第01讲 四边形综合（一）(教师版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 四边形综合（一）知识图谱错题回顾顾题回顾四边形综合（一）知识精讲一平行四边形的判定1与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形二矩形的判定1有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；2对角线相等的平行四边形是矩形；3有三个角是直角的四边形是矩形三菱形的判定1有一组邻边相等的平行四边形叫做

2、菱形（定义）；2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3四条边都相等的四边形是菱形四正方形的判定1有一组邻边相等的矩形是正方形；2有一个角是直角的菱形是正方形；3对角线互相垂直的矩形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；6四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形五四边形的综合计算四边形的综合计算中常与勾股定理、相似三角形、三角函数结合起来，根据题目中的条件，灵活的选取合适的计算方法，综合性较强三点剖析一考点：1四边形的证明；2四边形的综合计算二重难点：1四边形的证明；2四边形的综合计算三易错点：题目中关键结论判断错误，四边形综合计算中容易出错题模精讲题

3、模一：四边形的证明例1.1.1已知，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AD、OA、BC、OC的中点（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当BC=AB时，判断四边形EFGH为何种特殊四边形，并证明【答案】（1）见解析（2）平行四边形EFGH为矩形【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，OD=OBE、F分别是AD、OA的中点，EF是AOD的中位线，EFOD同理得到GH是BOC的中位线，则GHOB，EFGH，四边形EFGH为平行四边形；（2）平行四边形EFGH为矩形理由如下：如图，连接EG点E、G是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，EGBC，且点O在线

4、段EG上，ABC=90BC=AB，tanACB=，ACB=30，OG=OC=OH，即OG=OH又由（1）知，四边形EFGH为平行四边形，2OG=2OH，即EG=FH，平行四边形EFGH为矩形例1.1.2ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时求证：AEBADC；探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到

5、什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由【答案】（1）见解析四边形BCGE是平行四边形（2）都成立（3）见解析【解析】证明：（1）ABC和ADE都是等边三角形，AE=AD，AB=AC，EAD=BAC=60又EAB=EADBAD，DAC=BACBAD，EAB=DAC，AEBADC（SAS）方法一：由得AEBADC，ABE=C=60又BAC=C=60，ABE=BAC，EBGC又EGBC，四边形BCGE是平行四边形方法二：证出AEGADB，得EG=AB=BCEGBC，四边形BCGE是平行四边形（2）都成立（3）当CD=CB （CAD=30或BAD=90或ADC=30）时，四边形BCGE是菱形理由

6、：方法一：由得AEBADC，BE=CD又CD=CB，BE=CB由得四边形BCGE是平行四边形，四边形BCGE是菱形方法二：由得AEBADC，BE=CD又四边形BCGE是菱形，BE=CBCD=CB方法三：四边形BCGE是平行四边形，BECG，EGBC，FBE=BAC=60，F=ABC=60F=FBE=60，BEF是等边三角形又AB=BC，四边形BCGE是菱形，AB=BE=BF，AEFGEAG=30，EAD=60，CAD=30例1.1.3以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由（2）当AB

7、C满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【答案】见解析【解析】（1）图中四边形ADEG是平行四边形理由如下：四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，AC=AG，AB=BD，BC=BE，GAC=EBC=DBA=90ABC=EBD（同为EBA的余角）在BDE和BAC中，BDEBAC（SAS），DE=AC=AG，BAC=BDEAD是正方形ABDI的对角线，BDA=BAD=45EDA=BDE-BDA=BDE-45，DAG=360-GAC-BAC-BAD=360-90-BAC-45=225-BACEDA+DAG=BDE-45+225

8、-BAC=180DEAG，四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）（2）当四边形ADEG是矩形时，DAG=90则BAC=360-BAD-DAG-GAC=360-45-90-90=135，即当BAC=135时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，DAG=90，且AG=AD由（2）知，当DAG=90时，BAC=135四边形ABDI是正方形，AD=AB又四边形ACHG是正方形，AC=AG，AC=AB当BAC=135且AC=AB时，四边形ADEG是正方形题模二：四边形的综合计算例1.2.1如图，在ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接EC、AF，AF与EC交于点

9、M，AF的延长线与DC的延长线交于点N（1）求证：AB=CN；（2）若AB=2n，BE=2MF，试用含n的式子表示线段AN的长【答案】（1）证明见解析；（2）3n【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABDN，B=FCN，BAF=N，F是BC的中点，BF=CF，在ABF和NCF中，ABFNCF（AAS），AB=CN；（2）ABDN，AEMNCM，AB=CN，且E是AB的中点，AB=2n，BE=2MF，BE=n，由ABFNCF，可得AF=FN，AN=3n例1.2.2如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE

10、点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60得到线段AM，连接FM（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=AM；（3）连接EM，若AEM的面积为40，请直接写出AFM的周长【答案】（1）5（2）见解析（3）3【解析】（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，OB=OD=BD，BD=24，OB=12，在RtOAB中，AB=13，OA=5（2）如图2，四边形ABCD是菱形，BD垂直平分AC，FA=FC，FAC=FCA，由已知AF=AM，MAF=60，AFM为等边三角形，M=AFM=60，点M，F，C三点在同

11、一条直线上，FAC+FCA=AFM=60，FAC=FCA=30，MAC=MAF+FAC=60+30=90，在RtACM中tanM=，tan60=，AC=AM（3）如图，连接EM，ABE是等边三角形，AE=AB，EAB=60，由（1）知AFM为等边三角形，AM=AF，MAF=60，EAM=BAF，在AEM和ABF中，AEMABF（SAS），AEM的面积为40，ABF的高为AOBFAO=40，BF=16，FO=BF-BO=16-12=4AF=，AFM的周长为3例1.2.3在正方形ABCD内作EAF=45，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AHEF，垂足为H（1）如图2，将ADF

12、绕点A顺时针旋转90得到ABG求证：AGEAFE；若BE=2，DF=3，求AH的长（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由【答案】（1）见解析AH=6（2）三者关系为：MN2=ND2+BM2，理由见解析【解析】（1）由旋转的性质可知：AF=AG，DAF=BAG四边形ABCD为正方形，BAD=90又EAF=45，BAE+DAF=45BAG+BAE=45GAE=FAE在GAE和FAE中 ，GAEFAEGAEFAE，ABGE，AHEF，AB=AH，GE=EF=5设正方形的边长为x，则EC=x2，FC=x3在RtEFC中，由勾股定

13、理得：EF2=FC2+EC2，即（x2）2+（x3）2=25得：x=6AB=6AH=6（2）如图所示：将ABM逆时针旋转90得ADM四边形ABCD为正方形，ABD=ADB=45由旋转的性质可知：ABM=ADM=45，BE=DMNDM=90NM2=ND2+DM2EAM=90，EAF=45，EAF=FAM=45在AMN和ANM中， ，AMNANMMN=NM又BM=DM，MN2=ND2+BM2随堂练习随练1.1如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形

14、？并证明你的结论；如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC中点，CEAD于E，BFAC，交CE的延长线与点F求证：AB垂直平分DF【答案】见解析【解析】本题考查了中位线知识，平行四边形和菱形的判断方法（1）由三角形中位线知识可得EF=GH，EFGH，四边形EFGH是平行四边形（2）要是菱形，只需增加相邻两边相等，如要得到EF=GF，由中位线知识，只须AB=CDFBAC，ACB=90FBC=90，由AC=BC、ACB=90DBA=45，AB是CBF平分线证明RtADCRtFBC，所以DB=FB，所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）（1）证明：E、F分别是AD、BD

15、中点，EFAB，EF=AB，同理GHAB，GH=AB，EF=GH，EFGH，四边形EFGH是平行四边形（2）当四边形ABCD满足AB=CD时，四边形EFGH是菱形证明：F、G分别是BD、BC中点，所以GF=CD，AB=CD，EF=GF又四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是菱形证明：ACB=90，RtADC中，1+2=90，ADCF，在RtEDC中，3+2=90，得：1=3FBAC，ACB=90，FBC=90，得：FBC是直角三角形AC=BC，1=3，FBC是直角三角形RtADCRtFBCCD=FB，已知CD=DB，可得：DB=FB由AC=BC、ACB=90，可得：4=45，AB是CBF

16、平分线所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）随练1.2如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明【答案】（1）证明：过F作FHBE，四边形ABCD为正方形，ABC=BCD=90，FHB=HBC=BCF=90，四边形BCFH为矩形，BH=CF，又BF=EF，BE=2BH，BE=2CF；（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：MNE

17、F，E+EBM=90，且EBM=ABN，ABN+E=90，BF=EF，E=EBF，ABN+EBF=90，又EBC=90，CBF+EBF=90，ABN=CBF，四边形ABCD为正方形，AB=BC，NAB=CBF=90，在ABN和CBF中ABNCBF（ASA），BF=BN，又由旋转可得EF=FG=BF，BN=FG，GFM=BME=90，BNFG，四边形BFGN为菱形【解析】（1）过F作FHBE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH=CF，且H为BE中点，可得BE=2CF；（2）由条件可证明ANBCFB，可得BN=BF，可得到BN=GF，且BNFG，可证得四边形BFGN为菱形（1）证明：过F

18、作FHBE，四边形ABCD为正方形，ABC=BCD=90，FHB=HBC=BCF=90，四边形BCFH为矩形，BH=CF，又BF=EF，BE=2BH，BE=2CF；（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：MNEF，E+EBM=90，且EBM=ABN，ABN+E=90，BF=EF，E=EBF，ABN+EBF=90，又EBC=90，CBF+EBF=90，ABN=CBF，四边形ABCD为正方形，AB=BC，NAB=CBF=90，在ABN和CBF中ABNCBF（ASA），BF=BN，又由旋转可得EF=FG=BF，BN=FG，GFM=BME=90，BNFG，四边形BFGN为菱形随练1.3如图，以的三边

19、为边在的同侧分别作三个等边三角形，即、，请回答下列问题，并说明理由（1）四边形是什么四边形；（2）当满足什么条件时，四边形是矩形；（3）当满足什么条件时，以，为顶点的四边形不存在【答案】（1）平行四边形（2）（3）【解析】（1）四边形是平行四边形理由： ，都是等边三角形， 在和中，又是等边三角形，同理可证：，四边形平行四边形（2）四边形是矩形，时，四边形是矩形（3）当时，以，为顶点的四边形不存在随练1.4已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：AF=DE；AFDE成立试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，

20、F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论【答案】（1）AFDE；（2）成立；（3）四边形MNPQ是正方形【解析】（1）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF

21、和DCE中，ADFDCE（SAS），AF=DE，DAF=CDE，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（2）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AF=DE，CDE=DAF，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（3）四边形MNPQ是正方形理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，四边形OHQG是平行四边形，A

22、F=DE，MQ=PQ=PN=MN，四边形MNPQ是菱形，AFDE，AOD=90，HQG=AOD=90，四边形MNPQ是正方形随练1.5RtABC与RtFED是两块全等的含30、60角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（2）取BC中点O，将ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中ABC位置，直线BC与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）【答案】见解析【解析】此题考查学生对平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，

23、菱形的判定等知识的综合运用（1）已知ABCFCB，根据全等三角形的性质可知AB=CF，AC=BF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论（2）根据已知利用AAS判定COQBOP，根据全等三角形的性质即可得到OP=OQ（3）根据对角线互相垂直的平行四边形的菱形进行分析即可（1）证明：ABCFCB，（1分）AB=CF，AC=BF（2分）四边形ABFC为平行四边形（3分）（用其它判定方法也可）（2）解：OP=OQ，（4分）理由如下：OC=OB，COQ=BOP，OCQ=PBO，COQBOP（6分）OQ=OP（7分）（用平行四边形对称性证明也可）（3）解：90理由：OP=OQ，OC=OB，

24、四边形PCQB为平行四边形，BCPQ，四边形PCQB为菱形（8分）随练1.6以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090），试用含的代数式表示HAE；求证：HE=HG；四边形EFGH是什么四边形？并说明理由【答案】（1）四边形EFGH的形状是正方形（2）90+见解析正方形【解析】（1

25、）四边形EFGH的形状是正方形（2）HAE=90+，在平行四边形ABCD中ABCD，BAD=180-ADC=180-，HAD和EAB是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360-HAD-EAB-BAD=360-45-45-（180-a）=90+，答：用含的代数式表示HAE是90+证明：AEB和DGC是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AE=DG，AHD和DGC是等腰直角三角形，HDA=CDG=45，HDG=HDA+ADC+CDG=90+=HAE，AHD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG答：四边形EFGH是正方形，理由是：由

26、同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG，GH=GF=EF=HE，四边形EFGH是菱形，HAEHDG，DHG=AHE，AHD=AHG+DHG=90，EHG=AHG+AHE=90，四边形EFGH是正方形随练1.7如图，在ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，AND=90，连接CM交DN于点O（1）求证：ABNCDM；（2）过点C作CEMN于点E，交DN于点P，若PE=1，1=2，求AN的长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，B=CDM，M、N分别是AD，BC的中点，BN=DM，在ABN和CDM中，ABNCDM（SAS）；（

27、2）M是AD的中点，AND=90，MN=MD= AD，1=MND，ADBC，1=CND，1=2，MND=CND=2，PN=PC，CEMN，CEN=90，END+CNP+2=180CEN=90又END=CNP=22=PNE=30，PE=1，PN=2PE=2，CE=PC+PE=3，CN=2，MNC=60，CN=MN=MD，CNM是等边三角形，ABNCDM，AN=CM=2随练1.8在菱形ABCD中，BAD=120，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设PAB=（1）依题意补全图1；（2）如图1，如果030，判断ABF与ADF的数量

28、关系，并证明；（3）如图2，如果3060，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系的思路；（可以不写出证明过程）（4）如果6090，直接写出线段DE，BF，DF之间的数量关系【答案】（1）见解析（2）ABF=ADF（3）DF=EDBF（4）BF=DE+DF【解析】（1）如图1所示：（2）ABF=ADF理由：如图2所示：连接AE点B与点E关于直线PA对称，EA=AB，ABF=AEF四边形ABCD为菱形，AB=ADAE=ADAEF=ADFABF=ADF（3）DF=EDBF理由：如图3所示：点B与点E关于PA对称，EF=BF又DF=EDEF，DF=EDBF（4）BF=DE+DF理由：如图4所示：点B

29、与点E关于PA对称，EF=BF又EF=ED+DF，BF=DE+DF随练1.9如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE（1）如图：求证AFD=EBC；（2）如图，若DE=EC且BEAF，求DAB的度数；（3）若DAB=90且当BEF为等腰三角形时，求EFB的度数（只写出条件与对应的结果）【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）EFB=30或120【解析】（1）证明：四边形ABCD为菱形，DC=CB，在DCE和BCE中，DCEBCE（SAS），EDC=EBC，DCAB，EDC=AFD，AFD=EBC；（2）DE=EC，EDC=ECD，设ED

30、C=ECD=CBE=x，则CBF=2x，由BEAF得：2x+x=90，解得：x=30，DAB=CBF=60；（3）分两种情况：如图1，当F在AB延长线上时，EBF为钝角，只能是BE=BF，设BEF=BFE=x，可通过三角形内角形为180得：90+x+x+x=180，解得：x=30，EFB=30；如图2，当F在线段AB上时，EFB为钝角，只能是FE=FB，设BEF=EBF=x，则有AFD=2x，可证得：AFD=FDC=CBE，得x+2x=90，解得：x=30，EFB=120，综上：EFB=30或120随练1.10已知菱形ABCD的边长为1，等边两边分别交DC、CB于点E、F（1）特殊发现：如图1

31、，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为P猜想验证：如图2，猜想的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值NBCDOCCABBAADDEFFEPGM图1图2图3【答案】（1）见详解（2）P落在对角线DB所在的直线上；2【解析】该题考察菱形综合（1）如图1：分别连结OE、OF四边形ABCD是菱形，且在RtAOD中，有又 E、F分别是边DC、

32、CB的中点，点O即为等边AEF的外心 - 3分（2）猜想：AEF的外心P落在对角线DB所在的直线上证明：如图2：分别连结PE、PA，作于Q，于H则，在四边形QDHP中，又点P是等边AEF的外心，PQEPHA（AAS）点P在的角平分线上菱形ABCD的对角线DB平分，点P落在对角线DB所在的直线上 - 6分 - 8分连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心如图3，设MN交BC于点G，设，则 BCDA，又由（1）知，GBPMDP（AAS），BCDA，NCGNDM，即，即随练1.11如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM

33、，AN分别交BD于点E，F，且MAN始终保持45不变（1）求证：=；（2）求证：AFFM；（3）请探索：在MAN的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMN=BAM？写出你的探索结论，并加以证明【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BAM=22.5【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABD=CBD=45，ABC=90，MAN=45，MAF=MBE，A、B、M、F四点共圆，ABM+AFM=180，AFM=90，FAM=FMA=45，AM=AF，=（2）由（1）可知AFM=90，AFFM（3）结论：BAM=22.5时，FMN=BAM理由：A、B、M、F四点共圆，BAM=EFM，B

34、AM=FMN，EFM=FMN，MNBD，=，CB=DC，CM=CN，MB=DN，在ABM和ADN中，ABMADN，BAM=DAN，MAN=45，BAM+DAN=45，BAM=22.5自我总结 课后作业作业1如图，过平行四边形ABCD的对角线BD的中点O作两条互相垂直的直线，且交AB、CD的延长线于点E，G，交BC，AD于点F，H，连接EF，FG，GH，EH（1）求证：BEODGO；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）平行四边形【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BEO=DGO，在BEO与DGO中，BEODGO；（2）由（1）证得BEODGO，

35、OE=OG，同理：BFODHO，OH=OF，四边形EFGH是平行四边形作业2如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BHAF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF（1）求证：OAEOBG；（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）试求：的值（结果保留根号）【答案】（1）见解析（2）四边形BFGE是菱形（3）1【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，OA=OB，AOE=BOG=90BHAF，AHG=90，GAH+AGH=90=OBG+AGH，GAH=OBG，即OAE=OBG在OAE与OBG中，OAEO

36、BG（ASA）；（2）四边形BFGE是菱形，理由如下：在AHG与AHB中，AHGAHB（ASA），GH=BH，AF是线段BG的垂直平分线，EG=EB，FG=FBBEF=BAE+ABE=67.5，BFE=90BAF=67.5BEF=BFE EB=FB，EG=EB=FB=FG，四边形BFGE是菱形；（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b四边形BFGE是菱形，GFOB，CGF=COB=90，GFC=GCF=45，CG=GF=b，（也可由OAEOBG得OG=OE=ab，OCCG=ab，得CG=b）OG=OE=ab，在RtGOE中，由勾股定理可得：2（ab）2=b2，求得 a=bAC=2a

37、=（2+）b，AG=ACCG=（1+）bPCAB，CGPAGB，=1，由（1）OAEOBG得 AE=GB，=1，即=1作业3已知：如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若A=120，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明【答案】（1）平行四边形；理由见解析（2）PC=3；证明见解析【解析】（1）四边形EFPG是平行四边形（1分）理由：点E、F分别是BC、PC的中点，EFBP（2分）同理可证EGPC（3分）四边形EFP

38、G是平行四边形（4分）（2）方法一：当PC=3时，四边形EFPG是矩形（5分）证明：延长BA、CD交于点MADBC，AB=CD，BAD=120，ABC=C=60M=60，BCM是等边三角形（7分）MAD=180-120=60，AD=DM=2CM=DM+CD=2+4=6（8分）PC=3，MP=3，MP=PC，BPCM即BPC=90度由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形，四边形EFPG是矩形（10分）方法二：当PC=3时，四边形EFPG是矩形（5分）证明：延长BA、CD交于点M由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形当四边形EFPG是矩形时，BPC=90度ADBC，BAD=120，ABC=60度AB=CD，C=ABC=60度PBC=30且BCM是等边三角形（7分）ABP=PBC=30，PC=PM=CM（8分）同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，PC=6=3即当PC=3时，四边形EFPG是矩形（10分）作业4如图，在四边形ABCD中，AC平分B