线性代数第五章习题课.pptx

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1、第1页/共80页考试内容 向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似变换、相似矩阵的概念及性质(相似同秩，但同秩未必相似)矩阵可相似对角化的充分必要条件(存在n个线形无关特征向量)及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形(只反映特征值的正负个数)和规范形(系数只能是1，-1，0)用正交变换(系数是特征值)和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考研大纲考研大纲第2页/共80页考试要求1了解内积(交换线形分配)的概念，掌握线性无关向量组标准规范化

2、的施密特（Schmidt）方法2了解标准正交基(不是对称阵的特权)、正交矩阵的概念，以及它们的性质3理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量4了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法考研大纲考研大纲第3页/共80页5掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(n重特征值有n个线形无关的特征向量不同特征值所对应的特征向量必正交)6掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念(与其矩阵表示同秩)，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理(涉及到正负惯性系数)7掌握用正交变换化二次型为标准形的方法(

3、仅此法能判定二次型形状),会用配方法化二次型为标准形8理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法(定义秩与E合同正惯性系数为零顺序主子式)考研大纲考研大纲第4页/共80页定义向量内积的定义及运算规律第5页/共80页第6页/共80页定义向量的长度具有下列性质：向量的长度第7页/共80页第8页/共80页定义向量的夹角第9页/共80页所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基定理定义正交向量组的性质第10页/共80页施密特正交化方法第11页/共80页第一步正交化第12页/共80页第二步单位化第13页/共80页定义正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条

4、件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交第14页/共80页正交变换的特性在于保持线段的长度不变定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换第15页/共80页定义方阵的特征值和特征向量第16页/共80页第17页/共80页有关特征值的一些结论第18页/共80页定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论第19页/共80页定义矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性相似矩阵第20页/共80页有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同第21页/共80页(4)能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量

5、(5)有 个互异的特征值，则 与对角阵相似第22页/共80页实对称矩阵的相似矩阵第23页/共80页定义二次型第24页/共80页二次型与它的矩阵是一一对应的第25页/共80页定义二次型的标准形第26页/共80页化二次型为标准形第27页/共80页第28页/共80页定义正定二次型第29页/共80页惯性定理第30页/共80页注意第31页/共80页正定二次型的判定第32页/共80页第33页/共80页一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值第34页/共80页五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断

6、方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形第35页/共80页一、证明所给矩阵为正交矩阵第36页/共80页证明第37页/共80页第38页/共80页将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化二、将线性无关向量组化为正交单位向量组第39页/共80页解一先正交化，再单位化第40页/共80页第41页/共80页第42页/共80页解二同时进行正交化与单位化第43页/共80页第44页/共80页第45页/共80页第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法第一步计算的特征多项式；

7、第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；第46页/共80页解第一步计算的特征多项式第47页/共80页第三步求出的全部特征向量第48页/共80页第49页/共80页第50页/共80页第51页/共80页解四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值第52页/共80页第53页/共80页第54页/共80页解五、求方阵的特征多项式第55页/共80页第56页/共80页解六、关于特征值的其它问题第57页/共80页方法一第58页/共80页方法二第59页/共80页方法三第60页/共80页解第61页/共80页第62页/共80页七、判断方阵可否对角化解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值第63页/共80页第64页/共80页第65页/共80页第66页/共80页解第一步求A的特征值由八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵第67页/共80页第68页/共80页第69页/共80页第70页/共80页第71页/共80页第72页/共80页九、化二次型为标准形解第一步将表成矩阵形式第73页/共80页第74页/共80页第75页/共80页第76页/共80页解第77页/共80页第78页/共80页第79页/共80页感谢您的观看！第80页/共80页