衍生金融工具的风险分析欧式期权.pptx

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1、会计学1衍生金融工具的风险分析欧式期权衍生金融工具的风险分析欧式期权4.1B-S模型的理论基础模型的理论基础 n n弱式有效市场与马尔可夫过程弱式有效市场与马尔可夫过程 n n19651965年年，法法玛玛（FamaFama）提提出出了了著著名名的的效效率率市市场场假假说说（EMHEMH），该假说认为），该假说认为:n n前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。n n推推论论：证证券券价价格格对对新新的的市市场场信信息息的的反反应应是是迅迅速速而而准准确确的的，证券价格能完全反应全部信息。证券价格能完全反应全部信息。n n只只有有新新

2、信信息息才才能能引引起起价价格格的的变变动动，而而新新信信息息是是不不可可预预测测的的，故价格的变化不可预测。故价格的变化不可预测。n n价价格格变变化化（回回报报）不不可可预预测测，等等价价于于回回报报是是相相互互独独立的。立的。第1页/共66页n nEMHEMH根据市场对信息集包含的信息进行分类：弱根据市场对信息集包含的信息进行分类：弱式、半强式和强式式、半强式和强式n n弱式有效市场：市场价格已经包含了历史上所有弱式有效市场：市场价格已经包含了历史上所有的交易信息（价格和交易数量等）。的交易信息（价格和交易数量等）。n nEMHEMH与可用马尔可夫过程（与可用马尔可夫过程（Markov

3、Stochastic Markov Stochastic ProcessProcess）n n如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后无后效性效性”，其未来价格的概率分布与历史无关。，其未来价格的概率分布与历史无关。n n衍生资产的定价问题的关键：标的资产的波动的假设。衍生资产的定价问题的关键：标的资产的波动的假设。n nB-SB-S模型假设：资产价格的波动服从几何布朗运动，它模型假设：资产价格的波动服从几何布朗运动，它是一种特殊的是一种特殊的马尔可夫过程。马尔可夫过程。第2页/共66页4.2 维纳过程维纳过程n n根据有效市场理论，股价、利率和汇

4、率具有随机游走性（不可预测性），这种特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。n n对于随机变量w是Wiener process，必须具有两个条件：1.1.在某一小段时间在某一小段时间 t t内，它的变内，它的变动动 w w与时段与时段 t t满足满足第3页/共66页（4.1）2.在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段t和和s,wt和和ws是独立的，是独立的，这个条件也是这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！过程的条件，即增量独立！（4.2）有效市场有效市场第4页/共66页n n满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性

5、质有当时段的长度放大到当时段的长度放大到T时（从现在的时（从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻）随机变量时刻）随机变量wT的满足的满足第5页/共66页n n证明：证明：第6页/共66页n n若t0，由（4.1）和（4.2）得到（4.3）（4.4）所以，所以，的分布性质为的分布性质为以上得到的随机过程，称为维纳过程。以上得到的随机过程，称为维纳过程。第7页/共66页程序：维纳过程的模拟程序：维纳过程的模拟n n%假设初始点为假设初始点为0 0，由标准正态分布产生随机数，由标准正态分布产生随机数300300，这样将，这样将1 1个单位时间等分个单位时间等分为为300300个等分个等分n nrn

6、d=random(norm,0,1,300,1);rnd=random(norm,0,1,300,1);n n%建立初始的零向量，用来放置计算的结果建立初始的零向量，用来放置计算的结果n nw=zeros(1,300);w=zeros(1,300);n nfor i=1:299for i=1:299n n w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)0.5;w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)0.5;n nendendn nx=1:1:300;x=1:1:300;n nw wn nplot(x,w)plot(x,w)第8页/共66页B-S模型证明思路模型证明思路

7、ITO引引理理ITO过程过程B-S微分方程微分方程B-S买权定价公式买权定价公式第9页/共66页4.3 伊藤引理伊藤引理n n一般维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为（4.5）显然，一般维纳过程的性质为显然，一般维纳过程的性质为第10页/共66页n n一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。n n漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不恰当若把变量若把变量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b当作变量当作变量x和和时间时间t的函数，的函数，扩展后得到的即为扩展后得到的即为ITO过程过程第11页/共66页n nB-S B-S 期权定价模型是根

8、据期权定价模型是根据ITOITO过程的特例几何过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动，不妨令布朗运动来代表股价的波动，不妨令省略下标省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程，变换后得到几何布朗运动方程（4.6）目的：证券的预期回报与其初始价格无关。目的：证券的预期回报与其初始价格无关。第12页/共66页思考：一般维纳过程的缺陷思考：一般维纳过程的缺陷若将价格变化表示为若将价格变化表示为第13页/共66页n n伊藤引理：若某伊藤引理：若某随机变量随机变量x x的的变动过程变动过程可由可由ITOITO过程表示为（省略下标过程表示为（省略下标t t）（令（令f(x,t)为随机变量为随机变量x以及时间以

9、及时间t的函数，即的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产可以代表以标的资产x的衍生证券的价格）的衍生证券的价格）则则f(x,t)的变动过程可以表示为的变动过程可以表示为（4.7）第14页/共66页证明：将（4.7）离散化由（由（4.1）知）知利用泰勒展开，忽略高阶项，利用泰勒展开，忽略高阶项，f(x,t)可以展开为可以展开为（4.8）第15页/共66页因此，（因此，（4.8）可以改写为）可以改写为（4.9）保留保留1阶项，忽略阶项，忽略1阶以上的高阶项阶以上的高阶项第16页/共66页即即x2不呈现随机波动！不呈现随机波动！（4.10）第17页/共66页由（由（4.10）可得）可得（4.11）

10、由（由（4.11）得到）得到（4.12）第18页/共66页 由于由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即就收敛为真实值，即当当t0时，时，由（由（4.9）可得）可得第19页/共66页命题：命题：设当前时刻为设当前时刻为t，若股票价格服从几何布朗运动若股票价格服从几何布朗运动则则T时刻股票价格满足对数正态分布时刻股票价格满足对数正态分布4.4 几何布朗运动与对数正态分布几何布朗运动与对数正态分布第20页/共66页令令则则这样由这样由ITO引理得到引理得到即即第21页/共66页由（由（4.1）第22页/共66页则称则称ST服从对数正态分布，服从对数正态

11、分布，ST的期望值为的期望值为所以所以第23页/共66页4.5 B-S模型的推导模型的推导n nBlack、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖n n模型基本假设8个n n无风险利率已知，且为一个常数，无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。不随时间变化。n n标的股票不支付红利标的股票不支付红利n n期权为欧式期权期权为欧式期权第24页/共66页n n无交易费用：股票市场、期权市场、无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场资金借贷市场n n投资者可以自由借贷资金，且二者投资者可以自由借贷资金，且二者利率相

12、等，均为无风险利率利率相等，均为无风险利率n n股票交易无限细分，投资者可以购股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票买任意数量的标的股票n n对卖空没有任何限制对卖空没有任何限制n n标的资产为股票，其价格标的资产为股票，其价格S S的变化为的变化为几何布朗运动几何布朗运动第25页/共66页4.5.1 B-S微分方程微分方程假设标的资产价格变动过程满足假设标的资产价格变动过程满足这里这里S为标的资产当前的价格，令为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证代表衍生证券的价格，则券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由的价格变动过程可由ITO引理近引理近似为似为第26页/共66页

13、假设某投资者以假设某投资者以1 1个单位的衍生证券空头个单位的衍生证券空头和和份的份的标的资产多头标的资产多头来构造一个组合，且来构造一个组合，且满足满足则该组合的收益为则该组合的收益为第27页/共66页例：例：无套利定价与期权的风险对冲无套利定价与期权的风险对冲n n假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。n n假设现在的无风险年利率等于10%，n n问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。第28页/共66页n n为了找出该期权的价值，为了找出该期权的价值，可构建一个可构建一个由由1 1单位看单位看涨期

14、权空头和涨期权空头和mm单位的标的股票多头单位的标的股票多头组成的组合。组成的组合。n n若股票价格若股票价格1111，则该期权执行，则组合收益为，则该期权执行，则组合收益为11m11m0.50.5n n若股票价格若股票价格9 9，则该期权不执行，则组合收益为，则该期权不执行，则组合收益为9m9mn n为了使该组合在期权到期时无风险，为了使该组合在期权到期时无风险，mm必须满足必须满足下式：下式：n n 11m11m0.50.59m9m，即，即m=0.25m=0.25n n组合价值为组合价值为2.252.25元元第29页/共66页n n由由于于该该组组合合中中有有一一单单位位看看涨涨期期权权空

15、空头头和和0.250.25单单位位股股票票多多头头，而而目目前前股股票票市市场场价价格格为为1010元元，因因此此，从从无无套套利利出出发发，期期权权费费f f（期期权权的的价价值值）必必须须满满足足根根据据无无套套利利定定价价原原理理，无无风风险险组组合合只只能能获获得得无无风险利率，所以组合的现值为风险利率，所以组合的现值为第30页/共66页n n下面将证明该组合为无风险组合，在下面将证明该组合为无风险组合，在 t t时间区间时间区间内收益为内收益为第31页/共66页n n注意到此时注意到此时 不含有随机项不含有随机项w w，这意味着该组，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为合是无风

16、险的，设无风险收益率为r r，且由于，且由于 t t较小（不采用连续复利），则较小（不采用连续复利），则整理得到整理得到第32页/共66页B-S 微分方程的意义微分方程的意义衍生证券的价格衍生证券的价格f，只与当前的市价，只与当前的市价S，时间，时间t，证券价格波动，证券价格波动率率和无风险利率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，有关，它们全都是客观变量。因此，无无论投资者的风险偏好如何，都不会对论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。因此，的值产生影响。因此，B-S微分方程构造了一个风险中性世界。微分方程构造了一个风险中性世界。在对衍生证券定价时，可以采用在对衍生证券定价时

17、，可以采用风险中性定价风险中性定价，即所有证券，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程微分方程求出价格求出价格f。第33页/共66页释义：风险中性定价释义：风险中性定价n n假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，n n问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。第34页/共66页n n理解：在我们这个世界上，一共有理解：在我们这个世界上，一共有3 3

18、种人，种人，风险风险规避者、偏好者和风险中性者规避者、偏好者和风险中性者，但是证券的价，但是证券的价格只有一个。所以，证券的定价对风险中性者格只有一个。所以，证券的定价对风险中性者也是适用的，风险中性者也必须以同样的价格也是适用的，风险中性者也必须以同样的价格来购买证券。来购买证券。n n因为风险中性的投资者不需要额外的风险补偿，在因为风险中性的投资者不需要额外的风险补偿，在由风险中性者构成的由风险中性者构成的子世界子世界，所有证券的预期收益，所有证券的预期收益率都等于无风险收益率。风险中性者与风险规避者率都等于无风险收益率。风险中性者与风险规避者最大的区别是：二者对证券价格变化的概率不同。最

19、大的区别是：二者对证券价格变化的概率不同。n n启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率的回报率等于无风险收益率超额收益率为超额收益率为0 0。第35页/共66页风险中性者与规避者风险中性者与规避者n n例如某个证券，风险规避者是这样定价的而在风险中性者是这样定价的而在风险中性者是这样定价的注意：证券的上涨概率增加，但同时贴现率也增加，所注意：证券的上涨概率增加，但同时贴现率也增加，所以定价不变。所以风险中性世界的定价仍能够用于现实以定价不变。所以风险中性世界的定价仍能够用于现实的世界！的世界！第36页/共66页风险中性定价原理风

20、险中性定价原理n n风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。n n风险中性假定仅仅是为了定价方风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定便而作出的人为假定n n风险中性概率仅仅是为方便定价风险中性概率仅仅是为方便定价给出的给出的参数，它与我们概率论中参数，它与我们概率论中所讲的概率具有本质的不同所讲的概率具有本质的不同n n联系：数学中的坐标变换、微观联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效用？经济学中的效用？第37页/共66页n n假定存在风险中性世界，股票上升的概率为假定存在风险中性世界，股票

21、上升的概率为p p，下跌的概率为下跌的概率为1-p1-p。（虽然有实际的概率，但可（虽然有实际的概率，但可以不管），以不管），由于风险中性，则该股票无超额收由于风险中性，则该股票无超额收益，其回报率只有无风险利率益，其回报率只有无风险利率n同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为期权的现值为风险中性世界，所有证券都只能获得无风险收益率！风险中性世界，所有证券都只能获得无风险收益率！第38页/共66页4.5.2 B-S买权定价公式买权定价公式 对于欧式不支付

22、红利的股票期权，其看涨期权对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日（买权）的在定价日t的定价公式为的定价公式为第39页/共66页n n（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为st=S,则T时刻的股票价格的期望值为B-S买权定价公式推导买权定价公式推导（4.13）第40页/共66页（4.14）由（由（4.13）和（）和（4.14）得到）得到（4.15）根据根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则下，则资产的期望回报为无风险回报，则这表明：在风险中性的世界中

23、，任何可交易的金融资产的这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。回报率均为无风险利率。第41页/共66页（2）在）在风险中性的条件下风险中性的条件下，任何资产的贴现率为，任何资产的贴现率为无风险利率无风险利率r，故买权期望值的现值为，故买权期望值的现值为第第1项项第第2项项第42页/共66页推导第推导第1项项第43页/共66页第44页/共66页令令 由此得到由此得到第45页/共66页第46页/共66页被积函数为：被积函数为：第47页/共66页y的积分下限为的积分下限为y的积分上限为的积分上限为第48页/共66页这样就完成了第这样就完成了第1项的证明。项的证明。第

24、49页/共66页推导第推导第2项项首先进行变量代换，令首先进行变量代换，令第50页/共66页n n则z的积分下限z的积分上限的积分上限第51页/共66页n n将z和dz代入第52页/共66页由两个部分的推导得到由两个部分的推导得到第53页/共66页pr0dN(d)例如例如:当当d1.96时时,N(d)94.5%第54页/共66页4.5.3 B-S模型的含义模型的含义n n由Z的积分下限可知，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。X e-r(T-t)N(d2)是是X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。StN(d1)=e-r(T-t)ST N(

25、d1)是是ST的风险中性期望值的现的风险中性期望值的现值。值。第55页/共66页第56页/共66页S=100S=100，X=95X=95，r=0.10,r=0.10,T T=0.25(quarter)=0.25(quarter)，=0.50=0.50，则，则d d1 1=ln(100/95)+(0.10+(0=ln(100/95)+(0.10+(0 5 5 2 2/2)/(0/2)/(0 5 5 00.25.251/21/2)=0.43)=0.43 N(dN(d1 1)=N(0.43)=0.6664)=N(0.43)=0.6664d d2 2=0.43+(0=0.43+(0 5 50 0.25

26、.251/21/2)=0.18)=0.18，N(dN(d2 2)=N(0.18)=0.5714)=N(0.18)=0.5714Call Option Example期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等等5个变量的非线性函数个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数的函数。第57页/共66页4.6 欧式看跌期权的定价欧式看跌期权的定价n n利用金融工程技术来看待期权平价关系n n考虑任意t时刻，如下两个组合：n n组组合合A A：一一份份欧欧式式看看涨涨期期权权加加上上金额为金额为 的现金的现金n n组组合合B B：一一份份

27、有有效效期期和和执执行行价价格格与与上上述述看看涨涨期期权权相相同同的的欧欧式式看看跌跌期权期权，加上一单位标的资产，加上一单位标的资产第58页/共66页n n组合A到期时刻T的收益组合组合B到期时刻到期时刻T的收益的收益两个组合在两个组合在T时刻具有相同的价格，且由于欧式时刻具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在期权不能提前执行，则在t时刻两个组合价值也时刻两个组合价值也必然相等（无套利原理）即必然相等（无套利原理）即此为看涨看跌期权平价公式。此为看涨看跌期权平价公式。第59页/共66页从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了变换，是

28、关于纵向对称的。都进行了变换，是关于纵向对称的。第60页/共66页第61页/共66页n n根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项项DeltaThetaVegaRhoGamma4.6 期权的风险分析期权的风险分析这里省略这里省略S的下标的下标t第62页/共66页n n命题：欧式看涨期权的命题：欧式看涨期权的Delta=N(dDelta=N(d1 1)第63页/共66页第64页/共66页练习练习n n蒙特卡洛模拟几何布朗运动：假设初始价格为100元的某股票的回报率服从漂移率为零，波动率为10%的几何布朗运动，单位时间1被分为100等分，模拟10次以上，并得到最终的价格分布。n n计算：求欧式看涨期权的Theta和Vega第65页/共66页