北师大版选择性必修第一册5.4.1—5.4.2二项式定理的推导二项式系数的性质学案.docx

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1、4二项式定理4.1 二项式定理的推导4.2 二项式系数的性质学习目标.通过利用计数原理证明二项式定理，培养学生的逻辑推理能力.1 .掌握二项式定理及其展开式的通项公式,会用二项式定理解决与二 项展开式有关的简单问题，提升数学抽象、数学运算素养.3,了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二 项式系数,通过二项式系数的性质和“赋值法”的灵活运用，提升逻辑 推理、数学运算素养.问题:在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式(a+b)2= (a+b) (a+b) =aXa+aXb+bXa+bXb=a2+2ab+b2,如何利用分步 乘法计数原理解释上述展开过程?你能根据上

2、述分析,写出(a+b) 3的 展开式吗？提示:从上述过程可以看到，(a+b)?是2个(a+b)相乘,根据多项式乘法 法则,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个(a+b)中 的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原 理,在合并同类项之前，(a+b)?的展开式共有2X2=22项,而且每一项 都是a2-kbk(k=0, 1, 2)的形式.而且a*bk相当于从2个(a+b)中取k个b 的组合数争，即a?41?的系数是翁.(a+b) 3=Cg+c 知?b+髭就+门也1.二项式定理解析：(9%)6的展开式的通项为Tk.产廉)6.(_*)匚(一1)t如2弋所以 对于A

3、选项，当2k-6=0,即k=3时，常数项为T3*(-l) &x=-20,故A 选项错误;对于B选项，由于n=6,故最大的二项式系数为量=20,是第 四项的二项式系数，故B选项正确;对于C选项,第3项是 T2+i=(-1)2Cx-2=15x 2,故C选项错误;对于D选项，令x=l,则 (i-x)6=(l-l)6=0,故所有项的系数的和为0,故D选项正确.故选BD.4. (2021 江苏沐阳高二期末)在下列三个条件中任选一个条件,补充 在后面问题中的横线上,并完成解答.条件,展开式中前三项的二项式系数之和为22;条件,展开式中所 有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64;条件,展开式

4、中常数项为第三项.问题：已知二项式(五-旷,若(填写条件的序号)，求： 展开式中二项式系数最大的项；展开式中所有的有理项.解:选，由Cg+C/鬣=22得n=6(负值舍去)； 选,令 x=i,则(V%-) n=(i-i),-o,X由C2+C尹鬣+喘-0=2三64得n=6;n-3k,选,设第k+1项为常数项,Tk+尸(-1)与丁，由k=2及啖0得 n=6.由n二6得展开式中二项式系数最大的项为第4项，则二项式系数最 大项为T产髭(-1)3x-U20%1设第r+1项为有理项，由T*C2（T）号因为0cr-3-(C3r C+1 -3r+1,-x 3 (5-r)!r! 一 (6r)!(r-l)!5!、5

5、!. X -(5-r)!r! 一(4-r)! (r+1)!、-x 3 (5-r)!r! 一 (6r)!(r-l)!5!、5!. X -(5-r)!r! 一(4-r)! (r+1)!、所以f- 所以 7 6工 所以*r1因为rN,所以r=4.226所以展开式中系数最大的项为T5=C。式3x5匚405%二求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b尸中的n进行 讨论.当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时, 中间一项的二项式系数最大.针对训练(2021 福建三明高二期末)在若展开式倒数三项的二项式系数之和等于46,若展开式所有项的系数的和为512,若展开式中第3项与第4

6、项的系数之比为3 ： 7这三个条件中任选一个， 补充在下面的横线上,并且回答下列问题.在二项式G +y)九的展开式中，.求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中的常数项.解：(1)选择,因为展开式倒数三项的二项式系数之和等于46,所以 qj+qj_1+C万2=cg+C升鬣=l+n+二46,整理得 n2+n-90=0,即(n+10) (n-9)=0,因为nN+,所以n=9.因此,二项展开式共有10项,所 以二项式系数最大的项有两项,分别为第五项 g)5 (y)竺詈与第六项 (I)4 (石)5嗡.选择,因为展开式所有项的系数的和为512,所以(1 + 1)三512二2)解 得n=9.因此,二项展开

7、式共有10项,所以二项式系数最大的项有两项, 分别为第五项T5二心 g)5 (yV书与第六项T卡源 G) (石)5=岩.选择，依题意可得第W，即三W，所以n=9.因此,二项展开式共有10 C 7n2 7项,所以二项式系数最大的项有两项,分别为第五项(65 (五)4二等与第六项t6=c1 g)4 (依)5嘴.由n=9得二项展开式的通项为/ -1 91rt*3r c+】二 Q) (V%) =c5 x9 (r=o, 1, 2, , 9),令39=0 得 r=6, 所以展开式中的常数项为T?=C8=C84.角度2二项式系数的和与系数的和的问题例3 (2021 重庆长寿中学期中)在前二项的二项式系数之和

8、为 11,第4项与第8项的二项式系数相等,所有二项式系数的和为 21这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,解决下面两个问题.已 知(2x-l)n=a0+aiX1+a2X2+a3x3+-+anXn(nGN+),若(2xT)11 的展开式 中,.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求 | | +1 也卜+|比 | +,+1 an | 的值.解：(1)选择条件，若(2xT)n的展开式中前二项的二项式系数之和 为11,则叫+%=11,所以10.选择条件,若(2x-l)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等, 则照二鬣，所以n=10.选择条件，若(2xT)n的展开式中所有二项式系数的和为21

9、0,则2n=2：所以 n=10.由于n=10,所以(2xT)n的展开式中二项式系数最大的项为第6项,T6=-C025x5.(2)由(1)知 n=10,贝(2xT)母=8+4穴+&*2+43*3+aiox1令 x=0,得二 1,令 X 1,则 3二班一曲+2-包+410= 1+ | a1I + I 2 | + | 3 I +1,所以 I a1| +1 a I +1 a? | +1 am | =310T.求展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式各项系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给 字母不同的值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0可得常数项，令x=l可得所有项系

10、数之和，令x=-l可得偶次项系 数之和与奇次项系数之和的差,而当二项展开式中含负值项时一,令 x-1则可得各项系数绝对值之和.针对训练(多选题)(2021 福建泉州一中期末)对任意实数x,有 (3x-2) 9=a0+ai (x-1) +a2 (x-l) 2+a9 (x-1 )9,则下列结论成立的是 ()a()=-29A. &2324Hi+a?+9=4B. a()-ai+a2-a3+ , , -a9=_29解析:A,令x=l,得a0=l,故A错误；B, (3x-2)9=3(x-1)+1 9=a0+ai (x-1) +a? (xT) ：+ao (xT)所以含(X-1)2项的系数百髭 32=324,

11、故B正确；C,令 x=2,则 ao+ai+a2+-+a9=49,所以 ai+a2+-+a9=49-l,故 C 错误;D,令x=0,则802+82一3+一染二一故D正确.故选BD.1. （2021 上海浦东新区一模）（x-iy的二项展开式中第4项是A. CiOx B. CqX6C. -Cox7 D. -Cjox6解析：（x-的通项为Tr+1=Cox，o-r （-1）1,故第4项（2021 广东广州期末）已知（1+2X）11的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则（1+2X）11的展开式的各项系数之和为（A ）A. 38 B. 310 C. 28 D. 2,0解析：由题知第二瑞，由组合数性质解得n=8,所以（1+2x） = （1+2x）8,令 x=l,得展开式各项系数之和为3.故选A.2. （多选题）（2021 山东济南高二期末）在（9%）6的展开式中，下列说 法正确的是（BD ）A.常数项是20B.第4项的二项式系数最大C.第3项是15x2D.所有项的系数的和为0