第01讲 圆的综合(一)(教师版)A4-精品文档整理.docx
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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名:年 级:辅导科目:学科教师:五块石1上课时间授课主题第01讲 圆的综合(一)知识图谱错题回顾顾题回顾圆的综合(一)知识精讲一 圆与函数1垂径定理定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧推论:(1)平分弦(非直径)的直径,垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧2切线的性质性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点:推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心注意事项:这个定理共有三个条件,即一条直线
2、满足:垂直于切线过切点过圆心过圆心,过切点垂直于切线过圆心,过切点,则过圆心,垂直于切线过切点过圆心,则过切点过切点,垂直于切线过圆心,过切点,则过圆心3切线的判定定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线二 圆的新定义所谓“圆的新定义问题”,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已学的圆的知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. “新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点. 在复习中应重视学生应用新的知识解决问
3、题的能力.三点剖析一 考点:圆与函数,圆的新定义二重难点:圆与函数,圆的新定义三易错点:1圆与一次函数:圆与一次函数的结合主要考虑到相切的情况求取值范围,利用垂径定理或者切线的性质和定理进行求解;2圆与二次函数:圆与二次函数基本上结合了二次函数和圆的性质,需要借助图像来进行分析;3圆与反比例函数:圆与反比例函数出现的较少,要注意到反比例函数的对称性,再结合圆的条件来进行分析解答圆与函数题模精讲题模一:圆与函数例1.1.1如图,P为正比例函数y=x图象上的一个动点,P的半径为3,设点P的坐标为(x,y)(1)求P与直线x=2相切时点P的坐标(2)请直接写出P与直线x=2相交、相离时x的取值范围【
4、答案】(1)点P的坐标为(5,)或(1,);(2)当1x5时,P与直线x=2相交,当x1或x5时,P与直线x=2相离【解析】(1)过P作直线x=2的垂线,垂足为A;当点P在直线x=2右侧时,AP=x2=3,得x=5;P(5,);当点P在直线x=2左侧时,PA=2x=3,得x=1,P(1,),当P与直线x=2相切时,点P的坐标为(5,)或(1,);(2)当1x5时,P与直线x=2相交当x1或x5时,P与直线x=2相离例1.1.2如图所示,扇形OAB的半径OA=r,圆心角AOB=90,点C是上异于A、B的动点,过点C作CDOA于点D,作CEOB于点E,点M在DE上,DM=2EM,过点C的直线PC交
5、OA的延长线于点P,且CPD=CDE(1)求证:DM=r;(2)求证:直线PC是扇形OAB所在圆的切线;(3)设y=CD2+3CM2,当CPO=60时,请求出y关于r的函数关系式【答案】(1)见解析(2)见解析(3)y=r2【解析】(1) 证明:连接OC,点C是上异于A、B的点,又CDOA于点D,CEOB于点E,ODC=OEC=AOB=90,四边形ODCE是矩形,DE=OCOC=OA=r,DE=r又DM=2EM,DM=DE=r;(2)证明:设OC与DE交于点F,则在矩形ODCE中,FC=FD,CDE=DCO,又CPD+PCD=90,CPD=CDE,DCO+PCD=90,即PCOC于点C,又OC
6、为扇形OAB的半径,PC是扇形OAB所在圆的切线;(3)过C作CHDE于点HOCD=CDH=CPO=60,在RtOCD和RtCDH中,得CD=OC=r,DH=CD=r,CH=r又MH=DM-DH=r-r=r,在RtCMH中,得CM2=MH2+CH2=(r)2+(r)2=r2,则y=CD2+3CM2,=(r)2+3r2=r2例1.1.3如图,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A,B两点(1)求出A,B两点的坐标;(2)有一开口向下的抛物线y=a(x-h)2+k经过点A,B,且其顶点在C上试确定此抛物线的表达式【答案】(1)A(1-,0),点B(+1,0)(2)y=
7、-(x-1)2+3=-x2+2x+2【解析】(1)过点C作CDAB,垂足为D,则CD=1,CA=CB=2,DB=DA=点A(1-,0),点B(+1,0);(2)延长DC,交C于点P由题意可知,P为抛物线的顶点,并可求得点P(1,3),h=1,k=3,设此抛物线的表达式为y=a(x-1)2+3,又抛物线过点B(+1,0),则0=a(+1-1)2+3,得a=-1,所以此抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3=-x2+2x+2例1.1.4如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的P总经过定点A(0,2)
8、(1)求a,b,c的值;(2)求证:在点P运动的过程中,P始终与x轴相交;(3)设P与x轴相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1x2)两点,当AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标【答案】(1)a=,b=c=0(2)见解析(3)0或4+2或4-2【解析】(1)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,抛物线的一般式为:y=ax2,=a()2,解得:a=,图象开口向上,a=,抛物线解析式为:y=x2,故a=,b=c=0;(2)设P(x,y),P的半径r=,又y=x2,则r=,化简得:r=x2,点P在运动过程中,P始终与x轴相交;(3)设
9、P(a,a2),PA=,作PHMN于H,则PM=PN=,又PH=a2,则MH=NH=2,故MN=4,M(a-2,0),N(a+2,0),又A(0,2),AM=,AN=,当AM=AN时,=,解得:a=0,当AM=MN时,=4,解得:a=22,则a2=42;当AN=MN时,=4,解得:a=-22,则a2=42;综上所述,P的纵坐标为0或4+2或4-2题模二:圆与新定义例1.2.1我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点(半圆与二次函数图象的连接点除外),那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点D,A
10、B为半圆直径,半圆圆心为点M,半圆与y轴的正半轴交于点CyCMAO B xD第25题图(1)求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式;(2)求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式;(3)已知点E是“蛋圆”上一点(不与点A、点B重合),点E关于x轴的对称点是F,若点F也在“蛋圆”上,求点E的坐标【答案】(1)(2)(3)或或或【解析】本题考察的是圆和二次函数的综合题解:(1)由题意得:,GC是M的切线,cos,直线GC的表达式为(2)设过点D的直线表达式为,或,或,过点D的“蛋圆”的切线的表达式为(3)假设点E在x轴上方的“蛋圆”上,设,则点F的坐标为EF与x轴交于点H,连接EM,点F在二次函数的图象上,
11、解由组成的方程组得:;(舍去)由对称性可得:;或或或例1.2.2在平面直角坐标系xOy中,定义点P(x,y)的变换点为P(x+y,xy)(1)如图1,如果O的半径为2,请你判断M(2,0),N(2,1)两个点的变换点与O的位置关系;若点P在直线y=x+2上,点P的变换点P在O的内,求点P横坐标的取值范围(2)如图2,如果O的半径为1,且P的变换点P在直线y=2x+6上,求点P与O上任意一点距离的最小值【答案】(1)变换点在O上;变换点在O外;P横坐标的取值范围为2x0;2x0(2)1【解析】(1)M(2,0)的变换点M的坐标为(2,2),则OM=2,所以点M(2,0)的变换点在O上;N(2,1
12、)的变换点N的坐标为(3,1),则ON=2,所以点N(2,1)的变换点在O外;设P点坐标为(x,x+2),则P点的变换点为P的坐标为(2x+2,2),则OP=,点P在O的内,2,(2x+2)24,即(x+1)21,1x+11,解得2x0,即点P横坐标的取值范围为2x0;(2)设点P的坐标为(x,2x+6),P(m,n),根据题意得m+n=x,mn=2x+6,3m+n=6,即n=3m+6,P点坐标为(m,3m+6),点P在直线y=3x+6上,设直线y=3x+6与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,过O点作OHAB于H,交O于C,如图2,则A(2,0),B(0,6),AB=2,OHAB=OAOB,O
13、H=,CH=1,即点P与O上任意一点距离的最小值为1例1.2.3在平面直角坐标系xOy中,C的半径为r(r1),P是圆内与圆心C不重合的点,C的“完美点”的定义如下:若直线CP与C交于点A,B,满足|PAPB|=2,则称点P为C的“完美点”,如图为C及其“完美点”P的示意图(1)当O的半径为2时,在点M(,0),N(0,1),T(,)中,O的“完美点”是_;若O的“完美点”P在直线y=x上,求PO的长及点P的坐标;(2)C的圆心在直线y=x+1上,半径为2,若y轴上存在C的“完美点”,求圆心C的纵坐标t的取值范围【答案】(1)N,T(,)或(,)(2)12t1+2【解析】(1)点M(,0),设
14、O与x轴的交点为A,B,O的半径为2,取A(2,0),B(2,0),|MAMB|=|(+2)(2)|=42,点M不是O的“完美点”,同理:点N,T是O的“完美点”故答案为N,T;如图1,根据题意,|PAPB|=2,|OP+2(2OP)|=2,OP=1若点P在第一象限内,作PQx轴于点Q,点P在直线上,OP=1,OQ=,PQ=P(,)若点P在第三象限内,根据对称性可知其坐标为(,)综上所述,PO的长为1,点P的坐标为(,)或(,)(2)对于C的任意一个“完美点”P都有|PAPB|=2,|CP+2(2CP)|=2CP=1对于任意的点P,满足CP=1,都有|CP+2(2CP)|=2,|PAPB|=2
15、,故此时点P为C的“完美点”因此,C的“完美点”是以点C为圆心,1为半径的圆设直线与y轴交于点D,如图2,当C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时,t的值最小设切点为E,连接CE,C的圆心在直线y=x+1上,此直线和x轴,y轴的交点C(0,1),F(,0),OF=,OD=1,CEOF,DOFDEC,DE=2t的最小值为12当C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时,t的值最大同理可得t的最大值为1+2综上所述,t的取值范围为12t1+2随堂练习随练1.1在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的O上,连接OC,过O点作ODOC,OD与O相交于点D(其中点C
16、、O、D按逆时针方向排列),连接AB(1)当OCAB时,BOC的度数为_;(2)连接AC,BC,当点C在O上运动到什么位置时,ABC的面积最大?并求出ABC的面积的最大值(3)连接AD,当OCAD时,求出点C的坐标;直线BC是否为O的切线?请作出判断,并说明理由【答案】(1)45或135;(2)第三象限的角平分线与圆的交点位置,9+18;(3)(-,);(4)相切【解析】(1)点A(6,0),点B(0,6),OA=OB=6,OAB为等腰直角三角形,OBA=45,OCAB,当C点在y轴左侧时,BOC=OBA=45;当C点在y轴右侧时,BOC=90+OBA=135;(2)OAB为等腰直角三角形,A
17、B=OA=6,当点C到AB的距离最大时,ABC的面积最大,过O点作OEAB于E,OE的反向延长线交O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,OE=AB=3,CE=OC+OE=3+3,ABC的面积=CEAB=(3+3)6=9+18当点C在O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,ABC的面积最大,最大值为9+18(3)如图,过C点作CFx轴于F,OCAD,COF=DAO,又ADO=CFO=90RtOCFRtAOD,=,即=,解得CF=,在RtOCF中,OF=,C点坐标为(-,);故所求点C的坐标为(-,)当C点坐标为(-,)时,直线BC是O的切线理由如下:在RtOCF中,OC=3
18、,CF=,COF=30,OAD=30,BOC=60,AOD=60,在BOC和AOD中,BOCAOD(SAS),BCO=ADO=90,OCBC,直线BC为O的切线;随练1.2如图,在平面直角坐标系中,点O1的坐标为(-4,0),以点O1为圆心,8为半径的圆与x轴交于A,B两点,过A作直线l与x轴负方向相交成60的角,且交y轴于C点,以点O2(13,5)为圆心的圆与x轴相切于点D(1)求直线l的解析式;(2)将O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移,当O2第一次与O1外切时,求O2平移的时间【答案】(1)y=-x-12(2)5秒【解析】(1)由题意得OA=|-4|+|8|=12,A点坐标为(-12
19、,0)在RtAOC中,OAC=60,OC=OAtanOAC=12tan60=12C点的坐标为(0,-12)设直线l的解析式为y=kx+b,由l过A、C两点,得,解得直线l的解析式为:y=-x-12(2)如图,设O2平移t秒后到O3处与O1第一次外切于点P,O3与x轴相切于D1点,连接O1O3,O3D1则O1O3=O1P+PO3=8+5=13O3D1x轴,O3D1=5,在RtO1O3D1中,O1D1=12O1D=O1O+OD=4+13=17,D1D=O1D-O1D1=17-12=5,t=5(秒)O2平移的时间为5秒随练1.3如图,O是O为圆心,半径为的圆,直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点(1
20、)若OA=OB求k;若b=4,点P为直线AB上一点,过P点作O的两条切线,切点分别为C、D,若CPD=90,求点P的坐标;(2)若k=-,且直线y=kx+b分O的圆周为1:2两部分,求b【答案】(1)k=-1P(1,3)或(3,1)(2)b=【解析】(1)由OA=OB,设A点坐标(a,0),则点B的坐标(0,a),把这两点代入直线的解析式y=kx+b得:,解得:k=-1由题意得,RtPOCRtPOD,CPO=DPO=CPD=45,OP=OC=R=,又直线的函数解析式y=-x+4,故设P点坐标(x,-x+4)OP=,解得:x=1或3P(1,3)或(3,1)(2)由题意得,当直线被切割的弦所对的圆
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