第02讲 二次函数综合（二）(教师版)A4-精品文档整理.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 二次函数综合（二）知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数综合（二）知识精讲二次函数与三角形综合1二次函数与等腰三角形存在性问题：解题思路：先找后求 （1）找法：已知三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下：（2）求法：分类讨论；设出点坐标，利用两腰长相等，列方程求解2二次函数与直角三角形综合二次函数与直角三角形存在性问题：解题思路：先找后求（1）找法：已知直角三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： （2）求法：分类讨论；设出点坐标，利用勾股定理，列方程求解二二次函数与四边形综合动点与平行四边形存在性问

2、题常见模型： 1两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形（1）分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况（2）设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系式2三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形（1）分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点大三角：连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点（2）利用中点公式法，求出点坐标中点坐标公式：若，为坐标系内任意两点，则中点的坐标为中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标总结：二次函数

3、与四边形综合问题常用的解题方法是：设出动点坐标，然后用点的坐标表示线段长度，进而建立方程求出动点坐标三点剖析一 考点：二次函数与三角形，二次函数与四边形二重难点：二次函数与三角形，二次函数与四边形三易错点：二次函数与四边形综合问题最容易出现的问题就是分类讨论不彻底导致漏解，解题时务必审清题意，按照模型分类讨论函数与动点问题题模精讲题模一：二次函数与动点问题例1.1.1已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且ab（）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交点；（）直线与抛物线的另一个交点记为N（）若1a，求线段MN长度的取值范围

4、；（）求QMN面积的最小值【答案】见解析【解析】解：（）抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），a+a+b=0，即b=2a，y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a（x+）2，抛物线顶点Q的坐标为（，）；（）直线y=2x+m经过点M（1，0），0=21+m，解得m=2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0（*）=（a2）24a（2a+2）=9a212a+4，由（）知b=2a，且ab，a0，b0，0，方程（*）有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；（）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0，即x2+（1）x2+=0，（x1）x（

5、2）=0，解得x=1或x=2，N点坐标为（2，6），（i）由勾股定理可得MN2=（2）12+（6）2=+45=20（）2，1a，21，MN2随的增大而减小，当=2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，当=1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，线段MN长度的取值范围为5MN7；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，抛物线对称轴为x=，E（，3），M（1，0），N（2，6），且a0，设QMN的面积为S，S=SQEN+SQEM=|（2）1|（3）|=，27a2+（8S54）a+24=0（*），关于a的方程（*）有实数根，=（8S54）2427240，即（8S54）2（36）2，a0

6、，S=，8S540，8S5436，即S，当S=时，由方程（*）可得a=满足题意，当a=，b=时，QMN面积的最小值为例1.1.2以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（4，0），B（0，2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PEy轴于点E，设点P的纵坐标为a（1）求BC边所在直线的解析式；（2）设y=MP2+OP2，求y关于a的函数关系式；（3）当OPM为直角三角形时，求点P的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）A（4，0），B（0，2），OA=4，OB=2，四边形ABCD是菱形，OC=OA=4，OD=OB=2，C（4，0），D（0，2），设直线BC的解析

7、式为y=kx2，4k2=0，k=，直线BC的解析式为y=x2；（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），直线CD的解析式为y=x+2，由（1）知，直线BC的解析式为y=x2，当点P在边BC上时，设P（2a+4，a）（2a0），M（0，4），y=MP2+OP2=（2a+4）2+（a4）2+（2a+4）2+a2=2（2a+4）2+（a4）2+a2=10a2+24a+48当点P在边CD上时，点P的纵坐标为a，P（42a，a）（0a2），M（0，4），y=MP2+OP2=（42a）2+（a4）2+（42a）2+a2=10a240a+48，（3）当点P在边BC上时，即：0a2，由（2）知，P（2a+

8、4，a），M（0，4），OP2=（2a+4）2+a2=5a2+16a+16，PM2=（2a+4）2+（a4）2=5a28a+32，OM2=16，POM是直角三角形，易知，PM最大，OP2+OM2=PM2，5a2+16a+16+16=5a28a+32，a=0（舍）当点P在边CD上时，即：0a2时，由（2）知，P（42a，a），M（0，4），OP2=（42a）2+a2=5a216a+16，PM2=（42a）2+（a4）2=5a224a+32，OM2=16，POM是直角三角形，、当POM=90时，OP2+OM2=PM2，5a216a+16+16=5a224a+32，a=0，P（4，0），、当MPO=

9、90时，OP2+PM2=5a216a+16+5a224a+32=10a240a+48=OM2=16，a=2+（舍）或a=2，P（，2），即：当OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2），（4，0）例1.1.3如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P

10、是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）当y=0时，ax22ax3a=0，解得：x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0），对称轴为直线x=1；（2）直线l：y=kx+b过A（1，0），0=k+b，即k=b，直线l：y=kx+k，抛物线与直线l交于点A，D，ax22ax3a=kx+k，即ax2（2a+k）x3ak=0，CD=4AC，点D的横坐标为4，3=14，k=a，直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），则F（x，

11、ax+a），EF=ax22ax3aaxa=ax23ax4a，SACE=SAFESCEF=（ax23ax4a）（x+1）（ax23ax4a）x=（ax23ax4a）=a（x）2a，ACE的面积的最大值=a，ACE的面积的最大值为，a=，解得a=；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax22ax3a=ax+a，即ax23ax4a=0，解得：x1=1，x2=4，D（4，5a），抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），四边形ADPQ是矩形，ADP=90，AD2+PD2=AP2，52+

12、（5a）2+32+（265a）2=22+（26a）2，即a2=，a0，a=，P（1，）；若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，3a），m=5a（3a）=8a，则P（1，8a），四边形APDQ是矩形，APD=90，AP2+PD2=AD2，（11）2+（8a）2+（14）+（8a5a）2=52+（5a）2，即a2=，a0，a=，P（1，4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，）或（1，4）例1.1.4如图，已知抛物线y=ax22ax9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于

13、点M，N（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值【答案】见解析【解析】解：（1）C（0，3）9a=3，解得：a=令y=0得：ax22 x9a=0，a0，x22 x9=0，解得：x=或x=3点A的坐标为（，0），B（3，0）抛物线的对称轴为x=（2）OA=，OC=3，tanCAO=，CAO=60AE为BAC的平分线，DAO=30DO=AO=1点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a

14、1）2当AD=PA时，4=12+a2，方程无解当AD=DP时，4=3+（a1）2，解得a=0或a=2（舍去），点P的坐标为（，0）当AP=DP时，12+a2=3+（a1）2，解得a=4点P的坐标为（，4）综上所述，点P的坐标为（，0）或（，4）（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：m+3=0，解得：m=，直线AC的解析式为y=x+3设直线MN的解析式为y=kx+1把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，点N的坐标为（，0）AN=+=将y=x+3与y=kx+1联立解得：x=点M的横坐标为过点M作MGx轴，垂足为G则AG=+MAG=60，AGM=90，AM=2A

15、G=+2=例1.1.5抛物线y=x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）求直线BC的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P，使APB=ABC，利用图1求点P的坐标；（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较OCQ与OCA的大小，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）在y=x2+2x+3中，令y=0可得0=x2+2x+3，解得x=1或x=3，令x=0可得y=3，B（3，0），C（0，3），可设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=1，直线BC解析式为y=x+3；（2）OB=OC，ABC=45，y=x2+2x+3=（x1）2+4

16、，抛物线对称轴为x=1，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，APB=ABC=45，且PA=PB，PBA=67.5，DPB=APB=22.5，PBD=67.545=22.5，DPB=DBP，DP=DB，在RtBDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，PE=2+2，P（1，2+2）；当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，22；综上可知P点坐标为（1，2+2）或（1，22）；（3）设Q（x，x2+2x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QFy轴于点F，当OCA=OCQ时，则QECAOC，即，解得x=0（舍去）或x=5，当Q点横坐标为5时

17、，OCA=OCQ；当Q点横坐标大于5时，则OCQ逐渐变小，故OCAOCQ；当Q点横坐标小于5且大于0时，则OCQ逐渐变大，故OCAOCQ例1.1.6抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P

18、的坐标；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），解得，该抛物线对应的函数解析式为y=x2x+3；（2）点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，可设P（t，t2t+3）（1t5），直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，M（t，0），N（t，t+3），PN=t+3（t2t+3）=（t）2+联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，则CE=t，DF=7t，SPCD=SPCN+SPDN=PNCE+PNDF=PN= （t）2+=（t）2+，当t=时

19、，PCD的面积有最大值，最大值为；存在CQN=PMB=90，当CNQ与PBM相似时，有或两种情况，CQPM，垂足为Q，Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），CQ=t，NQ=t+33=t，P（t，t2t+3），M（t，0），B（5，0），BM=5t，PM=0（t2t+3）=t2+t3，当时，则PM=BM，即t2+t3=（5t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，）；当时，则BM=PM，即5t=（t2+t3），解得t=或t=5（舍去），此时P（，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，）或（，）随堂练习随练1.1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x24x+3与x轴交于点A、

20、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1x2x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）由y=x24x+3得到：y=（x3）（x1），C（0，3）所以A（1，0），B（3，0），设直线BC的表达式为：y=kx+b（k0），则，解得，所以直线BC的表达式为y=x+3；（2）由y=x24x+3得到：y=（x2）21，所以抛物线y=x24x+3的对称轴是x=2，顶点坐标是（2，1）y1=y2，x1+x2=4令y=1，y=x+3

21、，x=4x1x2x3，3x34，即7x1+x2+x38随练1.2如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（2，0），点C（8，0），与y轴交于点A（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系【答案】见解析【解析】解：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，二次函数的表达式为；（2）设点N的坐标为（n，0）（2n8），则BN=n+2，CN=8nB（2，0），C（8，0

22、），BC=10，在中令x=0，可解得y=4，点A（0，4），OA=4，SABN=BNOA=（n+2）4=2（n+2），MNAC，0，当n=3时，即N（3，0）时，AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，MNAC，M为AB边中点，OM=AB，AB=AC，OM=AC随练1.3如图，抛物线y=a（x1）（x3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设SBCD：SABD=k，求k的值；（3）当BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式【答案】见解析【解析】解：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，

23、C（0，3a），y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，D（2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=2a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，直线CD解析式为y=2ax+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，a），BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（a3a）2=4

24、+16a2，BD2=（32）2+a2=1+a2，BCDBCO90，BCD为直角三角形时，只能有CBD=90或CDB=90两种情况，当CBD=90时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x24x+3；当CDB=90时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x22x+；综上可知当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x24x+3或y=x22x+随练1.4如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx

25、+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）【答案】见解析【解析】解：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，

26、PC=，CPM为等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， 当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；当MC=PC时，则有=2，解得t=1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）； 当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=1+2或t=12，此时M（2，1+2）或（2，12）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+

27、EFBD=EFOB=3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大随练1.5如图，直线y=x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”请直接写出使得M，P，N

28、三点成为“共谐点”的m的值【答案】见解析【解析】（1）y=x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，0=2+c，解得c=2，B（0，2），抛物线y=x2+bx+c经过点A，B，解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y=x+2，M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，P（m，m+2），N（m，m2+m+2），PM=m+2，PA=3m，PN=m2+m+2（m+2）=m2+4m，BPN和APM相似，且BPN=APM，BNP=AMP=90或NBP=AMP=90，当BNP=90时，则有BNMN，BN=OM=m，即，解得m

29、=0（舍去）或m=2.5，M（2.5，0）；当NBP=90时，则有，A（3，0），B（0，2），P（m，m+2），BP=， AP=（3m），解得m=0（舍去）或m=，M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；由可知M（m，0），P（m，m+2），N（m，m2+m+2），M，P，N三点为“共谐点”，有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（m+2）=m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；当M为线段PN的中点时，则有m+2+（m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=1；当

30、N为线段PM的中点时，则有m+2=2（m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或1或随练1.6如图，已知抛物线y=ax2+c过点（2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得QBF的面积最大？若存在，求出

31、点Q的坐标及QBF的最大面积；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）把点（2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+1；（2）BF=BC理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），BF2=x2+（x2+12）2=x2+（x21）2=（x2+1）2，BF=x2+1，BCx轴，BC=x2+1，BF=BC；（3）如图1，m为自然数，则点P在F点上方，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，CB=CF=PF，而CB=FB，BC=CF=BF，BCF为等边三角形，BCF=60，OCF=30，在RtOCF中，CF=2OF=4，PF=CF=4，P（0，6），即

32、自然数m的值为6；（4）作QEy轴交AB于E，如图2，当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，解方程组得或，则B（1+，3+），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），EQ=t+2（t2+1）=t2+t+1，SQBF=SEQF+SEQB=（1+）EQ=（1+）（t2+t+1）=（t2）2+1，当t=2时，SQBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）随练1.7已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动设点P、点Q

33、的运动时间为t（s）（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；（2）当t=2s时，求tanQPA的值；（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式【答案】见解析【解析】解：（1）当t=1s时，则CP=2，OC=3，四边形OABC是矩形，P（2，3），且A（4，0），抛物线过原点O，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，解得，过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=x2+3x；（2）当t=2s时，则CP=22=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1

34、，AQ=OAOQ=42=2，且AP=OC=3，tanQPA=；（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，则CP=2t，OQ=t，BP=PCCB=2t4，AQ=OAOQ=4t，PCOA，PBMQAM，且BM=2AM，=2，解得t=3，当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；（4）当0t2时，如图3，由题意可知CP=2t，S=SPCQ=2t3=3t；当2t4时，设PQ交AB于点M，如图4，由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t4，AQ=4t，同（3）可得，BM=AM，3AM=AM，解得AM=，S=S四边形BCQM=S矩

35、形OABCSCOQSAMQ=34t3（4t）=243t；当t4时，设CQ与AB交于点M，如图5，由题意可知OQ=t，AQ=t4，ABOC，即，解得AM=，BM=3=，S=SBCM=；综上可知S=随练1.8在平面直角坐标系中，我们定义直线y=axa为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线y=x2x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为_，点A的坐标为_，点B的坐标为_；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将A

36、CM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）抛物线y=x2x+2，其梦想直线的解析式为y=x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，A（2，2），B（1，0），故答案为：y=x+；（2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作ADy轴于点D，在y=x2x+2中，令y=0可求得x=3或x=1，C（3，0），且A（2，2），AC=，

37、由翻折的性质可知AN=AC=，AMN为梦想三角形，N点在y轴上，且AD=2，在RtAND中，由勾股定理可得DN=3，OD=2，ON=23或ON=2+3，N点坐标为（0，23）或（0，2+3）；（3）当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，则有ACEF且AC=EF，ACK=EFH，在ACK和EFH中ACKEFH（AAS），FH=CK=1，HE=AK=2，抛物线对称轴为x=1，F点的横坐标为0或2，点F在直线AB上，当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，E到y轴的距离为EHOF=2=，即E点纵坐标为，E（1，）；当F点的横坐标为2时，则F

38、与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时，C（3，0），且A（2，2），线段AC的中点坐标为（2.5，），设E（1，t），F（x，y），则x1=2（2.5），y+t=2，x=4，y=2t，代入直线AB解析式可得2t=（4）+，解得t=，E（1，），F（4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（1，）、F（0，）或E（1，）、F（4，）随练1.9如图所示，顶点为（，）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k0）图

39、象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值 【答案】见解析【解析】（1）依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x）2（a0），将点M（2，0）代入可得：a（2）2=0，解得a=1故抛物线的解析式为：y=（x）2；（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x）2则对称轴为x=，点A与点M（2，0）关于直线x=对称，A（1，0）令x=0，则y=2，B（0，2）在直角OAB中，OA=1，OB=2，则AB=设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）直角AOG是等腰直角三角形，AGO=45点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k0，所以反比例函数y=（k0）图象位于点一、三

40、象限故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，过点D作DNy轴于点N，在直角BDN中，DBN=AGO=45，DN=BN=，D（，2），点D在反比例函数y=（k0）图象上，k=（2）=+；此菱形以AB为对角线，如图2，作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y=（k0）的图象于点D再分别过点D、B作DEx轴于点F，BEy轴，DE与BE相较于点E在直角BDE中，同可证AGO=DBO=BDE=45，BE=DE可设点D的坐标为（x，x2）BE2+DE2=BD2，BD=BE=x四边形ABCD是菱形，AD=BD=x在直角AD

41、F中，AD2=AF2+DF2，即（x）=（x+1）2+（x2）2，解得x=，点D的坐标是（，）点D在反比例函数y=（k0）图象上，k=，综上所述，k的值是+或自我总结 课后作业作业1如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SABC=SABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长【答案】见解析【解析】（1）抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（1，0），B（4，0），AB=5，OC=2，SABC=ABOC=52=5，SABC=SABD，SABD=5=，设D（x，y），AB|y|=5|y|=，解得|y|=3，当y=3时，由x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y=3时，由x2+x+2=3，解得x=2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，3）；（3）AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，AC=，BC=，