第02讲 四边形综合（二）(教师版)A4-精品文档整理.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 四边形综合（二）知识图谱错题回顾顾题回顾四边形综合（二）知识精讲一四边形与动点问题动点问题分析的一般方法：1确定图形中的定点、动点；2分析运动原因； 3分析运动过程，确定动点的运动轨迹；4寻找临界情况并计算.三点剖析一考点：四边形与动点问题二重难点：四边形与动点问题综合及计算三易错点：动点运动过程分析错误题模精讲题模一：四边形与动点问题例1.1.1如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿BCD运动

2、，到点D停止，点Q沿DOB运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ设APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）（1）填空：AB=_cm，AB与CD之间的距离为_cm；（2）当4x10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值【答案】（1）5，（2）y=（3）满足条件的x的值为或【解析】（1）菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，ACBD，AB=5，设AB与CD间的距离为h，ABC的面积S=ABh，又ABC的面积S=S菱形ABCD=ACBD=68=12，ABh=

3、12，h=（2）设CBD=CDB=，则易得：sin=，cos=当4x5时，如答图11所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上PB=x，PC=BCPB=5x过点P作PHAC于点H，则PH=PCcos=（5x）y=SAPQ=QAPH=3（5x）=x+6；当5x9时，如答图12所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上PC=x5，PD=CDPC=5（x5）=10x过点P作PHBD于点H，则PH=PDsin=（10x）y=SAPQ=S菱形ABCDSABQS四边形BCPQSAPD=S菱形ABCDSABQ（SBCDSPQD）SAPD=ACBDBQOA（BDOCQDPH）PDh=68（9x）383（x1

4、）（10x）（10x）=x2+x；当9x10时，如答图13所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上y=SAPQ=ABh=5=12综上所述，当4x10时，y与x之间的函数解析式为：y=（3）有两种情况：若PQCD，如答图21所示此时BP=QD=x，则BQ=8xPQCD，即，x=；若PQBC，如答图22所示此时PD=10x，QD=x1PQBC，即，x=综上所述，满足条件的x的值为或例1.1.2如图1，已知B点坐标是（6，6），BAx轴于A，BCy轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DEBD，M是DE中点，且M在OB上（1）点M的坐标是（_，_），DE=_；（2）小明在研究动点问题时发现，

5、如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？【答案】（1）（2，2），8（2）（3），3【解析】点B的坐标为（6，6），tanBOA=BOA=30在RtEOD中，点M是ED

6、的中点，OM=MDO=BOA=30，BDED，EDB=90EDO+BDA=90BDA+DBA=90，EDO=DBA=30AD=ABtan30=6=2OD=6OE=ODtan30=4=4M是DE的中点，点M的坐标为（2，2），即，DE=8（2）根据题意画出点P、点Q运动的轨迹OD=4，点D的运动时间=4秒；点F运动的时间=61=6秒；点P是BD的中点，点P的坐标为（，）即点P的坐标为（5，3），P1的坐标为（3，1）PP1=，P1P2=P点运动的路线长PP1+P1P2=5；M是DE的中点，EOD=90OM=点M运动的路线为弧MEBOA=30，EOM=60点M运动的路线长=GH=DE，点G运动的路

7、线长为：（3）点P、Q分别为FG和GH的中点，PQ=FH当FH最小时，PQ最小，当FHy轴时，FH最小值=6，如图2，连接FH设此时运动时间为t秒，则AF=6t，DG=OG=（4t），在RtHOG中，由勾股定理得：OH2=GH2OG2OH2=823（4t）2OH=AF，（6t）2=643（4t）2解得：，（舍去）当运动时间为秒时，PQ最小值=3例1.1.3如图，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线CDA向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线

8、段CD的交点为E，与折线ACB的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当t=0.5时，求线段QM的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）1；（2）1或；（3） 【解析】（1）过点C作CFAB于F，则四边形AFCD为矩形CF=4，AF=2，此时，RtAQMRtACF，即，QM=1；（2）DCA为锐角，故有两种情况：当CPQ=90时，点P与点E重合，此时DE+CP=CD，即t+t=2，t=1，在0t2内，当PQC=90时，如备用图1，此时RtPEQRt

9、QMA，由（1）知，EQ=EMQM=42t，而PE=PCCE=PC（DCDE）=t（2t）=2t2，t=，在0t2内；综上所述，t=1或；（3）为定值当t2时，如备用图2，PA=DADP=4（t2）=6t，由（1）得，BF=ABAF=4，CF=BF，CBF=45，QM=MB=6t，QM=PA，ABDC，DAB=90，四边形AMQP为矩形，PQAB，CRQCAB，例1.1.4如图，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCDA匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，

10、设运动的时间为t秒（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由【答案】（1）Q（1，0），点P运动速度为每秒1个单位长度（2）C点的坐标为（14，12）（3）S=（0t10）（4）当t=或时，OP与PQ相等【解析】（1）如图，过B作BFOA于F，A（0，10），

11、OA=10，B（8，4），BF=8，OF=4，AF=104=6，AB=10，由图知：点P在边AB上运动时间为10秒，所以速度为：1010=1，Q（1，0），则点P运动速度为每秒1个单位长度；（2）如图，过B作BFy轴于点F，BEx轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，由（1）知：AF=6，AB=10；过C作CGx轴于点G，与FB的延长线交于点H，ABC=90，AB=BC，ABFBCH，BH=AF=6，CH=BF=8，OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，所求C点的坐标为（14，12）；（3）过点P作PMy轴于点M，PNx轴于点N，PMBF，则APMABF，AM=，PM=t，PN=OM=

12、10t，ON=PM=t，S=SOPQ=PNOQ=（10t）（1+t）=（0t10）；（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，满足条件；当P在AB上时，如图，t=（t+1），t=，OP与PQ相等，当P在BC上时，如图，则PB=t10，sinABF=sinBPM=，BM=（t10），ON=BF+BM=8+（t10），8+（t10）=（t+1），解得：t=15（舍），当P在CD上时，如图，则PC=t20，cosPCR=cosBCH=，CR=MH=（t20），ON=OGNG=FHMH=14（t20），14（t20）=（t+1），解得：t=，即当t=时，OP=PQ

13、，综上所述，当t=或时，OP与PQ相等随堂练习随练1.1阅读材料如图1，若点P是O外的一点，线段PO交O于点A,则PA长是点P与O上各点之间的最短距离.图1 图2证明：延长PO交O于点B，显然PBPA.如图2，在O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC.PA长是点P与O上各点之间的最短距离.由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题(1)如图3，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是 图3(2)如图4，在边长为2的菱形中，=60，是边的

14、中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接,求线段AM的长度;求线段长的最小值.图4【答案】(1)(2)1，【解析】（2）由知，点A在以点M为圆心，1为半径的圆上4分连接CM交圆M于点A，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H.随练1.2在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MNAE，分别交AB、CD于点M、N此时，有结论AE=MN，请进行证明；（2）如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN 与BD交于点G，连接BF，此时有结论

15、：BF=FG，请利用图2做出证明（3）如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系【答案】（1）见解析（2）见解析（3）AE=MN ；BF=FG【解析】（1）在图1中，过点D作PDMN交AB于P，则APD=AMN，正方形ABCD，AB=AD，ABDC，DAB=B=90，四边形PMND是平行四边形且PD=MN，B=90，BAE+BEA=90，MNAE于F，BAE+AMN=90，BEA=AMN=APD，又AB=AD，B=DAP=90，ABEDAP，AE=PD=MN；（2

16、）在图2中，连接AG、EG、CG，由正方形的轴对称性ABGCBG，AG=CG，GAB=GCB，MNAE于F，F为AE中点，AG=EG，EG=CG，GEC=GCE，GAB=GEC，由图可知GEB+GEC=180，GEB+GAB=180，又四边形ABEG的内角和为360，ABE=90，AGE=90，在RtABE 和RtAGE中，AE为斜边，F为AE的中点，BF=AE，FG=AE，BF=FG；（3）AE与 MN的数量关系是：AE=MN，理由是：如图3，过N作NQAB于Q，NMQ=AMF，AMF=AEB，AEB=NMQ，AB=BC=QN，ABE=NQM=90，AEBNMQ，AE=MN；BF与FG的数量

17、关系是：BF=FG，理由是：如图4，连接AG、EG、CG，同理得：GAD=GCD，GEC=GCE，GCE+GCD=90，GAD+GEC=90，ADEC，DAE+AEC=180，AEG+EAG=90，AGE=90，在RtABE 和RtAGE中，AE为斜边，F为AE的中点，BF=AE，FG=AE，BF=FG随练1.3如图，梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，CEAD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿ABCE的方向运动，到点E停止；动点Q沿BCED的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，PAQ的面

18、积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s时，y=_cm2；当x=s时，y=_cm2（2）当5x14 时，求y与x之间的函数关系式（3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时x的值（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值【答案】（1）2；9（2）当5x9时（如图1）y=x27x+，当9x13时（如图2）x2+x35，当13x14时（如图3）y=4x+56（3）当x=7时，S梯形ABCD（4）x=、或【解析】（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，y=2当x=s时，AP=4.5，Q点在EC上y=9故答案为：2；

19、9（2）当5x9时（如图1）y=S梯形ABCQSABPSPCQ=（5+x4）45（x5）（9x）（x4）y=x27x+当9x13时（如图2）y=（x9+4）（14x）y=x2+x35当13x14时（如图3）y=8（14x）y=4x+56；（3）当动点P在线段BC上运动时，S梯形ABCD=（4+8）5=88=x27x+，即x214x+49=0，解得：x1=x2=7当x=7时，S梯形ABCD（4）设运动时间为x秒，当PQAC时，BP=5x，BQ=x，此时BPQBAC，故，即，解得x=；当PQBE时，PC=9x，QC=x4，此时PCQBCE，故，即，解得x=；当PQBE时，EP=14x，EQ=x9，

20、此时PEQBAE，故，即，解得x=综上所述x的值为：x=、或随练1.4已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，动点M从A点出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动，当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动ABOC备用图xyABOCMNxy（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动在的条件下，D的长度也刚好最小求动点P的速度【答案】（1）

21、（2）；当时，；P的速度为每秒个单位长度【解析】该题考查的是一次函数综合（1）作作于D，则四边形OABD是矩形， ， ， ，（2）由题意知，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，设四边形OAMN的面积为S，则，且S随t的增大而减小，当时，S最小，最小面积为54，如备用图，取N点关于y轴对称点，连接交AO于点P，此时，长度最小，当时，、设直线的函数关系式，则，解得，动点P的速度是个单位长度/秒随练1.5某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF（1）当点P运动时，这两个正方形的面

22、积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+O

23、B的最小值【答案】（1）不是，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK（3）6（4）【解析】（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值设AP=x，则PB=8-x，根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32，所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK依题意画出图形，如答图2所示设AP=a，则PB=BF=8-aPEBF，=，即=，PK=，DK=PD-PK=a-=，S APK=PKPA=a=，S DFK=DKEF=（8-a）=，S APK=S

24、 DFK（3）当点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A此时在RtAPQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：24=6（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为如答图4-1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形点O为中点，OS=（GR+HT）

25、=（AP+PB）=4，即OS为定值点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，点O的运动路径为线段XY，XY=MN=3，XYAB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5如答图4-2，作点M关于直线XY的对称点M，连接BM，与XY交于点O由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM最小在RtBMM中，MM=24=8，BM=7，由勾股定理得：BM=MM2+BM2=OM+OB的最小值为随练1.6阅读下列材料：已知：如图1，在中，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少ABCP图1QCBAP图2

26、在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，_；（2）如图3，延长PA到点E，使（n为大于0的常数）以PE，PB为边作，那么对角线PQ的最小值为_，此时_；AEBQCPAEPBCQ图3图4（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使（n为大于0的常数），以PE，PC为边作，那么对角线PQ的最小值为_，此时_【答案】（1）（2）3；（3）；【解析】该题考查的是三角形综合

27、（1）四边形APBQ是平行四边形，AP/BQ，当时PQ最短，此时，（2）同（1）得，当时PQ最短，由（1）得，当时，（3）同（1）得时最短，此时PQ等于ABC中AB边上的高h，设，在ACP中，随练1.7在中，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出的度数；M(P)QCBA图1APMCBQ图2（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，

28、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且，请直接写出的范围【答案】（1）（2）（3）【解析】该题考察的是三角形综合（1），M是AC的中点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ，CMQ是等边三角形，；补全图形，见图1；图1（2）猜想：图2证明：如图2，连结AD，PC，M是AC的中点，点D，P在直线BM上，PA=PC，DA=DC又DP为公共边， ADPCDP ，又，在四边形APQD中， （3）如图3，延长BM，CQ交于点D，连接AD，且，点P不与点B，M重合，点P在线段BM上运动，最大为，最小等于，的范围是随练1.8如图1，已知B点坐标是（6，6），BAx轴于A，BCy轴于C，D

29、在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DEBD，M是DE中点，且M在OB上（1）点M的坐标是（_，_），DE=_；（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，

30、最小值是多少？【答案】（1）（2，2）；8（2）P点运动的路线长PP1+P1P2=5；点G运动的路线长为：（3）运动时间为秒时，PQ最小值=3【解析】（1）点B的坐标为（6，6），tanBOA=BOA=30在RtEOD中，点M是ED的中点，OM=MDO=BOA=30，BDED，EDB=90EDO+BDA=90BDA+DBA=90，EDO=DBA=30AD=ABtan30=6=2OD=6OE=ODtan30=4=4M是DE的中点，点M的坐标为（2，2），即，DE=8（2）根据题意画出点P、点Q运动的轨迹OD=4，点D的运动时间=4秒；点F运动的时间=61=6秒；点P是BD的中点，点P的坐标为（，

31、 ）即点P的坐标为（5，3），P1的坐标为（3，1）PP1=，P1P2=P点运动的路线长PP1+P1P2=5；M是DE的中点，EOD=90OM=点M运动的路线为弧MEBOA=30，EOM=60点M运动的路线长=GH=DE，点G运动的路线长为：（3）点P、Q分别为FG和GH的中点，PQ=FH当FH最小时，PQ最小，当FHy轴时，FH最小值=6，如图2，连接FH设此时运动时间为t秒，则AF=6t，DG=OG=（4t），在RtHOG中，由勾股定理得：OH2=GH2OG2OH2=823（4t）2OH=AF，（6t）2=643（4t）2解得：，（舍去）当运动时间为秒时，PQ最小值=3自我总结 课后作业作

32、业1如图，长方形OABC的顶点A、C、O都在坐标轴上，点B的坐标为（9，4），E为BC边上一点，CE=6（1）求点E的坐标和ABE的周长；（2）若P是OA上的一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿射线OA运动，设点P运动的时间为t秒（t0）当t为何值时，PAE的面积等于PCE的面积的一半；当t为何值时，PAE为直角三角形【答案】（1）12（2）当t为6或12秒；当t为6或秒【解析】（1）如图，长方形OABC中，点B的坐标为（9，4），CB=9，CO=4=AB，又CE=6，E（6，4），BE=3，B=90，RtABE中，AE=5，ABE的周长：3+4+5=12；（2）OP=1t=t，A

33、P=9t，PAE的面积等于PCE的面积的一半，当P在OA之间时，根据APAB=CECO，可得（9t）4=64，解得t=6；当P在OA的延长线上时，根据APAB=CECO，可得（t9）4=64，解得t=12；综上所述，当t为6或12秒时，PAE的面积等于PCE的面积的一半；如图，当PEA=90时，PAE为直角三角形，过点P作PFBC于F，则CF=OP=t，EF=6t，BF=6t+3=9t=AP，由勾股定理可得，PE2+AE2=AP2，即（PF2+EF2）+AE2=AP2，42+（6t）2+52=（9t）2，解得t=；当EPA=90时，PAE为直角三角形，EPOA，此时，PE=OC=4，RtAPE

34、中，AP=3，OP=93=6，t=6；EA与AP不垂直，PAE不可能为直角；综上所述，当t为6或秒时，PAE为直角三角形作业2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿AOD和DA运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动设运动时间为t秒（1）求菱形ABCD的周长；（2）记DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得DPO=DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由【答案】（1）200；

35、（2）S=t2；最大值为480；（3）存在2个点P，使得DPO=DON；存在两个点P到OD的距离都是【解析】（1）在菱形ABCD中，ACBDAD=50菱形ABCD的周长为200（2）过点M作MPAD，垂足为点P当0t40时，如答图1，sinOAD=，MP=AMsinOAD=tS=DNMP=tt=t2；当40t50时，如答图2，MD=70t，sinADO=，MP=（70t）SDMN=DNMP=t（70t）=t2+28t=（t35）2+490S=当0t40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480当40t50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480综上所述，S的最大值为480

36、（3）存在2个点P，使得DPO=DON方法一：如答图3所示，过点N作NFOD于点F，则NF=NDsinODA=30=24，DF=NDcosODA=30=18OF=12，tanNOD=2作NOD的平分线交NF于点G，过点G作GHON于点H，则FG=GHSONF=OFNF=SOGF+SOGN=OFFG+ONGH=（OF+ON）FGFG=，tanGOF=设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：DPK=DPO=DON=FOGtanDPK=，PK=根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P存在两个点P到OD的距离都是方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线

37、EF于点I，连结OI，IN过点N作NGOD，NHEF，垂足分别为G，H当t=30时，DN=OD=30，易知DNGDAO，即NG=24，DG=18EF垂直平分OD，OE=ED=15，EG=NH=3设OI=R，EI=x，则在RtOEI中，有R2=152+x2 在RtNIH中，有R2=32+（24x）2 由、可得：PE=PI+IE=根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P也满足条件存在两个点P，到OD的距离都是（注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）作业3如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点（P与B、D不重合），APE=90，且点E在BC边上，AE交BD于点F（1）求证：PABPC

38、B；PE=PC；（2）在点P的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设DP=x，当x为何值时，AEPC，并判断此时四边形PAFC的形状【答案】（1）见解析（2）（3）四边形PAFC是菱形【解析】（1）四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABP=CBP=ABC=45PB=PB，PABPCB （SAS）由PABPCB可知，PAB=PCBABE=APE=90，PAB+PEB=180，又PEC+PEB=180，PEC=PAB=PCB，PE=PC（2）在点P的运动过程中，的值不改变由PABPCB可知，PA=PCPE=PC，PA=PE，又APE=90，PAE是等腰直角三角

39、形，PAE=PEA=45，（3）AEPC，CPE=PEA=45，在PEC中，PCE=PEC=（18045）=67.5在PBC中，BPC=（180CBPPCE）=（1804567.5）=67.5BPC=PCE=67.5，BP=BC=1，x=BDBP=1AEPC，AFP=BPC=67.5，由PABPCB可知，BPA=BPC=67.5，PA=PC，AFP=BPA，AF=AP=PC，四边形PAFC是菱形作业4如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，6）动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MNPE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为S当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；若点M，N中