专题08双曲线及其性质（知识梳理专题过关）（原卷版）.docx

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1、专题08双曲线及其性质【知识梳理】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于僧巴|）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为叼|眼间-眼曰=2（0忻用时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：条件“旧工|2 ”是否成立；要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定/的值），注意/+/=/的应用.知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程2222斗=力 0)a b图形by = -xJ焦点坐标耳(-0,0)，6(。,0)耳(0,-c), F2(09c)对称性关于X, y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点

2、坐标4(。,0)， A, (tz,0)4(0, a) , 4(0,a)范围Vx a实轴、虚轴实轴长为2a ,虚轴长为2bA.B. V52241. （2022陕西安康.高二期末（理）已知双曲线C5-马 cr b-D.男2。0,。0）的左，右焦点分别为G,尸2, A为。的左顶点，以6月为直径的圆与。的一条渐近线交于P,。两点，且NPA2 = 7,则双曲线。的离心率为（）A.且B. V2C.石D.亘232242. （2022云南弥勒市一中高二阶段练习）已知耳，鸟分别是双曲线5 =/0）的左、右焦点，过月a bb作双曲线。的渐近线y = x的垂线，垂足为P,且与双曲线。的左支交于点Q,若。（。为坐标原

3、 a点），则双曲线的离心率为（）A. V2+1B. OC. 272D.苧2243. （2022.河南平顶山.高二期末（文）已知点尸是双曲线0 三=1（。0/0）右支上一点，。为坐标原点，B为虚轴的上端点，若AOPB为等腰直角三角形，点P为直角顶点，则该双曲线的离心率为（）L5LA. V6B. -C. 22D. 32（2022江苏南通高二期末）已知双曲线/一% = 1的左、右焦点分别为片、尸2，P、。是双曲线上关于原点对称的两点，|8|=|。制，四边形乙的面积为2,则该双曲线的离心率为（）A. V2A. V2B. V3C. 2D. 75C. 72D. 27246. （2022安徽省临泉第一中学高

4、二期末）已知双曲线C:B. V3 + 1C. V2D. V2 + 12247. （2022江西上饶高二期末（文）已知双曲线。:土-2句5。/。）的焦距为2c,与乙为其左右两个焦 点，直线/经过点（。力）且与渐近线平行，若/上存在第一象限的点尸满足归耳|-归马=23 则双曲线。离心 率的取值范围为（）A. （1,V2）B. （d）C. （1,V3）D. （V2,+oo）考点7：双曲线的简单几何性质问题（2022.天津市第九十五中学益中学校高二期末）已知曲线C:g2 +融之=1,若根o,则。是椭圆，其焦点在轴上；若帆=0,则c是圆，其半径为；若w0,则。是两条直线.以上四个命题，其中正确的序号为.

5、2248. （2022全国高二单元测试）若双曲线。的方程为-J = l，则攵的取值范围是.k2- 4-k2249. （2022四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理）若双曲线。:/一* = 130）的焦距为26， 则人=2250. （2022陕西西北农林科技大学附中高二期末（文）若方程出 + 土/= 1表示焦点在y轴上的双曲线， 则实数k的取值范围是.尤2v2（多选题）（2022重庆巫山县官渡中学高二期末）若方程工+=1所表示的曲线为C,则下面四个3 ，z 1命题中正确的是（）A.若C为椭圆，贝B.若C为双曲线，则，3或方 轴上，则lv，22253.（多选题）（2022江苏连云港高二期中）

6、关于尤）的方程 +上 = 1 （其中加206）表示的曲线 m +2 6-可能是（）a.焦点在y轴上的双曲线b.圆心为坐标原点的圆C.焦点在X轴上的双曲线D.长轴长为4近的椭圆2254.（多选题）（2022河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程工+工=1所表示的曲线为。，则下3 t 1面四个选项中正确的是（）A.若1/3或Z v 1D.曲线。可能是圆.2 222（2022北京101中学高二期末）双曲线三 21 = 1与椭圆】十=1的焦点相同，则。等于。a 24 矿A. 1B. -2C. 1 或2D. 22255. （2022河南高二阶段练习（理）若双曲线工+乙=1的一个焦点为（-2,0）,则加

7、的值为（）mA. -V7B. -1C. 1D. 77考点8：利用第一定义求解轨迹57. （2022.河南.高二阶段练习（理）平面上动点P到点的距离与它到直线/：x+y-1 =。的距离之比 为拉，则动点。的轨迹是（）A.双曲线B.抛物线C.椭圆D.圆2258. （2022四川省资阳中学高二开学考试（文）已知函数产川%）的图象恰为椭圆C:二+4=1310 a b轴上方的部分，若/-，），/CO , /（s + 1）成等比数列，则平面上点 0 0的轨迹是（）A.线段（不包含端点）B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段（不包含端点）和双曲线一部分59. （2022四川宜宾高二期末（文）与圆Y + y2

8、=i和圆/+ ,20+ 21 = 0都外切的圆的圆心在（）A.一个圆上B,一个椭圆上C.双曲线的一支上D.一条抛物线上（2022四川省资阳中学高二开学考试（文）已知定点4（-3,0）,6（3,0）, M是e O: / +=1上的动点，”关于点M的对称点为N,线段N的中垂线与直线BN交于点P,则点P的轨迹是（）A.双曲线B.椭圆C.圆D.直线61,（2022河南南阳高二期末（文）已知动圆尸过定点4-3,0）,并且与定圆B:（x-3）2 + V=4外切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A.抛物线B.椭圆动圆的圆心P的轨迹是（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支62. （2022四川威远中学校高

9、二阶段练习（文）平面内有两个定点巳（-5,0）和F2（5,0）,动点P满足PF-PF2=69则动点尸的轨迹方程是（）.A.C.16 916 9= l(x-4)=l(x 2 4)B.D.9 1622_2_9 16= l(x3)考点9：双曲线的渐近线2263.（2022.全国.高二单元测试）已知双曲线C:-方=1（。0/0）的焦点在圆0:/ +），=26上，圆。与双曲线。的渐近线在第一、四象限分别交于P,。两点，点（。,0）满足丽+画=-茄（其中。是坐标原 点），则。尸。的面积是（2022,四川南充高二期末（文）若双曲线2一二=1（根0）的渐近线与圆丁 十 9一4%+ 1 = 0相切，则m-64.

10、 （2022江苏盐城高二期末）若直线y = 3x-1与双曲线C：,以2=1的一条渐近线平行，则实数机的值B. 9B. 9C- ID.266. （2022福建厦门外国语学校高二期末）若双曲线二 a2X亍 = 1(4。,80）的离心率为2,则其两条渐近线所成的锐角为（）兀 A.-3兀 A.-3C.67. （2022北京市H一学校高二期末）椭圆G：716x2一+4D.1与双曲线G：2兀 Tx2y2=1的离心率之积为1,则双曲线g的两条渐近线的倾斜角分别为（）A.A.兀 71B.-33C.一 兀D.3.268. （2022.河南.新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理）已知双曲线1r % =/0）的左，右

11、焦点分别为耳，匕 若双曲线的左支上存在一点P,使得尸尸2与双曲线的一条渐近线垂直于点Q,且归国=可居。|,则双曲线的渐近线方程为（）A.44B. y = x 32C. y = x 3D. y = |-x2269. （2022河南封丘一中高二期末（文）已知点440）是双曲线c-三二1（0力0）的右焦点,过尸作双曲线。的一条渐近线的垂线，垂足为若。埼（点。为坐标原点）的面积为8,则C的实轴 长为（）A. 8B.C. 6D. 4G270. （2022福建三明高二期中）双曲线匕=1的右顶点到渐近线的距离为（）4A. B撞C. 1D, 255考点10：共焦点的椭圆与双曲线2271. （2022四川省内江

12、市第六中学高二阶段练习（理）设片，尸2同时为椭圆G：=+ = 1（440）与rr 匕=1的公共焦点，且尸是G与Q一个交点，则/耳。=（） n v2双曲线G：不-爸=1（出0也o）的左右焦点，设椭圆G与双曲线G在第一象限内交于点加，椭圆G与双曲线的离心率分别为4, “。为坐标原点.若忻6|=4|昨|,贝Ije的取值范围是（）A.A.72.B.C.D.2,+co 3（2022.河北沧州市一中高二阶段练习）若由-底。），鸟（6。）是椭圆G：722工+匕=1与双曲线G：8 mx2A.71673.（2022.吉林长春市第二中学高二阶段练习）设，、畛分别为具有公共焦点6与F?的椭圆和双曲线的离A 4 .

13、,1 1心率，P为两曲线的一个公共点，且满足出/；=（）,则=+石的值为（）12Gt35A. 2B. -C. 4D.-2274. （2022山东日照青山学校高二期末）已知椭圆G：74. （2022山东日照青山学校高二期末）已知椭圆G：x2= l（q bx 0）与双曲线221 V3-4-1 V3-4-。2：5-今=1（。2。也。）有相同的焦点耳、网,椭圆加的离心率为，双曲线G的离心率为点。TT取最大值时q+6的值为（）取最大值时q+6的值为（）为椭圆G与双曲线G的交点，且居=7，则当二+一3 ex &A. V3B.史C. 2V2D. E 戈3275. （2022全国高二专题练习）如图，尸2是椭圆

14、G与双曲线G的公共焦点，A,笈分别是G，C在1jr第二、四象限的公共点，若I。耳| =/人同，且/。4b = 1 则c与G的离心率之积为. 26（2022.辽宁大连八中高二期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点； 光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装 置由有公共焦点耳，居的椭圆与双曲线r构成，现一光线从左焦点耳发出，依次经与反射，又回到了点4，历时乙秒；若将装置中的去掉，此光线从点耳发出，经两次反射后又回到了点，历时L秒； 若12=跖，则与的离心率之比为.离心率e = - = Jl+(el) a a渐近线方程令

15、一斗=0= y = 2工， ba焦点到渐近线的距离为b22八y x 八.a令77 = On y = -x，/ h2h焦点到渐近线的距离为匕点和双曲线的位置关系22X y 1,点（%, % ）在双曲线内 （含焦点部分）=1,点（%, %）在双曲线上1,点（%,%）在双曲线外1,点（X。,%）在双曲线内 回（含焦点部分） a2/=i,点（后,%）在双曲线上 点（七,为）在双曲线外共焦点的双曲线方程22 = K-a2 kb2)/+% b2-k22 = K-a2 k2c) S kpFR 二3P用.|P叫sin/6沙忻用2 =|尸耳+|尸国2 -2归片归国cos/耳尸等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为

16、等轴双曲线04 =力。离心率6 =及。 等轴双曲线两渐近线互相垂直 渐近线方程为y = xo方程可设为x2-/= 2(2 w0).【专题过关】 【考点目录】考点1：双曲线的定义与标准方程考点2：双曲线方程的充要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：双曲线上两点距离的最值问题考点5：双曲线上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：双曲线的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹考点9：双曲线的渐近线考点10：共焦点的椭圆与双曲线【典型例题】考点1:双曲线的定义与标准方程（2022.江苏.高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：经过点（指,0）,（

17、3,2）；/ rr 焦点为（0,5）,（0,5）,经过点浮,2g ；（3）a = h,经过点（3,-1）；（4）经过（3,-4及）和两点.1. （2022.上海市控江中学高二期末）经过两点（-3,6a）,（2,3g）的双曲线的标准方程为.2. （2022江苏高二专题练习）在MC中，A（-5,0）, 8（5,0）,点。在双曲线;-4=1上，则.芋.”16 9sin B-sin A（）5555A. -B. -C. -D.3344（2022四川省内江市第六中学高二阶段练习（理）已知双曲线c：-r=1的左、右焦点分别是耳，F2, 916点尸在双曲线。上,且|助|=7,则|尸国=（）A. 13B. 16

18、C. 1 或 13D. 3 或 1622（2022.安徽.合肥工业大学附属中学高二期末）已知点耳,工分别是等轴双曲线C:1y-5 = 1（/）的左、右焦点，。为坐标原点，点P在双曲线。上，FF2 =2 OP, 尸耳死的面积为8,则双曲线。的方程为（）?2292229A. - = 1B,三一21 二 1C.三一二二1 D.二-21 = 122446688（2022陕西省丹凤中学高二阶段练习（文）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它 蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永,现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在1轴上的双曲线的一部 分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最

19、小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶 高是6,则该双曲线的标准方程是（）222a 厂）1n 尤 21A.= IB.y = I16942292C. 土-匕=lD. 土-匕=18943 （2022.福建.厦门海沧实验中学高二阶段练习）若双曲线与椭圆 +亡=1有相同的焦点，它的一条渐近 16 64线方程为），=X,则双曲线的方程为（）A. y2=96B. y2f=160C. y2x2=SQD. y2x2=2422（2022.新疆石河子一中高二阶段练习（文）已知双曲线C：三一21 = 1的左、右焦点分别为6，F2,双 97曲线。上有一点尸,若|尸耳|=5,则归用=（）A. 13B. 11C. 1

20、或 11D. 11 或 139.（2022.黑龙江.大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：焦点分别为（。，-6）, （0,6）,且经过点A（-5,6）；经过点（3,加），（-4,-276）；考点2：双曲线方程的充要条件2210 .（多选题）（2022湖北.武汉市第十九中学高二期末）关于X, y的方程上十二二1表示的曲线可以是（） m m-1A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线11 .（多选题）（2022广东梅州高二期末）若兀），方程f+ /cosa = l表示的曲线可以是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线12 .（多选题）（2022全国高二期中）已知曲线。：如2+江=,

21、则（）A.若mn0,则C是椭圆B.若m=n0,则C是圆C.若0,则。是两条直线2213. （2022.河南.高二期中（文）已知ZwR,则“2v%3”是“方程上J = i表示双曲线”的（）6-k k-2A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22（2022.吉林.辽源市田家炳高级中学校高二期中（理）“加0）的左、右顶点分别为&、左、右焦点分别为耳、F以耳&为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以44为直径的圆与直线鸟相 切，则耳夕8的面积为（）A. 4/5B. 8a/5C. 20D. 402218. （2022河南临颍县第一高级中学高二阶段练习（理）已知小 厂2

22、分别为双曲线C：土 工=1的左、右 13 12焦点，P是双曲线。上一点，若片尸鸟的周长为10 + 10小，则耳尸尼的面积为.19. （2022广东铁一中学高二阶段练习）已知耳，鸟是双曲线：三二=1的两个焦点，P为双曲线。上的 16 9一点,若P4&为直角三角形，则尸耳居的面积等于.20. （2022江西赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理）已知双曲线二- = 1的左，右焦点分别为小尸2, 42过右焦点尸2且倾斜角为:直线/与该双曲线交于M, N两点（点/位于第一象限），“鸟的内切圆半径 4R为R, NfM的内切圆半径为”,则甘为. 2221. （2022.安徽蚌埠.高二期末）已知双曲线上 与=1

23、（0）的左右焦点分别为耳，鸟，过点尸2的直线交双 4 b-曲线右支于48两点，若小与片是等腰三角形，且乙4 = 120。，则-34的面积为.22. （多选题）（2022.全国高二期末）已知双曲线c：E f = i的左、右焦点分别为片、F?,过坐标原点。的直线与双曲线。交于A3两点，点。为双曲线。上异于A3的一动点，则下列结论正确的有（）A.取所的最大值为9B.若以为直径的圆经过双曲线的右焦点尸2,则S.柩2=16C.若|尸耳|=7,则有|尸闾=1或13149D.设B4,相的斜率分别为匕、Q 则万+万的最小值为:K K24（多选题）（2022浙江诸暨市教育研究中心高二期末）如图所示，已知。工分别

24、为双曲线21 = 1的 3左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A3两点，记4耳鸟的内切圆。1的面积为5，3耳鸟的内切圆。2的面积为S2,则（）A.圆。和圆。2外切B.圆心。I 一定不在直线A。上C. 2 =/D. S+S2的取值范围是2肛3句24 .（多选题）（2022江苏.高二专题练习）已知点Q是圆M： （x + 2）?+产=4上一动点，点N（2,0）,若线段NQ的垂直平分线交直线MQ于点夕，则下列结论正确的是（）A.点P的轨迹是椭圆B.点。的轨迹是双曲线C.当点乃满足PMLPN时，尸MN的面积S，mn=3D.当点P满足时，PMN的面积S/mn=6考点4：双曲线上两点距离的最值问题22

25、25. （2022上海中学东校高二期末）过椭圆上+二一=1（m9）右焦点尸的圆与圆O:/ + y2 =4外切，该圆 m m-9直径尸。的端点。的轨迹记为曲线C,若P为曲线C上的一动点，则怛尸|长度最小值为（）A. 0B. 1C. 1D. 2（2022安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理）已知耳F?分别是双曲线工）/=1的左、右焦点，p 4为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若4P耳巴内切圆圆心为/,则圆心/到圆工2+（）1）2=1上任意一点 的距离最小值为（）A. 2B. 75-1C. 1D. 75-222（2022101中学高二期末）双曲线C-工=1的右焦点为尸，点P在椭圆C的一条渐近线上.0

26、为坐标42原点，则下列说法错误的是（）A.该双曲线离心率为亚222B.双曲线乙L = 1与双曲线c的渐近线相同 42C.若POLPF,则PFO的面积为血D. |尸产|的最小值为028. （2022北京八中高二期中）已知定点A、B,且|4?|=4,动点P满足|附| - |尸例=3,则|网的最小值是（）1 37A. B. C. D. 52 22考点5：双曲线上两线段的和差最值问题2229. （2022四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理）.已知双曲线二=1（0,10）的一条渐 cr It近线的方程为y =，左、右焦点分别为，尸2,直线/:（m + l）x + （m-4）y-5m = 0（mR

27、）过定点P,且44,厉）在双曲线。上，M为双曲线上的动点，则IMP+|M段的最小值为.22（2022湖南师大附中高二阶段练习）已知B,歹2分别为双曲线C 工-上=1的左、右焦点，E为双曲4 12线。的右顶点,过尸2的直线与双曲线。的右支交于A, 8两点（其中点A在第一象限），设M, N分别为AF1F2,的内心，则|M国|N目的取值范围是（）n ( 473 46( 373A.B 亍亍J。丁丁 J（2022河南洛阳高二期末（理）在平面直角坐标系中，已知点4（-2,0）, B（2,0）, C（2,2）, Z）（3,0）, 直线，BP相交于点P,且它们斜率之积是+当|PA|0）的左、右焦点分别为月，F

28、2,点、P cr为双曲线上一点，若财，相2,且|P制+ |P闾= 2g,则双曲线的离心率为.39.（多选题）（2022.浙江温州中学高二期末）在等腰梯形ABC。中，ABCD9且A8 = 4,CD = 2,AO = 2,以下选项正确的为（）A. AC BD = -6B.等腰梯形A3CQ外接圆的面积为2万C.若双曲线以为左右焦点，过两点，则其离心率为百+ 1D.若椭圆以为左右焦点，过A3两点，则其离心率为避二1 40. （2022安徽省皖西中学高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2）,则它的离心率为（） + /=1上的点，则1PMi|尸网的最大值是A. 2A. 2B.

29、 4C. 6D. 8考点6：离心率的值及取值范围34. （2022全国高二专题练习）设双曲线C：34. （2022全国高二专题练习）设双曲线C：22_2LM b2=1（40, /?0）的右焦点为方，双曲线。的一条渐近线为I,以方为圆心的圆与/交于点Al, N两点，MFLNF,。为坐标原点，加=4弧（3KXV7）,则双曲线。的离心率的取值范围是2235. （2022安徽合肥一中高二期末）已知双曲线C：. =1（0/0）的左、右焦点分别为耳，F2,过点Fz作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为例，若因M上百O为坐标原点，则双曲线。的离心率 为.22（2022福建厦门高二期末）双曲线C:，-1r = 1

30、（。0力0）的左焦点为片，砺=2而，过点A作。0力0）的左、右焦点，尸为曲线的渐近线的垂线，垂足为若/40 = 30。，则。的离心率为（2022四川达州高二期末（理）已知耳,尸2是双曲线上一点，牝=60。，耳工的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e,则/二2245. （2022湖北鄂州市教学研究室高二期末）已知冗，F?分别是双曲线C：一-与=1（0力0）的左、右焦 ar b点，以耳乙为直径的圆与双曲线。有一个交点P,设尸6鸟的面积为S,若（归|+俨居=12S,则双曲线 。的离心率为（）A. 2B.2=1 （ 0,/? 0）的两个焦点分别为 （-G。）鸟（G。），是双曲线。上一点，若丽布 =0, OM OF=-c2,则双曲线。的离心率为（）