物理刚体力学基础.pptx

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1、1二、刚体的基本运动 刚体最基本的运动方式是平动和转动。1、刚体的平动、刚体的平动在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行，这样的运动称为刚体的平动 第1页/共56页22、刚体的转动 若刚体上各个质元都绕同一直线作圆周运动，这样的运动称作刚体的转动(rotation)，这条直线称为转轴（这根轴可在刚体之内，也可在刚体之外）。非定轴转动：在刚体转动过程中，转轴的方向或位置随时间变化。该转轴称为转动瞬轴如陀螺的旋进、车轮的滚动等。定轴转动：转轴固定不动，即既不改变方向又不发生平移。该转轴称为固定轴。第2页/共56页3三、刚体定轴转动的描述 垂直于固定轴的

2、平面为转动平面显然，转动平面不止一个，而有无数多个。如果以某转动平面与转轴的交点为原点，则该转动平面上的所有质元都绕着这个原点作圆周运动。刚体定轴转动的基本特征是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点在同一时间间隔内转过的角度都一样。角位移、角速度和角加速度 转动平面上任一质元对原点的位矢r与极轴的夹角称为角位置。刚体在一段时间内转过的角度=2-1称为角位移 第3页/共56页4在时刻t到t+t时间内的角位移与t之比称为刚体的平均角速度当t0时，平均角速度的极限称为瞬时角速度，简称角速度，用表示：平均角加速度瞬时角加速度，简称角加速度 第4页/共56页5刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点:所有

3、质点的角量都相同所有质点的角量都相同 ；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比。第5页/共56页6一、力矩一、力矩 1 1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即 力矩是矢量，M的方向垂直于r和F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。2）力矩的单位:牛米(Nm)o m3.2 力矩刚体定轴转动的转动定律第6页/共56页7 3）力矩的计算：M的大小、方向均与参考点的选择有关在直角坐标系中，其表示式为第7页/共56页8 力矩在x,y,z轴的分量式，或称力对轴的矩。例如上面所列x,My,Mz,即为

4、力对轴、轴、轴的矩。、力对轴的矩：式中 为力F到轴的距离 若设力的作用点到轴的位矢为r，则力对轴的力矩为力对固定点的力矩为零的情况：力对固定点的力矩为零的情况：力F等于零，力F的作用线与矢径r共线（力力F F的作用线穿过的作用线穿过0 0点点,即，有心力对力心的力矩恒为即，有心力对力心的力矩恒为零零）。第8页/共56页9任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的力矩之和为零：任一对作用力和反作用力（内力）对同点（同轴）的力矩之和为零：力对固定轴的力矩为零的情况：力对固定轴的力矩为零的情况：若力的作用线与轴平行若力的作用线与轴相交则力对该轴无力矩作用第9页/共56页10二、刚体定轴转动的转动

5、定律 在刚体上任取一质元mi，半径为ri，设它所受的合外力为Fi，合内力为fi，它们与矢径ri的夹角分别为i和i设刚体绕轴转动的角速度和角加速度分别为和根据牛顿第二定律，采用自然坐标系，可得质元mi的法向和切向方程，分别为第10页/共56页11将切向方程的两边各乘以ri，可得 切向方程：把上式对刚体所有质元求和，并考虑到各质元角加速度相同，有 因为令：合外力矩转动惯量第11页/共56页12单位：千克米2（kgm2）三、转动惯量的计算对于单个质点对于单个质点 质点系质点系 若物体质量连续分布若物体质量连续分布，上式为刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比

6、，与刚体的转动惯量成反比。牛顿第二定律：F=ma。第12页/共56页13()质量元的选取：线分布面分布体分布 (3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，即对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。给定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。(1)刚体的转动惯量与刚体的质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。转动惯量计算举例：注意：第13页/共56页14解：在棒上任取一质量元线密度 于是例3 31 1 求质量为 M M，长为l的均质细棒对过穿过棒之中心并与棒垂直的轴的转动惯量。第14页/共56页15解：与上例做法相同，只是坐标原点由中点移至

7、端点，积分限改变。例3 32 2 求上述细棒对过棒之一端并与棒垂直的轴的转动惯量.第15页/共56页16解：在细圆环上任取一质元dm，dm到轴的距离为，故 因所有质元到轴心的距离均为，例3 33 3 求质量为M M，半径为的细圆环绕过圆心并与环面垂直的轴的转动惯量R第16页/共56页17解：设圆盘厚为 h,h,则整个圆盘可看成是由无穷多个半径为r r，宽为drdr的圆环所组成，设体密度为例3 34 4 求质量为M，半径为的均质圆盘（或圆柱）对过质心且与盘面垂直的转轴的转动惯量。第17页/共56页18四、刚体定轴转动的转动定律的应用四、刚体定轴转动的转动定律的应用作定轴转动的刚体，其转动角加速度

8、与外力对转轴的力矩之和成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。点运动中地位相当。第18页/共56页19 转动定律说明了转动定律说明了J J是物体转动惯性大小的量度。因为：是物体转动惯性大小的量度。因为：说明：J越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动状态越难改变，即转动惯性越大。如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM第19页/共56页20例例35 质量为质量为m1，m2（m1 m2）的两物体，的两物体，通过一定滑轮用绳相连，通过一定滑轮用绳相连，已知绳与滑轮间无相

9、对滑已知绳与滑轮间无相对滑动，且定滑轮是半径为动，且定滑轮是半径为R、质量为质量为 m3的均质圆盘，忽的均质圆盘，忽略轴的摩擦。求：略轴的摩擦。求：(1)m1、m2的加速度；的加速度；(2)滑轮的滑轮的角加速度及绳中的张力。角加速度及绳中的张力。（绳轻且不可伸长）（绳轻且不可伸长）m1m2m3R第20页/共56页21m1m2解 对m1、m2，滑轮作受力分析，m1、m2作平动，滑轮作转动，第21页/共56页22解得：请注意与教材P27之例题2.比较，其有两处不同。其一此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；其二绳与滑轮间无相对滑动，所以，滑轮两边之张力不相等。回上页下一页回首页第

10、22页/共56页23一、刚体的转动动能可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。i质点的动能 整个刚体的动能对i求和下一页注意比较转动动能平动动能回上页回首页3.3刚体定轴转动的动能定理第23页/共56页24二、力矩的功 对于i 质点其受外力为Fi，对i求和，当整个刚体转动d ，则力矩的元功 式中M为作用于刚体上外力矩之和-其表明：力矩的元功等于力矩与角位移之乘积（内力矩之和为零）当刚体转过有限角时，力矩的功为 第24页/共56页25三、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。力矩对刚

11、体所做的功，等于刚体转动动能的增量。第25页/共56页26四、刚体的势能其中m为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。OXY miMC第26页/共56页27五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律系统机械能守恒，即第27页/共56页28 例36一均匀细杆长l，质量m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴自由倒下，求杆的另一端点a着地时的角速度、线速度v、法向加速度an及切向加速度a 。解：杆在倒下过程中机械能守恒杆着地时刻，根据转动定律 第28页/共56页29一、质点的角动量一、质点的角动量 在质点的匀速圆周运动中角动量的引入：角动量的

12、引入：开普勒行星运动定律的面积定律开普勒行星运动定律的面积定律 许多实例都说明许多实例都说明 是一个独立的物理量是一个独立的物理量再考虑到行星的质量m为恒量，3.4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律第29页/共56页30 它在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量角动量L，来描述这一现象 卫星地球+第30页/共56页31、质点对固定点的角动量 动量为mv的质点，对惯性系内某参考点0的角动量，等于质点对该参考点的位矢r与其动量mv的矢积。角动量是矢量，角动量L的方向垂直于r和mv 所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。在

13、直角坐标系中 注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L L画在参考点上。画在参考点上。L 的大小为 L第31页/共56页32 角动量的单位是：千克米2秒-1(kgm2s-1)。当质点作圆周运动时,有v=r,且r与v互相垂直，故有 是相对量：与参照系的选择有关，与参考点的选择有关Lr mv=m r2 第32页/共56页33例37一质点m以恒速v沿轴运动，求其对原点和轴上距点为l的点的角动量解:对点：由图知夹角为零。角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动或不能作直线运动。oxyzAf对于A点第33页/共56页34例3-8 计算氢原子中电子

14、绕原子核作圆周运动时的角动量。求 L解：以原子核为参考点已知：me=9.110-31kg r=5.5910-11m =4.131010s-1 M第34页/共56页352 2、质点对轴的角动量 假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z轴的角动量为 ，方向沿z轴，可正、可负 质点动量不在转动平面内，则第35页/共56页36二、质点的角动量定理及角动量守恒律二、质点的角动量定理及角动量守恒律、对点的角动量定理（微分形式）若用r叉乘牛顿定律即式中r是质点对参考点O的位矢。又于是有或即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点即：作用在质点上的力矩等于质点角

15、动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。的角动量定理。第36页/共56页37、角动量定理的积分形式：叫冲量矩叫冲量矩*：MM和和L L必须是对同一点而言必须是对同一点而言 3 3、角动量守恒律的讨论 a a、对点的角动量守恒律若 ，则 质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的这就是质点的角动量守恒定律角动量守恒定律。外力矩对某固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量的增量外力矩对某固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量的增量第37页/共56页38b、对轴的角动量守恒律：若 Mz=0，则 Lz

16、=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零）若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该，则质点对该轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒第38页/共56页39例39 质量为m的质点拴在一条细绳上，绳子通过一个光滑的套管可以往下牵引，使m在水平面内转动，当绳长为r0时以速率v0转动，求把绳子缩到r需做的功.解：绳与质点系统对点角动量守恒，（有心力作用）此过程中动能的增量 由动能定理，此即外界对系统所做的功因质点始终绕点作圆周运动，第39页/共56页40例3-10:物体质量

17、为3kg,t=0时位于如一恒力N作用在物体上，求3s后，（1）物体动量的变化，（2）相对Z轴角动量的变化。解：（1）（2）第40页/共56页41解:XYZO验证：例3一11 质量为m的质点以速度v0从参考点平抛出去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。第41页/共56页42例312将一质点沿半径为R的光滑半球形碗的内面与水平面略成一小角度地投射，碗保持静止。设v0为质点恰能达到碗口所需的初速度，试求出v0作为 的函数（是用角度表示的质点初位置，如图所示）解：质点由初位置上升到碗口的过程中机械能守恒，以质点初位置为重力势能零点，有质点在运动过程中，质点对竖直轴的角动量守恒，有由(1)(2

18、)两式，得第42页/共56页43三、质点系的角动量定理三、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理i i质点对固定点质点对固定点O O的角动量定理的角动量定理设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为：则i i质点对固定点O O的角动量定理为对对i i求和求和质点系对固定点质点系对固定点O O的角动量定理的角动量定理第43页/共56页44由于内力成对出现，每对内力对由于内力成对出现，每对内力对O O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是有有质点系对固定点的角动量定理：质点系对0点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。2 2、

19、质点系对轴的角动量定理将外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。第44页/共56页453 3、刚体定轴转动的角动量定理刚体对轴的角动量对轴的角动量定理第45页/共56页46定轴转动的角动量守恒定律若Mz外0，若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角动量守恒，若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角动量守恒，称之为刚称之为刚体对轴的角动量守恒定律。体对轴的角动量守恒定律。根据第46页/共56页47物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动绕同一轴转动时的角动量守恒 J可变，亦可变，但仍有J=常数，故有第47页/共56页48D:D:实际中的一些现象

20、实际中的一些现象开始不旋转的物体，当其一部分旋转开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。艺术美、人体美、物理美相互结合高！高！芭蕾舞演员的高难动作第48页/共56页49刚体组绕同一轴转动绕同一轴转动时的角动量守恒 总角动量 刚体与质点组绕同一轴的角动量守恒总角动量 第49页/共56页50例3-13 一根质量为m长为2 的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量为m/的小球，以速度u垂直落到棒r端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度u/及棒的角速度？解：以小球、细棒为一系统，其

21、对水平轴的角动量和机械能守恒。解得：第50页/共56页51解：m,M相碰过程，以摆球、木棒、地球为一系统，机械能守恒，即以摆球、木棒为一系统，对过0的水平轴角动量守恒，即例314 长为 的均匀细棒一端悬于o点，另一端自由下垂，紧靠o点有一摆线长也为 的单摆，摆球质量为m，现将单摆拉到水平位置后由静止释放，设摆球在其平衡位置与棒作完全弹性碰撞后恰好为静止，试求，细棒的质量M，细棒碰后摆动的最大角 第51页/共56页52棒摆动过程机械能守恒，即联立得 第52页/共56页53 例3-153-15 质量为M M、半径为R R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为m m的人站在边沿上，人和转台原来都静

22、止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？解：以M、m为研究对象,其对竖直轴的力矩为零，即故对竖直轴的角动量守恒mX+设人和转台对地的角速度分别为 人、台，故有故有第53页/共56页54Xm+于是，有设人在台上奔跑一周的时间为t，则有于是同理，讨论：（1）若M，则人地2，（2）若m，则人地0。第54页/共56页55 平平 动动 转转 动动 动量动量 角动量角动量 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 动能定理动能定理 动能定理动能定理 机机 械械 能能 守守 恒恒 定定 律律 条件：（或只有保守力作功）质点平动与刚体定轴转动的对应关系第55页/共56页56感谢您的观看！第56页/共56页