，建立上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究适当的平面直角坐标系探究BEBE与与CFCF的位置关系。的位置关系。(A)(A)F FB BC CE EOy yx xA(0,0),B(c,0),F(c/2,0).解：以ABC的顶点为原点,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为所以所以2x2x2 2+2y+2y2 2+2c+2c2 2-5cx=0.-5cx=0.设设C C点坐标为点坐标为(x,y)(x,y)，则点，则点E E的坐标为的坐标为(x/2,y/2)(x/2,y/2)，由由b b2 2+c+c2 2

6、=5a=5a2 2，|AC|AC|2 2+|AB|+|AB|2 2=5|BC|=5|BC|2 2，即即x x2 2+y+y2 2+c+c2 2=5(x-c)=5(x-c)2 2+y+y2 2，=-(2x=-(2x2 2+2y+2y2 2+2c+2c2 2-5cx)/4=0-5cx)/4=0 因为因为=(x/2-c,y/2)=(x/2-c,y/2)，所以所以=(c/2-x,-y)=(c/2-x,-y)，(x/2-c,y/2)(c/2-x,-y)(x/2-c,y/2)(c/2-x,-y)因此，因此，因此，因此，BEBE与与与与CFCF互相垂直互相垂直互相垂直互相垂直.第5页/共18页。MMN NO

7、 OP PX Xy y 例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。解：以直线解：以直线O O1 1O O2 2为为x x轴，线段轴，线段O O1 1O O2 2的垂直平分线的垂直平分线为为y y轴，建立平面直角坐标系，轴，建立平面直角坐标系，则两圆的圆心坐标分别为则两圆的圆心坐标分别为O O1 1(-2,0)(-2,0)，O O2 2(2,0)(2,0)，设设P(x,y)P(x,y)则则PMPM2 2=PO=PO1 12 2-MO-MO1 12 2=同理，同理，P

8、NPN2 2=第6页/共18页平面直角坐标系 中的伸缩变换第7页/共18页思考：怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线y=sin2x?y=sin2x?在正弦曲线在正弦曲线y=sinxy=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标，保持纵坐标不变，将横坐标x x缩为原来的缩为原来的1/21/2，就得到正弦曲线就得到正弦曲线y=sin2xy=sin2x。xO O2y上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换即：设即：设P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，保持纵

9、坐标保持纵坐标y y不变，将横坐标不变，将横坐标x x缩为原来缩为原来1/21/2，得到点，得到点P(x,y)P(x,y)，坐标对应关系为：，坐标对应关系为：我们把我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。压缩变换。第8页/共18页怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线y=3sinx?y=3sinx?在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P(x,y),P(x,y),保持横坐标保持横坐标x x不变，不变，将纵坐标伸长为原来的将纵坐标伸长为原来的3 3倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinxy=3sinx。xO O2y上述变换

10、实质上就是一个坐标的伸长变换上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换即：设即：设P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，设设P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x x不变，将纵坐标不变，将纵坐标y y伸长为原来的伸长为原来的3 3倍，得到点倍，得到点P(x,y),P(x,y),坐标对应关系为：坐标对应关系为：我们把我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.第9页/共18页 在正弦曲线在正弦曲线在正弦曲线在正弦曲线y=sinxy=sinx上任取一上任取

11、一上任取一上任取一点点点点P(x,y)P(x,y)，保持纵坐标不变，将，保持纵坐标不变，将，保持纵坐标不变，将，保持纵坐标不变，将横坐标横坐标横坐标横坐标x x缩为原来的缩为原来的缩为原来的缩为原来的1/2;1/2;怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线y=3sin2x?y=3sin2x?x xy yO 在此基础上，将纵坐标变为原来的在此基础上，将纵坐标变为原来的3 3倍，就得到正弦曲倍，就得到正弦曲线线y=3sin2x.y=3sin2x.即在正弦曲线即在正弦曲线y=sinxy=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)P(x,y)，若设点，若设点P(x,y)P(x

12、,y)经变换得到点为经变换得到点为P(x,y)P(x,y)，坐，坐标对应关系为标对应关系为:。把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换第10页/共18页设设P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换是平面直角坐标系中任意一点，在变换:定义定义:的作用下，点的作用下，点P(x,y)P(x,y)对应对应P(x,y).P(x,y).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。上述上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。可以实现平面图形的伸缩。在伸缩变换

13、下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；第11页/共18页 例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1解：解：(1)(1)由伸缩变换由伸缩变换得到得到代入代入 2x+3y=0;2x+3y=0;；得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方

14、程是(2)(2)将将代入代入x x2 2+y+y2 2=1=1，第12页/共18页在伸缩变换在伸缩变换下，下，直线仍然变成直线，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，而圆可以变成椭圆，那么椭圆可以变成圆吗？那么椭圆可以变成圆吗？抛物线、双曲线变成什么曲线？抛物线、双曲线变成什么曲线？第13页/共18页练习：练习：1 1 求下列点经过伸缩变换求下列点经过伸缩变换求下列点经过伸缩变换求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：后的点的坐标：（1 1，2 2）；）；（-2-2，-1-1）.2 2 曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换后的曲线方程是后的曲线方程是则曲线则曲线C C的方程是的方程是 .3 3 将点

15、（将点（2 2，3 3）变成点（）变成点（3 3，2 2）的伸缩变换是（）的伸缩变换是（）第14页/共18页4 曲线变成曲线的伸缩变换是 .5 5 在伸缩变换在伸缩变换与伸缩变换与伸缩变换的作用下，的作用下，单位圆单位圆分别变成什么图形？分别变成什么图形？6 6 设设MM1 1是是A A1 1(x(x1 1,y,y1 1)与与B B1 1(x(x2 2,y,y2 2)的中点，经过伸缩变换后的中点，经过伸缩变换后,它们分别为它们分别为MM2 2,A,A2 2,B,B2 2，求证：，求证：MM2 2是是A A2 2B B2 2的中点的中点.第15页/共18页7 7 已知点已知点A A为定点，线段为

16、定点，线段BCBC在定直线在定直线 l l 上滑动，已知上滑动，已知|BC|=4|BC|=4，点，点A A到直线到直线 l l 的距离为的距离为3 3，求，求ABCABC的外心的的外心的 轨迹方程。轨迹方程。则则A A（0 0，3 3）B B（x-2,0 x-2,0）C(x+2,0),C(x+2,0),以以 l l 为为X X轴，过定点轴，过定点A A垂直于垂直于X X轴的直线为轴的直线为Y Y轴建立直角坐标系，轴建立直角坐标系，设设ABCABC外心为外心为P P（x,yx,y）,由由|PA|=|PB|PA|=|PB|得得第16页/共18页 8 在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x2+y2=1 9 在同一直角坐标系下，经过伸缩变换 后,曲线C变为x29y2=1,求曲线C的方程并画出图形。第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页