第01讲 三角形综合（一）(教师版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 三角形综合（一）知识图谱错题回顾顾题回顾三角形综合（一）知识精讲1. 一中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是底边的中线)二角平分线类辅助线作法 有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3，这种对称的图形应用得也较为普遍 三截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线

2、的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解四型图（一线三等角） 型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用（1）如图，已知，；则，（2）型图变化：将向右移动会出现下面两种情况：如图，已知，则，；如图，已知，则，三点剖析一考点：全等三角形辅助线的作法二

3、重难点：中点类、角平分线类、截长补短类和 型图（一线三等角）辅助线作法三易错点：1辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来全等三角形辅助线的作法题模精讲题模一：全等三角形例1.1.1数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答题目解：题目中

4、，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）【答案】（1）AE=DB；（2）AE=DB，理由见解析.【解析】（1）AE=DB；理由如下：ABC是等边三角形，点E为AB的中点，ABC=ACB=60，BCE=ACB=30，AE=BE，ED=EC，D=BCE=30，ABC=D+BED，BED=30=D，BE=DB，AE=DB；故答案为：=；（2）AE=DB，理由如下：过点E作EFBC，交AC于点F，如图2所示：ABC是等边三角形，ABC=ACB=A=60，DBE=120，EFBC，AEF=ABC，AFE=ACB，F

5、EC=DCE，A=AEF=AFE=60，AEF是等边三角形，EFC=120，AE=EF，BE=CF，ED=EC，D=DCE，FEC=D，在EFC和DBE中，EFCDBE（AAS），EF=DB，AE=DB；故答案为：=例1.1.2如图1，在中，的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、MABCMElNHDOlNHAABBCCDOOD图1图2图3（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系【答案】（1）见解析（2）（3）当点M在

6、线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质（1）证明：连接NDAO平分BAC，直线lAO于H，AH是线段NC的中垂线，；（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为证明：过点C作CNAO交AB于N由（1）可得，过点C作CGAB交直线l于G，M是BC中点，在BNM和CGM中，2.BNMCGM（ASA）（3）BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，例1.1.3在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC，（1）如图1，点D、E

7、分别是AB、AC边的中点，AFBE交BC于点F，连结EF、CD交于点H求证：EFCD；（2）如图2，AD=AE，AFBE于点G交BC于点F，过F作FPCD交BE的延长线于点P，试探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析（2）BP=AF+FP；理由见解析【解析】（1）证明：如图，过点C作CMAC交AF延长线于点M，BAC=90，AFBE于G，1+5=2+5=90，1=2又BAC=ACM=90，AB=AC在ABE和CAM中， ，ABECAM（ASA），AE=CM，5=MAE=ECEC=CMAB=AC，BAC=90ABC=ACB=45ACM=904=9045=45=AC

8、F在EFC和MFC中，EFCMCF（SAS），6=M6=5AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点AD=AE在ABE与ACD中， ，ABEACD（SAS）1=33+6=90EHC=90EFCD（2）证明：如图，过点C作CMAC交AF延长线于点M，由（1）得ABECAMAE=CM，5=M，BE=AM由（1）得ABEACD1=3FPCD于H，BAC=903+6=1+56=56=8，7=57=8EP=QP6=5，5=M6=MAB=AC，BAC=90ABC=ACB=45ACM=904=9045=45=ACF在QCF和MCF中，QCFMCF（ASA）FQ=FMBP=BE+PE=AM+PQ=（AF+F

9、M）+PQ=AF+FM+PQ=AF+FPBP=AF+FP例1.1.4如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM

10、中，ADMNEMAM=MNM为AN的中点（2）证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形（3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，延长AB交NE于点F，ADNE，M为中点，易得ADMNEM，AD=NEAD=AB，AB=NEADNE，AFNE，在四边形B

11、CEF中，BCE=BFE=90FBC+FEC=360180=180FBC+ABC=180ABC=FEC在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形例1.1.5为等腰直角三角形, ,点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，（1）如图1，作于，求证：；（2）在图1中，连接交于，求的值；（3）如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）不会；【解析】（1）如图1，为等腰直角三角形，为腰，. ，于在与中， 2分（2）如图2，由（

12、1）得，为等腰直角三角形，.在与中，.5分（3）如图3，当点在边上运动时，式子的值不会发生变化.过点作交于点.，.，.在与中，.为等腰直角三角形，在与中，.8分即当点在边上运动时，式子的值不会发生变化.随堂练习随练1.1（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：

13、如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状【答案】（1）见解析（2）成立（3）DEF是等边三角形【解析】（1）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBC

14、EA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF是等边三角形由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF为等边三角形随练1.2如图，在菱形ABCD中，ABC=60，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求ABC的面积；（2）如图2

15、，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）（2）见解析（3）成立【解析】（1）四边形ABCD是菱形，ABC=60，ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，BEAC，AE=AB=1，BE=，ABC的面积=ACBE=；（2）如图2，作EGBC交AB于G，ABC是等边三角形，AGE是等边三角形，BG=CE，EGBC，ABC=60，BGE=120，ACB=60，ECF=120，BGE=ECF，在BGE和ECF中，BGEECF，EB=EF；（3）成立，如图3，作EHB

16、C交AB的延长线于H，ABC是等边三角形，AHE是等边三角形，BH=CE，在BHE和ECF中，BHEECF，EB=EF随练1.3等腰RtABC中，ABC=90，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过点B作BHCF交CF于G，交AC于H（1）如图（1），延长BH到点E，连接AE，当EAB=90，AE=1，F为AB的三等分点，且BFAF时，求BE的长；（2）如图（2），若F为AB中点，连接FH，求证：BH+FH=CF；（3）如图（3），在AB上取点K，使AK=BF，连接HK并延长与CF的延长线交于点P，若G为CP的中点，请直接写出AH、BH、PG所满足的数量关系【答案】见解析【解析】（1）BHC

17、F，ABC=90，ABE+CFB=CFB+BCF=90，ABE=BCF，在ABE与BCF中，ABEBCF，BF=AE=1，F为AB的三等分点，且BFAF，AB=3BF=3，BE=；（2）证明：过点A作ADAB交BH的延长线于点DBAD=CBF=90，D+ABD=CFB+ABD=90，ABD=BCF，在ABD与BCF中，RtBADRtCBF，AD=BF，BD=CFF为AB的中点，AF=BF，AD=AF，在ADH与AFH中，AHDAHF，DH=FHBD=BH+DH=BH+FH，BH+FH=CF；（3）如图4，AH+BH=PG，理由是：过A作AMAB，交BH延长线于M，由（2）证得MABFBC，AM

18、=BF=AK，AMB=CFB，ABC是等腰直角三角形，CAB=45，MAB=90，MAH=45，MAH=CAB，在MAH与KAH中，MAHKAH，AMB=AKH，AKH=CFB，AKH=PKF，CFB=PFK，PKF=PFK，FCBH，G是PC中点，CH=PH，AHK=2P，在PFK中，PKF=90P，则90P+45+2P=180，解得P=30，在CH上取一点R，使RH=BH，连接BR，RHB=60，RHB是等边三角形，BH=BR=RH，CAB=ACB=45，AHB=18060=120，BRC=18060=120，ABH=RBC，在ABH与CBR中，ABHCBR，AH=CR，cos30=，CH

19、=CG，RH+RC=BH+AH=CG，PG=CG，BH+AH=CG随练1.4如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，将ABD绕A点逆时针旋转90，所得到的三角形为_，线段CF、BD所在直线的位置关系为_，线段CF、BD的数量关系为_；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由【答案】（1）ACF；垂直；相

20、等；成立（2）见解析【解析】（1）如图2所示，将ABD绕A点逆时针旋转90，所得到ACF，则由旋转的性质可得：ACF=B，CF=BD，AB=AC，BAC=90，B=ACB=45=ACF，BCF=90，即BDCF；如图3所示，当点D在BC的延长线上时，中的结论仍成立证明：由正方形ADEF得，AD=AF，DAF=90BAC=90DAF=BAC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC（SAS），CF=BD，ACF=ABDBAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF=90，即 CFBD；（2）如图4所示，当ACB=45时，CFBC 理由：过点A作AGAC交CB或CB

21、的延长线于点G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB=45，ACB=AGC，AC=AG，又DAG=FAC（同角的余角相等），AD=AF，GADCAF（SAS），ACF=AGC=45，BCF=ACB+ACF=45+45=90，即CFBC随练1.5已知四边形ABCD中，AB=AD，ABAD，连接AC，过点A作AEAC，且使AE=AC，连接BE，过A作AHCD于H交BE于F（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：ABCADE；BF=EF；（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】（1）如图1，AB

22、AD，AEAC，BAD=90，CAE=90，1=2，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS）；如图1，ABCADE，AEC=3，在RtACE中，ACE+AEC=90，BCE=90，AHCD，AE=AC，CH=HE，AHE=BCE=90，BCFH，=1，BF=EF；（2）结论仍然成立，理由是：如图2所示，过E作MNAH，交BA、CD延长线于M、N，CAE=90，BAD=90，1+2=90，1+CAD=90，2=CAD，MNAH，3=HAE，ACH+CAH=90，CAH+HAE=90，ACH=HAE，3=ACH，在MAE和DAC中，MAEDAC（ASA），AM=AD，AB=AD，AB=AM，AF

23、ME，=1，BF=EF随练1.6已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，CD=BC，DECE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；（2）如图2，若点D在ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MNAE；（3）如图3，将图2中的CDE绕点C逆时针旋转，使BCD=30，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索的值并直接写出结果【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）如图1中，连接ADAB=AC=4，BAC=90，B=ACD=45，BC=4，DC=BC=2，ED=EC，DEC=90，DE=EC

24、=2，DCE=EDC=45，ACE=90，在RTACE中，AE=2，AM=ME，CM=AE=（2）如图2中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长ED交AB于F在AMG和EMD中，AMGEMD，AG=DE=EC，MAG=MED，EFAG，BAG=BFE=180FBC（90ECB）=45+BCE=ACE，在ABG和CAE中，ABGCAE，ABG=CAE，CAE+BAE=90，ABG+BAE=90，AOB=90，BGAE，DN=NB，DM=MG，MNBG，MNAE（3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点FAMGEMD，AG=DE=EC，GAM=DE

25、M，AGDE，F=DEC=90，FAC+ACF=90，BCD+ACF=90，BCD=30，BAG=ACE=120，在ABG和CAE中，ABGCAE，BG=AE，BN=ND，DM=MG，BG=AE=2MN，FAC=BCD=30，设BC=2a，则CD=a，DE=EC=a，AC=a，CF=a，AF=a，EF=a，AE=a，MN=a，=自我总结 课后作业作业1如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和ABC重合放置，其中C=90，B=B=30，AC=AC=2（1）如图2，固定ABC，将ABC绕点C旋转，当点A恰好落在AB边上时，CAB=；旋转角=（090），线段AB与AC的位置关系是；设ABC的面积为

26、S1，ABC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是什么？证明你的结论；（2）如图3，MON=60，OP平分MON，OP=PN=4，PQMO交ON于点Q若在射线OM上存在点F，使SPNF=SOPQ，请直接写出相应的OF的长【答案】（1）60；60；平行；S1=S2（2）或【解析】（1）如图1，C=90，B=B=30，AC=AC=2，CAB=CAB=60，BC=2，如图2，ABC绕点C旋转，点A恰好落在AB边上，CAB=CAB=60，CA=CA，ACA为旋转角，CAA为等边三角形，ACA=60，即旋转角为60；CAB=ACA，ABAC；故答案为60；60；平行；S1=S2理由如下：ABAC，AEB

27、C，在RtCAE中，AE=CA=1，CE=AE=，S1=12=，S2=2=，S1=S2；（2）如图3，作PF1ON交OM于F1，作PF2OP交OM于F2，MON=60，OP平分MON，POQ=POF1=30，PQOM，PF1OQ，四边形OQPF1为平行四边形，PF1=OQ，SNF1P=SPOQ，OPF2=90，F2OP=30，OF2P=60，而F2F1P=MON=60，F2F1P为等边三角形，PF2=PF1，由（1）中的结论得SPNF2=SOPQ，点F1、点F2为满足条件的点，在RtOPF2中，sinPOF2=，OF2=，PF2=OF2=，PF1OQ，OPF1=POQ=30，OPF1=POF1

28、=30，OF1=PF1=PF2，OF1=，综上所述，OF的长为或作业2如图，在ABC中，AEBC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系；（不用证明）（2）如图，若将DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；你能求出BD与AC所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如果不能，请说明理由【答案】（1）结论：BD=AC，BDAC理由见解析.（2）不发生变化，理由

29、见解析；（3）BD=AC，理由见解析；能；BD与AC所成的锐角的度数为60【解析】（1）结论：BD=AC，BDAC理由：延长BD交AC于FAECBAEC=BED=90在AEC和BED中，AECBED，AC=BD，CAE=EBD，AEC=90，C+CAE=90，CBF+C=90，BFC=90，ACBD（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F理由是：BEA=DEC=90，BEA+AED=DEC+AED，BED=AEC，在BED和AEC中，BEDAEC，BD=AC，BDE=ACE，DEC=90，ACE+EOC=90，EOC=DOF，BDE+DOF=90，DFO=18090

30、=90，BDAC；（3）如图3中，结论：BD=AC，理由是：ABE和DEC是等边三角形，AE=BE，DE=EC，EDC=DCE=60，BEA=DEC=60，BEA+AED=DEC+AED，BED=AEC，在BED和AEC中，BEDAEC，BD=AC能；设BD与AC交于点F，由BEDAEC可知，BDE=ACE，DFC=180（BDE+EDC+DCF）=180（ACE+EDC+DCF）=180（60+60）=60，即BD与AC所成的锐角的度数为60作业3（1）阅读理解：如图，在ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连

31、接BE（或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD），把AB、AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_；（2）问题解决：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CFEF；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，B+D=180，CB=CD，BCD=140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明【答案】（1）2AD8（2）见解析（3）BE+DF=EF，理由见解析【解析】（1）延长AD至E，使DE=AD，

32、连接BE，如图所示：AD是BC边上的中线，BD=CD，在BDE和CDA中， ，BDECDA（SAS），BE=AC=6，在ABE中，由三角形的三边关系得：ABBEAEAB+BE，106AE10+6，即4AE16，2AD8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图所示：同（1）得：BMDCFD（SAS），BM=CF，DEDF，DM=DF，EM=EF，在BME中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM，BE+CFEF；（3）BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：ABC+D=180，NBC+ABC=180，NBC=D，在NBC和FDC中，

33、，NBCFDC（SAS），CN=CF，NCB=FCD，BCD=140，ECF=70，BCE+FCD=70，ECN=70=ECF，在NCE和FCE中， ，NCEFCE（SAS），EN=EF，BE+BN=EN，BE+DF=EF作业4在图1中，点A在边OB上，点D在边OC上，且ADBC将这样的图形定义为“A型”将OAD绕着点O旋转（090）得到新的图形（如图2），将图2中的四边形ABCD称为“准梯形”，AD称为上底，BC称为下底【新知学习】（1）若情境阅读中的OBC是等腰直角三角形，OB=OC，BOC=90，其余条件不变请说明图2中的OABODC在图1中，S四边形ABCD=SOBCSOAD，请探索图

34、2中的S四边形ABCD与图1中的S四边形ABCD的大小关系【变式探究】（2）如图3，四边形ABCD是由有一个角是60的“A型”通过旋转变换得到的“准梯形”，AD是上底，BC是下底，且AB=5，BC=8，CD=5，DA=2求这个“准梯形”的面积【迁移拓展】（3）如图4是由具有公共直角顶点的“A型”绕着直角定点旋转（090）得到的“准梯形”，斜边AD为上底，斜边BC为下底，且AB=3，BC=4，CD=6，AD=3求这个“准梯形”的面积【答案】（1）见解析；S四边形ABCD=S四边形ABCD；（2）15；（3）7【解析】（1）证明：如图2，ADBC，OB=OC，OA=OD，OA=OD，OB=OC，O

35、B=OC，AOB=DOC=，在OAB和ODC中，OABODCOABODC，SOAB=SODC，S四边形ABCD=SOBC+SODCSOABSOAD=（SOBCSOAD）+（SODCSOAB）=SOBCSOAD=S四边形ABCDS四边形ABCD=S四边形ABCD（2）如图3，连接OA、OB、OC、OD，设OA=OD，OB=OC，OA=OD，AOD=60，OA=OD=AD=2，OB=OC，BOC=60，OB=OC=BC=8，S四边形ABCD=SOBCSOAD=（8222）=60=15（3）如图4，连接OA、OB、OC、OD，OA=OB，OD=OC，BOC=90，BC=4，令0B=4，OC=8，则O

36、A=OB4=3，OD=OC=8=6，S四边形ABCD=SOBCSOAD=482362=169=7作业5在ABC中，B=45，C=30，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AGAD，在AG上取点F，连接DF延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF（1）若AB=2，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值【答案】（1）2+2；（2）证明见解析；（3）=【解析】（1）如图1中，过点A作AHBC于HAHB=AHC=90，在RTAHB中，AB=2，B=45，BH=ABcosB=2=2，AH=ABsinB=2，在

37、RTAHC中，C=30，AC=2AH=4，CH=ACcosC=2，BC=BH+CH=2+2（2）证明：如图1中，过点A作APAB交BC于P，连接PG，AGAD，DAF=EAC=90，在DAF和GAE中，DAFGAE，AD=AG，BAP=90=DAG，BAD=PAG，B=APB=45，AB=AP，在ABD和APG中，ABDAPG，BD=PG，B=APG=45，GPB=GPC=90，C=30，PG=GC，BD=CG（3）如图2中，作AHBC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M则AP=PC，在RTAHC中，ACH=30，AC=2AH，AH=AP，在RTAHD和RTAPG中，AHDAPG，DAH=GAP，GMAC，PA=PC，MA=MC，MAC=MCA=MAH=30，DAM=GAM=45，DAH=GAP=15，BAD=BAHDAH