第03讲 二次函数（二）(教师版)A4-精品文档整理.docx

《第03讲 二次函数（二）(教师版)A4-精品文档整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03讲 二次函数（二）(教师版)A4-精品文档整理.docx（58页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲 二次函数（二）知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数（2）知识精讲一二次函数与三角形等腰三角形存在性问题：题型说明：本类题型考察的方向有两个；考查“分类讨论”的基本思想；考查“方程的思想”分类讨论主要讨论谁为腰，然后利用两腰相等或勾股定理建立方程解决此类问题的基本思路：分类讨论看是否存在多种可能；将各边用参数表示出来；建立方程；检验是否符合题意直角三角形的存在性问题：题型说明：本类题型考察的方向有两个；考查“分类讨论”的基本思想；考查“勾股定理”解决此类问题的基本思路：分类讨论看是否存在多种可能，哪个顶点

2、为直角顶点利用勾股定理和相似构造方程等腰直角三角形存在性问题：题型说明：本类题型主要考查等腰直角三角形的特殊性，如45，斜边上的高等于斜边的一半等，往往这些条件都是解决本类问题的关键条件相似三角形存在性问题题型说明：本类题型主要考察相似三角形的对应关系，保证对应顶点对应在起来，这样就涉及到分类讨论的思想，分类的标准就是点与点之间的对应二二次函数与四边形平行四边形存在性问题题型说明：在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验；如果有两个动点，则常用的方法有两个，引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最后要检验；从已知条件

3、直接进行分析动点与平行四边形存在性问题常见模型：两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形i考虑分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况ii设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系式三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形i考虑分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点大三角：（见图1）连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点ii利用中点公式法，求出点坐标中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标其他四边形存在性问题题型说明：

4、除了经常考察平行四边形的存在性以及梯形之外，像菱形，矩形，正方形也经常出现在二次函数的动点问题中，充分应用相关图形的性质是解决问题的关键三二次函数与面积问题题型说明：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在不在二次函数的图像上，这些都是在考试中容易失分的地方根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运用这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了而次部分求面积

5、的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标解决此类问题的基本思路：直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来；组合法，通过简单的重新组合就能求出面积；变换，同底等高或等底等高的转换方法点拨 复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合三点剖析一考点：二次函数与三角形，二次函数与四边形，二次函数与面积问题，二次函数与圆，函数新定义问题二重难点：二次函数与三角形，二次函数与四边形，二次函数与面积问题，二次函数与圆，函数新定义问题三易错点：1事件的判断；2客观规律的判断

6、；3抛硬币时，正正反和正反正属于两种不同的情况；4两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值题模精讲题模一：二次函数与三角形综合例1.1.1如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由【答案】（1）抛物线与x轴没有交点（2）将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线

7、，或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线【解析】解：（1）由抛物线过M、N两点，把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得 ，抛物线解析式为y=x23x+5，令y=0可得x23x+5=0，该方程的判别式为=（3）2415=920=110，抛物线与x轴没有交点；（2）AOB是等腰直角三角形，A（2，0），点B在y轴上，B点坐标为（0，2）或（0，2），可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，当抛物线过点A（2，0），B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，平移后的抛物线为y=x2+3x+2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左

8、平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过A（2，0），B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，平移后的抛物线为y=x2+x2，该抛物线的顶点坐标为（ ，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线例1.1.2如图，在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线y=x2+4mx（m0）与x轴的另一个交点为点A，过点P（1，m）作直线PBx轴，交抛物线于点B，作点B关于抛物线对称轴的对称点C（点B、C不重合），连结BC，当点P、B不重合时，以BP、BC为边作矩形PBCQ，设矩形PBCQ的周长为l（1）当m=1时，求点A的坐标

9、（2）当BC=时，求这条抛物线所对应的函数表达式（3）当点P在点B下方时，求l与m之间的函数关系（4）连结CP，以CP为直角边作等腰直角三角形PCM，直接写出点M落在坐标轴上时m的值【答案】（1）A点坐标为（4，0）（2）当BC=时，4m2=m=，这条抛物线的解析式为y=x2+x当BC=时，24m=m=，这条抛物线的解析式为y=x2+x（3）l=2m+2（4）m=，m=【解析】（1）当m=1时，抛物线的解析式为y=x2+4x当y=0时，x2+4x=0，解得x1=0，x2=4，即A点坐标为（4，0）；（2）当y=x2+4mx中x=1时，y=4m1，B（1，4m1）且抛物线的对称轴为x=2m当点B

10、在对称轴左侧时，即m时，BC=2（2m1）=4m2当BC=时，4m2=m=，这条抛物线的解析式为y=x2+x当BC=时，24m=m=，这条抛物线的解析式为y=x2+x（3）当点B在对称轴左侧，同时点P在点B的下方，即m 时，l=22（12m）+（4m1m），l=2m+2（4）分三种情况：P在对称轴左侧，P（1，m），B（1，4m1），C（4m1，4m1），BC=4m2，BP=3m1，若CPQ=90，PC=PQ，如图1，此时，CBPPFQ，CB=PF，即4m2=m，解得m= ，若PCQ=90，CP=CQ，如图2，此时，QFPCDQ，DF=CD，即4m1=4m1，方程无解；此种情况不成立如图3，B

11、（1，4m1），P（1，m），C（4m1，4m1），若CPQ=90，PC=PQ，CBPQFC，BP=CF，即3m1=4m1，解得m=0（舍），如图4，CQP=90，CQ=CP，CBPPFQ，BP=QF，即4m1m=1，解得m=；如图5，CQP=90，CQ=CP，CBPPFQ，BC=PF，即24m=m，解得m=；综上所述：m=，m=例1.1.3如图，抛物线y=（x2）2+4交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），其顶点为C，将抛物线沿x轴向左平移m（m0）个单位，点B、C平移后的对应点为D、E，且两抛物线在x轴的上方交于点P，连接PA、PD（1）判断PAD能否为直角三角形？若能，求m的值；若不能，

12、说明理由；（2）若点F在射线CE上，当以A、C、F为顶点的三角形与PAD相似时，求m的值【答案】（1）PAD不能成为直角三角形（2）m=3【解析】（1）令x=0，则（x2）2+4=0，解得x=1或5，A（1，0），B（5，0），C（2，4），如图1中，过点P作PQAD于Q，根据对称性可知PA=PD，PAD是等腰三角形，设D（5m，0），则Q（，0），P（，），若PAD是直角三角形，则PAD是等腰直角三角形，APD=90，AD=2PQ，（5m）+1=2（），整理得2m29m18=0，解得m=6或m=，m0，m=6，当m=6时，P（1，0）与点A重合，故舍弃PAD不能成为直角三角形（2）由（1）可

13、知，PAD是等腰三角形，连接AC，则CADPAD=PDA，CEAD，FCA=CADPAD=PDA，以A、C、F为顶点的三角形与PAD相似，只存在CAFPAD这种情形，CA=CF，如图2中，过点C作CMx轴于点M，则点M（2，0），AC=5，CF=5，F（3，4），过点A作ANCF于点N，则点N（1，0）过点A作AGPD于点G，则APG=ACN，tanAPG=tanACN=，设PG=3x，则AG=4x，AP=5x，DG=5x3x=2x，AD=2x，ADPQ=PDAG，PQ=2x=AD，=5m+1，整理得m29m+18=0，解得m=3或m=6当m=6时，P（1，0）与点A重合，故舍弃，m=3例1.

14、1.4如图，已知经过点D（2，）的抛物线y=（x+1）（x3）（m为常数，且m0）与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（1）填空：m的值为_，点A的坐标为_（2）连接AD，射线AF在x轴的上方且满足BAF=BAD，过点D作x轴的垂线交射线AF于点E动点M，N分别在射线AB，AF上，求ME+MN的最小值（3）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G请探究：是否存在点P，使得以P，G，A为顶点的三角形与ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（1，0）（2）3（3）（0，）、（2，）、（4，）或（6，7）【解析】（

15、1）点D（2，）在抛物线y=（x+1）（x3）（m为常数，且m0）的图象上，=（2+1）（23），解得：m=，抛物线的解析式为y=（x+1）（x3）令抛物线y=（x+1）（x3）中y=0，则有（x+1）（x3）=0，解得：x1=1，x2=3点A位于点B的左侧，A（1，0），B（3，0）故答案为：；（1，0）（2）过点D作DNAF于点N，交x轴于点M，连接ME，此时ME+MN=DN最小，如图1所示点D（2，），BAF=BAD，点D、E关于x轴对称，点E（2，），点A（1，0），AE=2，DE=2SADE=DE（xDxA）=AEDH，DH=3，ME+MN的最小值为3（3）假设存在如图2所示A（1，

16、0），B（3，0），D（2，），AB=4，AD=2，BD=2，ABD为1：2的直角三角形以P，G，A为顶点的三角形与ABD相似，PGA=ADB=90，=或=设点P（m，（m+1）（m3），则点G（1，（m+1）（m3），AG=|（m+1）（m3）|，PG=|m+1|当=时，有|（m+1）（m3）|=|m+1|，解得：m1=0，m2=1（舍去），m3=6此时点P的坐标为（6，7）或（0，）；当=时，有|（m+1）（m3）|=|m+1|，解得：m4=2，m5=1（舍去），m6=4此时点P的坐标为（2，）或（4，）综上可知：存在点P，使得以P，G，A为顶点的三角形与ABD相似，点P的坐标为（0，）、

17、（2，）、（4，）或（6，7）题模二：二次函数与四边形综合例1.2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（4，0）、点B（0，8），直线AC与y轴交于点C（0，4）P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D，过点P作PEAC于点E（l）求抛物线所对应的函数表达式（2）若四边形PBCD为平行四边形，求点P的坐标（3）求点E横坐标的最大值【答案】（l）y=x2+2x8（2）P（3，5）（3）DPE是等腰直角三角形【解析】（1）抛物线y=x2+bx+c经过点A（4，0），点B（0，8），解得：，这条抛物线所对应的函数表达式为y=x

18、2+2x8；（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，点A（4，0），点C（0，4）在直线AC上，解得：，直线AC所对应的函数表达式为：y=x4；点P在抛物线y=x2+2x8上，设点P（m，m2+2m8），PDy轴，点D（m，m4），PD=m4（m2+2m8）=m23m+4，四边形PBCD是平行四边形，PD=BC，即m23m+4=4，解得：m1=0，m2=3，点P不与点B重合，m=3，P（3，5）；（3）点A（4，0），点C（0，4），OA=OC，AOC=90，ACO=45，PDy轴，PDE=ACO=45，PEAC于点E，PED=90，PDE=DPE=45，设点E的横坐标为n，如图，过点E作E

19、FPD于点F，DPE是等腰直角三角形，EF=PD，即nm= PD，n=m+PD=m+（m23m+4）=（m+）2+，4m0，当m=时，n最大，且n的最大值为题模三：二次函数与面积综合例1.3.1如图1，平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，以BE为腰作等腰，使它与在直线AB的同侧，沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变

20、量t的取值范围【答案】（1）（2）或（3）当时，；当时，；当时，【解析】（1）对于直线，当时，即，当时，即，把A与B坐标代入中，则抛物线解析式为；（2）设M坐标为，当时，如图1，作MNy轴，则有，即，解得：或（舍去），当时，即； 当时，易知，即，解得或4（舍去），当时，即，则满足条件M的坐标为或；（3）如图2所示，当D点运动到x轴上时，易知，当时，；当时，；当时，题模四：二次函数与圆综合例1.4.1如图，在平面直角坐标系中，A与x轴相交于C（2，0），D（8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与A相切；（

21、3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标【答案】（1）y=x2+x+4；（2）见解析（3）存在点F，使BDF面积最大，F（4，2）【解析】（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（2，0），D（8，0）代入得：，解得经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；（2）y=x2+x+4=（x+5）2，E（5，），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，直线CE与y轴交于点G，则，解得：，y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，G（0，），如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OBOG=4=，CG=，BG=CG

22、，AB=AC，在ABG与ACG中，ABGACG，ACG=ABG，A与y轴相切于点B（0，4），ABG=90，ACG=ABG=90点C在A上，直线CE与A相切；（3）存在点F，使BDF面积最大，如图2连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），过F作FNy轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则，解得直线BD的解析式为y=x+4，点N的坐标为（t，t+4），FN=t+4（t2+t+4）=t22t，SDBF=SDNF+SBNF=ODFN=（t22t）=t28t=（t+4）2+16，当t=4时，SBDF最大，最大值是16，当t=4时，t2+t+4=2，F（4，2）题模五：二次函数与新

23、定义例1.5.1在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是（1）点的限变点的坐标是_；在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，这个点是_；（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中令，求关于的函数解析式及的取值范围【解析】（1）；1分点B2分（2）依题意，图象上的点P的限变点必在函数的图象上，即当时，取最大值2当时，3分当时，或或4分，由图象可知，的取值范围是5分（3） ，顶点坐标为6分若，的取值范围是或，与题意不

24、符若，当时，的最小值为，即；当时，的值小于，即关于的函数解析式为7分当t=1时，取最小值2的取值范围是28分随堂练习随练1.1如图，点A（2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DCBC，BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F（1）求抛物线的解析式；（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；（3）若FDC是等腰三角形，求点F的坐标【答案】（1）y=（x+2）（x4）（2）能，（，0）（3）（0，7）【解析】（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（

25、x4），然后将C点坐标代入得：a（3+2）（34）=3，解得：a=，故抛物线解析式是：y=（x+2）（x4）；（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=3x+12，CDCB，CD直线方程可以设为：y=x+m，将C点坐标代入得：m=2，CD直线方程为：y=x+2，D点坐标为：D（0，2），由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标为M（1，），由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程为：y=x+，F点坐标为：F（0，），CE直线方程可以设为：y=x+n，将C点坐标代入得：n=，CE直线方程为：y=x+，令y=0，解得：x=，E点坐标为E（，0），能； （3）由

26、C、D两点坐标可以求得CD=，则FDC是等腰可以有三种情形：FD=CD=，则F点坐标为F（0，2+），FC=CD=，过C点作y轴垂线，垂足为H点，则DH=1，则FH=1，则F点坐标为F（0，4），FD=FC，作DC的中垂线FG，交y轴于F点，交DC于G点，由中点公式得G点坐标为G（，），由DC两点可以求得DC直线方程为：y=x+2，则FG直线方程可以设为：y=3x+p，将G点坐标代入解得：p=7，故F点坐标为（0，7）随练1.2如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；

27、（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且MND=OAB，当DMN与OAB相似时，请你直接写出点M的坐标【答案】（1）y=（x1）21；（2）O到直线AB的距离是OA=；（3）点M的坐标（2，），（17，80）【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x1）21，将B点坐标代入函数解析式，得（51）2a1=3，解得a=故抛物线的解析式为y=（x1）21；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（51）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，OAB=90，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x1）21=0

28、，解得x1=3，x2=1，D（3，0），DN=3a当MNDOAB时，=，即=，化简，得4b=a3 M在抛物线上，得b=（a1）21 联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=2，b=，M1（2，），当MNDBAO时，=，即=，化简，得b=124a ，联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=17，b=124（17）=80，M2（17，80）综上所述：当DMN与OAB相似时，点M的坐标（2，），（17，80）随练1.3如图，在ABCD中，BEAD于点E，且点E为AD中点，AD=BE=4，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线AD方向运动设点P的运动时间为t秒，点P出发后，过点P

29、作AD的垂线，交折线ABBC于点Q，以PQ为边向左作正方形PQMN设正方形PQMN与ABCD重叠部分的面积为S（1）求点N与点D重合时，t的值（2）用含t的代数式表示线段EN的长（3）当正方形PQMN与ABCD重叠部分不是正方形时，求S与t之间的关系式（4）如图，设点O为BE的中点，请直接写出点P的运动过程中，OQM为等腰三角形时，t的值【答案】（1）（2）EN=（3）S与t的函数为S=（4）当t=1或t=2+2或t=62 或t= 或t=时，MQO为等腰三角形【解析】（1）如图1所示：E是AD的中点，AD=4，AE=2AE=2，BE=4，BEA=90，tanA=2又PA=t，QP=2tPQMN

30、为正方形，PD=2tt+2t=4解得：t= （2）当0t时，如图2所示：由（1）可知PA=t，NP=2tEN=AEPAPN=2t2t=23t当t2时，如图3所示：由（1）可知PA=t，NP=2tEN=ANAE=PA+PNAE=t+2t2=3t2当t2时，如图4所示：PA=t，PN=4，EN=AP+PNAE=t+42=t+2综上所述，EN= （3）如图5所示：当0t 时，S=（2t）2=4t2；如图6所示：当t2时NA=3t，AD=4，DN=3t4FN=2ND=2（3t4）S=S正方形PQMNSFND=（2t）22（3t4）2=5t2+24t16当2t4时，如图7所示：CQ=CB+EAPA=6t

31、，DP=ADAP=4t，S=4（6t+4t）=4t+20当4t6时，如图8所示：CQ=6t，QF=122tS=CQQF=2（6t）2=t212t+36当t6时，S=0综上所述S与t的函数为S=（4）如图9所示：PA=t，PQ=QM=2t，Q（2t，2t，），M（23t，2t）当OM=OQ时，由两点间的距离公式可知：（23t）2+（22t）2=（2t）2+（22t）2整理得：2t（44t）=0解得：t=1或t=0（舍去）当MO=MQ时（23t）2+（22t）2=（2t）2整理得：9t220t+8=0解得：t= 或t=当QO=QM时（2t）2+（22t）2=（2t）2整理得：t212t+8=0解得

32、：t=62 ，t=6+2（舍去）如图10所示：当MQ=QO=4时在RtBOQ中，QB=PA+QB+EA=2 +2即t=2+2综上所述，当t=1或t=2+2或t=62 或t= 或t=时，MQO为等腰三角形随练1.4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tanOAC= （1）求抛物线的解析式；（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HNx轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案

33、】（1）y=x2x+3（2）（3）（4，0），（， ），（ ，）或（2，0）【解析】（1）C（0，3），OC=3，tanOAC=，OA=4，A（4，0）把A（4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，得 ，解得： ，抛物线的解析式为y=x2x+3（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，得：，解得：，直线AC的解析式为y=x+3设N（x，0）（4x0），则H（x，x+3），P（x，x2x+3），PH=x2x+3（x+3）=x2x=（x+2）2+，0，PH有最大值，当x=2时，PH取最大值，最大值为（3）过点M作MKy轴于点K，交对称轴于点

34、G，则MGE=MKC=90，MEG+EMG=90，四边形CMEF是正方形，EM=MC，MEC=90，EMG+CMK=90，MEG=CMK在MCK和MEG中， ，MCKMEG（AAS），MG=CK由抛物线的对称轴为x=1，设M（x，x2x+3），则G（1，x2x+3），K（0，x2x+3），MG=|x+1|，CK=|x2x+33|=|x2x|=|x2+x|，|x+1|=|x2+x|，x2+x=（x+1），解得：x1=4，x2=，x3=，x4=2，代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，点M的坐标是（4，0），（， ），（ ，）或（2，0）随练1.5如图，在平面直角坐标系中，直线y

35、= x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点（1）求抛物线所对应的函数表达式（2）求ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标【答案】（1）y=x+3（2）E（2，3）（3）点P的坐标为（3，），（5，）和（1，）【解析】（1）当x=0时，y=3，即B点的坐标为（0，3），当y=0时，有x+3=0，解得x=4，即A点坐标为（4，0）将A、B点坐标代入抛物线的解析式，得，解得，故抛物

36、线所对应的函数表达式为y=x+3（2）过点E作EFx轴于点F交直线AB与点M，如图1所示点E是直线AB上方抛物线上的点，设点E的坐标为（m，m+3），点M的坐标为（m，m+3），EM=m+3（m+3）=m，SABE=SBEM+SAEM= MEOA=（m）4=+3m=（m2）2+3，当m=2时，ABE面积最大，且最大值为3，此时点E的坐标为（2，3）（3）抛物线的对称轴为x= =1设点P的坐标为（n， n+3），Q点的坐标为（1，d）点E的坐标为（2，3），直线EM的解析式为x=2，点M的坐标为（2， ）令y=0，则有x+3=0，解得x=2，或x=4，点C的坐标为（2，0），当以P、Q、C、M为

37、顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：如图2所示，线段CM为对角线，且CM的中点为点N点C（2，0），点M（2，），点N的坐标为（0，）又点N为线段PQ的中点，有=0，解得n=1，此时P点的坐标为（1，）；线段CM为一条边时，PQ的横坐标之差等于CM的横坐标之差，即|1n|=|2（2）|，解得：n=3或n=5，此时点P的坐标为（3，）或（5，）综上可知：点P的坐标为（3，），（5，）和（1，）随练1.6如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N

38、在对称轴l上当PANA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标【答案】（1）y=x22x+3，顶点坐标为（1，4）（2）点【解析】（1）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=1，解得：二次函数的解析式为y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）令y=x22x+3=0，解得x=3或x=1，点A（3，0），B（1，0），作PDx轴于点D，点P在y=x22x+3上，设点P（x，x22x+3）PANA，且PA=NA，PADANQ，AQ=PD，即y=x

39、22x+3=2，解得x=1（舍去）或x=1，点P（1，2）；设P（x，y），则y=x22x+3，由于P在第二象限，所以其横坐标满足：3x0，S四边形PABC=SOBC+SAPO+SOPC，SOBC=OBOC=31=，SAPO=AO|y|=3y=y=（x22x+3）=x23x+，SOPC=CO|x|=3（x）=x，S四边形PABC=x23x+x=6xx2=（x+）2+，当x=时，S四边形PABC最大值=，此时y=x22x+3=，所以P（，）随练1.7如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BCx轴

40、，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC与ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=，y=x23x（2）SABC=15；SABE=（3）存在，D（3，18）【解析】（1）点A（2，2）在双曲线y=上，k=4，双曲线的解析式为y=，BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，设B点坐标为（m，4m）（m0）代入双曲线解析式得m=1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）过点A（2，2）、B（1，4）、O（0，0），解得：，故抛物线的解析式为y=x23x；（2）抛物线的解析式为y=x23x，顶点E（，），对称轴为x=，B（1，4），x23x=4，解得：x1=1，x2=4，C横坐标0，C（4，4），SABC=56=15，由A、B两点坐标为（2，2），（1，4）可求得直线AB的解析式为：y=2x2，设抛物线的对称轴与AB交于点F，连接BE，则F点的坐标为（，1），EF=1=，SABE=SAEF+SBEF=EF|A横|+EF|B横|=（|A横|+|B横|