西北工业大学矩阵论复习.pptx

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1、 1.判断 1，sinx,cosx 的线性相关性.2.若 1,2,r线性无关，则向量组 1=1+k1 r,2=2+k2 r,r=r(ki K)也线性无关.3.求向量组分别生成的子空间的交的基和维数.第1页/共43页4.设 V1,V2 分别是证明 Kn=V1 V2 5.设 S,A,T分别为Kn n中对称，反对称，上三角方阵构成的子空间，证明：Kn n=S A,Kn n=T A.第2页/共43页二.线性变换 1.定义 T:VV且T(k+l )=kT()+lT()2.线性变换的值域与核 R(T)=L(T(1),T(2),T(n),N(T)=T()=,V 3.线性变换的矩阵 T(1,2,n)=(1,2

2、,n)A rankT=rankA,nullT=n-rankA（1,2,n 为 线性空间V 的一个基）4.线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式.第3页/共43页 5.化简线性变换的矩阵 (1)线性变换的特征值与特征向量 (2)在不同基下的矩阵相似 (3)C上的线性空间V上的T，一定存在V的一个基使得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵 (4)C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征向量。(5)Hamilton 定理与矩阵的最小多项式第4页/共43页6.不变子空间 定义:W是V的子空间，T是V的线性变换，如果对 W,有T()W,则W是T

3、的不变子空间.第5页/共43页 1.求K2 2上的线性变换 T：T(X)=AX的值域R(T)与核N(T)的基与维数,其中设T,S 是V 的线性变换，T2=T,S2=S,ST=TS,证明 (S+T)2=S+TST=O.3.设T,S 是V 上线性变换，且T2=T,S2=S ，证明 (1)R(T)=R(S)TS=S,ST=T (2)N(T)=N(S)TS=T,ST=S设Px2的线性变换T T(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x22.求Px2的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.第6页/共43页5.设V 是C 上的n维线性空间，T是V上的线性变换，其中

4、1,2,n是V 的一个基.证明：V 的包含 n的T 的不变子空间只有V.第7页/共43页6.设线性空间V3的线性变换T 在基 1,2,3下的矩阵证明：W=L(2-1,3-1)是T 的不变子空间.第8页/共43页7.求下列矩阵的Jordan标准形8.求下列矩阵的最小多项式第9页/共43页9.设A 是一个6阶方阵，其特征多项式为 ()=(+2)2(-1)4,最小多项式为mA()=(+2)(-1)3,求出A的若当标准形.10.对于n 阶方阵A，如果使Am=O成立的最小正整数 为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.第10页/共43页欧式空间与酉空间 1.

5、定义,度量矩阵(,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x和y分别是 和 在该基下的坐标)2.正交基与规范正交基(sthmidt 正交化)3.正交补 4.对称变换与正交变换(T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵.(T,T)=(,)T 在规范正交基下的矩阵为正交矩阵.5.n阶方阵酉相似于上三角矩阵n 阶方阵A 酉相似对角矩阵A是正规矩阵.第11页/共43页练习题 1.在欧式空间R2 2中的内积为取（1）求W 的一个基；（2）利用W与W 的基求R2 2的一个标准正交基.2.已知欧式空间Vn的基 1,2,n的度量矩阵为A,证明在Vn中存在基 1,2,n，使满足第12页/共43页设 1,2;

6、1,2是欧式空间V2两个基,又 1=1-2 2,2=1-2,(1,1)=1,(1,2)=-1,(2,1)=2,(2,2)=0分别求基 1,2与 1,2的度量矩阵.4.设实线性空间Vn的基 1,2,n，设，Vn在该基下的坐标分别为(1,n)T,(1,n)T;定义(,)=1 1+n n证明：（1）(,)是Vn的内积；第13页/共43页 （2）在该内积下，基 1,2,n是Vn的标准正交基.设A Rm n，证明在列向量空间Rm中，R(A)=N(AT)设T是n 维Eulid空间V 的线性变换，T(1,2,n)=(1,2,n)A证明：T 为对称变换 ATG=GA，其中G为 1,2,n的度量矩阵.7.设n

7、维Eulid空间Vn的基 1,2,n的度量矩阵为G,正交变换T 在该基下的矩阵为A，证明:5.(1)T 1,T 2,T n是Vn的基；（2）ATGA=G.第14页/共43页8.设 1,2,n是n维欧式空间V的标准正交基，T是V中的正交变换，由 1,2,r(rn)生成的r维子空间W=L(1,2,r)是T的不变子空间，证明：W的正交补空间 W=L(r+1,r+2,n)也是T 的不变子空间.9.设矩阵空间R2 2的子集V=X=(xij)x11+x22=0(1)验证V是R2 2的子空间，并求V的一个基。第15页/共43页(2)给定V中的变换T：TX=X+XT(X V),验证T是线性变换。(3)求T的全

8、体特征值与特征向量。9.给定线性空间V6的基x1,x2,x6及线性变换T：Txi=xi+2x7-i （1）求T的全部特征值与特征向量；（2）判断是否存在另一个基，使T在该基下的矩阵是对角矩阵？若存在，把它构造出来。第16页/共43页V 中的线性变换为T(X)=XP+XT,任意X V，1.给出子空间V 的一个标准正交基；2.验证T 是V 中的对称变换；3.求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.10.已知欧式空间R2 2 的子空间中的内积为 第17页/共43页第2章 范数理论向量范数 1.定义 2.结论：lp范数 3.等价性二.矩阵范数 1.定义 2.结论：一一 3.等价性第18

9、页/共43页习题：证明：Cn n 中的矩阵范数 与 等价.证明:Cn n 中的矩阵范数 与Cn中的向量范数 相容。3.设A=(aij)m n,定义实数证明：是Cm n中的矩阵范数，且与向量的2-范数相1.容.第19页/共43页4.设可逆矩阵S Rn n,且 是Rn中的向量范数.若 表示Rn n中从属于向量范数 的矩阵范数，试导出 与矩阵2-范数之间的关系.5.设Vn 是数域R上的线性空间，x Vn在基(I)x1,x2,xn下的坐标为=(a1,a2,an)T.(1)证明：是Vn中的向量范数。(2)设x Vn在基(II)y1,y2,yn下的坐标为=(b1,b2,bn)T,且由基(I)到基(II)的

10、过渡矩阵为C，第20页/共43页证明：C为正交矩阵.6.给定矩阵A,B Cn n,且B可逆，定义验证 是Cn中的向量范数。7.设 ，证明第21页/共43页第3 章 矩阵分析及其应用矩阵序列Ak矩阵级数 收敛(A)r矩阵函数 (定义，AB=BAeAeB=eA+B)矩阵的微积分()一阶线性常系数（非）齐次微分方程组dx/dt=Ax,通解：x(t)=etAc一一dx/dt=Ax+b 通解：x(t)=etAc+etA第22页/共43页习题：设n阶方阵A 不可逆，则cosA亦不可逆。()设A是n阶Householder矩阵，则cos(2 A)=已知 ，判定 收敛的根据是(),幂级数的和是().4.已知

11、,则矩阵幂级数 是(),其理由是().1.5.设 ，则矩阵幂级数 是().第23页/共43页6.已知 ,则sin(At)=().7.设 (a R),则矩阵幂级数 收敛a().8.设 ，,则第24页/共43页 （）.9.设A 是可逆矩阵，则 ().10.已知 (1)求etA;(2)用矩阵函数的方法求微分方程 满足初始条件x(0)=(0,1,1)T的解.第25页/共43页11.设X=(xij)n n Rn n,则 ().12.已知 求 A.13.已知求 A.第26页/共43页第4章 矩阵分解三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，choclesky）存在A的i 阶顺序主子式(0i

12、n)不为零。二.QR分解 存在三.满秩分解一一四.奇异值分解第27页/共43页习题：设Hm是m阶Householder矩阵，In-m是n-m阶单位矩阵(mn)，则 是n阶Householder矩阵.2.设Tm是m阶Givens矩阵,In-m是n-m阶单位矩阵(m1),则A B的特征值是（）。7.已知矩阵Am n,Bn m及Cm m，则方程组AXB=C有解的充分必要条件是（）。8.设A，B都是酉矩阵，则(AH B)(A BH)=().9.设A Cn n,有n个线性无关的特征向量 1,2,n,则A A的n2个线性无关的特征向量是（）。第37页/共43页10.设x是m维列向量，y是n维列向量，则 (

13、).11.已知 ，则A I+A2 A的全体特征值为().12.设x Rn是单位列向量，A Rn n是正交矩阵，则13.已知A与B的特征值分别为 1,2,n与 1,1,n,则矩阵方程A2X+XB2-2AXB=O,有非零解的充要条件是().第38页/共43页第6章 广义逆投影与正交投影 P是投影矩阵P2=P；P是正交投影矩阵P2=P，PH=P。二.广义逆的定义与性质 1.A+存在且唯一；2.rankA(1)rankA,rankAA(1)=rankA(1)A=rankA,rankA+=rankA 3.A(1)A=I A为列满秩矩阵；一 AA(1)=I A为行满秩矩阵。第39页/共43页三.应用1.A

14、XB=C有解 AA(1)CB(1)B=C通解：X=A(1)CB(1)+(Y-A(1)AYBB(1)2.Ax=b有解 AA+b=b通解：x=A+b+(I-A+A)y;极小范数：x=A+b3.矛盾方程Ax=b 的最小二乘解：x=A+b+(I-A+A)y极小范数最小二乘解：x=A+b第40页/共43页四.算法 A=FG(满秩分解),A+=G+F+=GH(GGH)-1(FHF)-1FH第41页/共43页习题：已知A Cm n及A+，设 ，则A+=().已知 ，则A(1,2)=().设x1,x2,xm(m1)是Rn中两两正交的单位向量，记 A=(x1,x2,xm),则A+=().4.设 A Cn n的一个1-逆为A(1),则A1=().5.设A是元素全为1的m n矩阵，则A+=().6.已知欧式空间R2，子空间L=L(),其中=(1,-1)T,1.则正交投影矩阵PL=().第42页/共43页感谢您的观看！第43页/共43页