第02讲 三角形综合（二）(教师版)A4-精品文档整理.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 三角形综合（二）知识图谱错题回顾顾题回顾三角形综合（二）知识精讲一相似三角形1平行线类相似模型常见题模型如下：方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系等2角平分线类相似模型：方法点播：角平分线类相似问题基本就这样的四种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学习这部分知识时，涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决3三垂直类相似问题（1）三垂直相似：如下图，（

2、2）斜三垂直相似：如下图，当时，4内接矩形类相似模型：方法点播：如图，矩形是的内接矩形，则有:，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题5射影定理：（1）定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项说明：如上图，由，可得：由，可得：由，可得：（2）射影定理推广：若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立 如上图，当时，则有：，即：二解三角形1利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题；2利用直径所对圆周角为，构造直角三角形；3利用切线的性质求解线段长度三点剖析一考点：

3、1相似三角形几种模型的应用；2解直角三角形，与圆结合求解线段长度二重难点：1找到相似三角形的模型2圆中直径与所对圆周角的构造以及直角三角形选取的问题；3射影定理与锐角三角函数结合 三易错点：1相似三角形应用模型不正确； 2特殊三角函数值的三边比例对应关系1相似三角形几种模型的应用；2解直角三角形，与圆结合求解线段长度题模精讲题模一：相似三角形例1.1.1问题背景已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点（1）初步尝试 如图1，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，

4、E的运动速度相等 求证：HF=AH+CF 小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DGBC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在ABC中，ABC=90，ADH=BAC=30，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结

5、果，不必写解答过程）【答案】（1）HF=AH+CF；（2）=2；（3）【解析】（1）证明（选择思路一）：过点D作DGBC，交AC于点G，如图1所示：则ADG=B，AGD=ACB，ABC是等边三角形，A=B=ACB=60，ADG=AGD=A，ADG是等边三角形，GD=AD=CE，DHAC，GH=AH，DGBC，GDF=CEF，DGF=ECF，在GDF和CEF中，GDFCEF（ASA），GF=CF，GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF；（2）过点D作DGBC，交AC于点G，如图2所示：则ADG=B=90，BAC=ADH=30，HGD=HDG=60，AH=GH=GD，AD=GD，根据题意得：A

6、D=CE，GD=CE，DGBC，GDF=CEF，DGF=ECF，在GDF和CEF中，GDFCEF（ASA），GF=CF，GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，=2；（3，理由如下：过点D作DGBC，交AC于点G，如图3所示：则ADG=B，AGD=ACB，AB=AC，BAC=36，ACB=B=ADG=AGD=72，ADH=BAC=36，AH=DH，DHG=72=AGD，DG=DH=AH，ADGABC，ADGDGH，=m，=m，DGHABC，=m，=m，DGBC，DFGEFC，=m，=m，即=m，=，=例1.1.2如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，RtPEF的两条

7、直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N（1）操作发现：如图2，固定点P，使PEF绕点P旋转，当PMBC时，四边形PMCN是正方形填空：当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_；当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是_（2）猜想论证如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，RtPEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使PEF绕点P旋转，则=_（3）拓展探究如图4，当四边形ABCD满足条件：B+D=180，EPF=BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使PEF绕点P

8、旋转，请探究的值，并说明理由【答案】（1）a（2）（3）见解析【解析】（1）如图2，PMBC，ABBCPMCABC又AP=2PC=，即=PM=a，即正方形PMCN的边长是a当AP=nPC时（n是正实数），=PM=a四边形PMCN的面积=（a）2=（2）如图3，过P作PGBC于G，作PHCD于H，则PGM=PHN=90，GPH=90RtPEF中，FPE=90GPM=HPNPGMPHN=由PGAB，PHAD可得，AB=a，BC=b，即=（3）如图4，过P作PGAB，交BC于G，作PHAD，交CD于H，则HPG=DABEPF=BADEPF=GPH，即EPH+HPN=EPH+GPMHPN=GPMB+D

9、=180PGC+PHC=180又PHN+PHC=180PGC=PHNPGMPHN=由PGAB，PHAD可得，即由可得，=例1.1.3（1）如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于点D求证：AB2=ADAC；（2）如图，在RtABC中，ABC=90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F，求的值；（3）在RtABC中，ABC=90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BEAD于点E，交直线AC于点F若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明【答案】（1）见解析；（2）2；（3）=nn2【解析】（1）证明：如图，BDAC，ABC=90，A

10、DB=ABC，又A=A，ADBABC，AB2=ADAC（2）方法一：如图，过点C作CGAD交AD的延长线于点G，BEAD，CGD=BED=90，CGBF，AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，又BDE=CDG，BDECDG，ED=GD=EG由（1）可得：AB2=ADAE，BD2=DEAD，=4，AE=4DE，=2CGBF，=2方法二：如图，过点D作DGBF，交AC于点G，BD=DC=BC，AB=BCDGBF，=，FC=2FG由（1）可得：AB2=ACAD，BD2=DEAD，=4，DGBF，=4，=2（3）点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：（I）当点D在线段BC上时，如

11、图所示：过点D作DGBF，交AC边于点G，BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DCDGBF，=n，FG=nGC，FG=FC由（1）可得：AB2=AEAD，BD2=DEAD，=（n+1）2；DGBF，=（n+1）2，即=（n+1）2，化简得：=n2+n；（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图所示：过点D作DGBE，交AC边的延长线于点G同理可求得：=n2n；（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图所示：过点D作DGBF，交CA边的延长线于点G同理可求得：=nn2例1.1.4AD是ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=

12、xAB，AN=yAC （x，y0）（1）如图1，当ABC为等边三角形且=30时证明：AMNDMA；（2）如图2，证明：+=2；（3）当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M，交射线AC于点N，设AG=nAD，AM=xAB，AN=yAC（x，y0），猜想：+=是否成立？并说明理由【答案】（1）见解析（2）见解析（3）成立，证明见解析【解析】本题考查了相似三角形的综合题型此题涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等此题的难点在于辅助线的作法，解题时，需要认真的思考才能理清解题思路（1）利用“两角法”证得两个三角形相似；（2）如图1，过点C作CFAB交M

13、N于点F，构建相似三角形：CFNAMN，利用该相似三角形的对应边成比例求得=通过证CFDBMD得到BM=CF，利用比例的性质和相关线段的代入得到=，即+=2；（3）猜想：+=成立需要分类讨论：如图乙，过D作MNMN交AB于M，交AC的延长线于N由平行线截线段成比例得到=，易求x=，y=，利用（2）的结果可以求得+=；如图丙，当过点D作M1N1MN交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得+=（1）证明：如图1，在AMD中，AD是ABC的中线，ABC为等边三角形，ADBC，MAD=30，又=BDM=30，MDA=60AMD=90，在AMN中，AMN=90，MAN=60，AMN=DMA=90

14、，MAN=MDA，AMNDMA；（2）证明：如图甲，过点C作CFAB交MN于点F，则CFNAMN=易证CFDBMD，BM=CF，=，=，即+=2；（3）猜想：+=成立理由如下：如图乙，过D作MNMN交AB于M，交AC的延长线于N，则=n=，即x=，y=由（2）知+=2+=如图丙，当过点D作M1N1MN交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得题模二：解直角三角形例1.2.1如图，已知在ABP中，C是BP边上一点，PAC=PBA，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且交BP于点E（1）求证：PA是O的切线；（2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的

15、长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求O的半径及sinACE的值【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）sinACE=【解析】（1）证明：连接CD，AD是O的直径，ACD=90，CAD+ADC=90，又PAC=PBA，ADC=PBA，PAC=ADC，CAD+PAC=90，PAOA，而AD是O的直径，PA是O的切线；（2）解：由（1）知，PAAD，又CFAD，CFPA，GCA=PAC，又PAC=PBA，GCA=PBA，而CAG=BAC，CAGBAC，=，即AC2=AGAB，AGAB=12，AC2=12，AC=2；（3）解：设AF=x，AF：FD=1：2，FD=2x，

16、AD=AF+FD=3x，在RtACD中，CFAD，AC2=AFAD，即3x2=12，解得；x=2，AF=2，AD=6，O半径为3，在RtAFG中，AF=2，GF=1，根据勾股定理得：AG=，由（2）知，AGAB=12，AB=，连接BD，AD是O的直径，ABD=90，在RtABD中，sinADB=，AD=6，sinADB=，ACE=ACB=ADB，sinACE=例1.2.2我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用

17、它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题等等（1）如图，若B1B=30米，B1=22，ABC=30，求AC（精确到1）；（参考数据：sin220.37，cos220.92，tan220.40，1.73）（2）如图2，若ABC=30，B1B=AB，计算tan15的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5的值（注：若出现双重根式，则无需化简）【答案】（1）39（2）（3）【解析】（1）在RtABC中，tanABC=，则BC=AC，同理，B1C=，B1B=B1C-BC，-AC=30，解得：AC39（米）；（2）B1B=AB，B1=B1AB=ABC=15，设B1B=AB=x，在RtABC中，ABC=

18、30，AC=AB=x，BC=x，B1C=x+x，tan15=2-；（3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5角、15角和30角的直角三角形设AC=a，则AB=2a，BC=aB1B=AB=2a，B1C=2a+a=（2+）a在RtAB1C中，由勾股定理得：AB1=2a，B2B1=AB1=2a，B2C=B2B1+B1C=2a+（2+）atan7.5=tanAB2C=tan7.5=例1.2.3如图，在ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的A与边AC相交于点E，AFDE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE已知DE=10，求：（1）A的半径AD的长；

19、（2）EGC的余切值【答案】（1）13；（2）【解析】（1）在A中，AFDE，DE=10，DF=EF=DE=10=5在RtADF中，由cosDAF=，设AF=12k，AD=13k利用勾股定理，得AF2+DF2=AD2（12k）2+52=（13k）2解得：k=1AD=13（2）由（1），可知F=12k=12=，在A中，AD=AE又AB=AC，DEBCADEABC，EGC=FEG，AFDE，AGBC，AG=36AF=12，FG=AGAF=24在RtEFG中，cotFEG=即得cotEGC=例1.2.4如图，在O的内接ABC中，ACB=90，AC=2BC，过C作AB的垂线l交O于另一点D，垂足为E设

20、P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G（1）求证：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tanAFD=y，求y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及

21、圆，倾向于找接近圆的角DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得DPF=APC，则结论易证（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长，则PD可求（3）因为题目涉及AFD与也在第一问所得相似的PDF中，进而考虑转化，AFD=PCA，连接PB得AFD=PCA=PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示PBG所对的这条高线但是“此线是否过PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想验证得我们的猜想应是正确的

22、，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明HBG=PCA=AFD因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点根据等弧对等角，可得HBG=PCA，进而得解题思路（1）证明：ACB=90，AB是直径，又ABCD，. =，DPF=180-APD=180-所对的圆周角=180-所对的圆周角=所对的圆周角=APC在PAC和PDF中，PACPDF（2）解：如图1，连接PO，则由=，有POAB，且PAB=45，APO、A都为等腰直角三角形在RtABC中，AC=2BC，AB2=BC2

23、+AC2=5BC2，AB=5，BC=，AC=2，CE=ACsinBAC=AC=2=2， AE=ACcosBAC=AC=2=4，AEF为等腰直角三角形，EF=AE=4，FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO为等腰直角三角形，AO=AB=，AP=PDFPAC，=，=，PD=（3）解：如图2，过点G作GHAB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交O于Q，HCCB，GHGB，C、G都在以HB为直径的圆上，HBG=ACQ，C、D关于AB对称，G在AB上，Q、P关于AB对称，=，PCA=ACQ，HBG=PCAPACPDF，PCA=PFD=AFD，y=ta

24、nAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG=AG=AG，y=x随堂练习随练1.1如图1，正方形ADEF的顶点D、F在等腰直角ABC的边AB、AC上，正方形ADEF以点A为旋转中心逆时针旋转，旋转角为（090），连接BD、CF，在旋转过程中：（1）利用图2，求证：BD=CF；（2）如图3，延长BD交CF于点G求证：C，G，A，B四点在同一个圆上；若AB=4，AD=，=45，求线段CG的长【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图2，由旋转得：DAB=FAC，四边形ADEF是正方形，AF=AD，ABC是等腰直角三角形，AC=AB，AFCADB，BD=FC

25、；（2）如图3，同理可得：ADBAFC，ABD=ACF，CAB=90，ACB+ABD+CBG=90，ACB+ACF+CBG=90，BGC=90，BGC=BAC=90，C，G，A，B四点在同一个圆上，如图4，过D作DMAB于点M，DAB=45，ADM等腰直角三角形，AD=，AM=DM=1，AB=4，BM=ABAM=41=3，BD=，在RtAHB中，tanABH=，AH=，CH=4=，ABD=ACF，cosABD=cosACF，BGFC，HGC是直角三角形，CG=随练1.2已知：在ABC中，BC=2AC，DBC=ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E（1）如图1，当ACB=90时，则线段DE、C

26、E之间的数量关系为_；（2）如图2，当ACB=120时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，DKG和DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H若BH=10，求CE的长【答案】（1）DE=2CE；（2）见解析；（3）【解析】（1）DBC=ACB=90，DBC+ACB=180，ACBD，DBE=CAE又DEB=AEC，DBECAE，又BD=BC=2AC，DE=2CE；（2）证明：如图2，DBC=ACB=120，BD=BC，D=BCD=30，ACD=90，过点B作BMDC于M，则DM=MC，BM=BC，AC=BC，

27、BM=AC，在BME和ACE中BMEACE（AAS），ME=CE=CM，DE=3EC；（3）如图，过点B作BMDC于点M，过点F作FNDB交DB的延长线于点N，设BF=a，DBF=120，FBN=60，FN=a，BN=a，DB=BC=2BF=2a，DN=DB+BN=a，DF=a，AC=BC，BF=BC，BF=AC，BDFBCA（SAS），BDF=CBA，又BFG=DFB，FBGFDB，BF2=FGFD，a2=aFG，FG=a，DG=DFFG=a，BG=a，DKG和DBG关于直线DG对称，GDH=BDF，ABC=GDH，又BGF=DGH，BGFDGH，GH=a，BH=BG+GH=a=10，a=2

28、；BC=2a=4，CM=BCcos30=2，DC=2CM=4，DE=3EC，EC=DC=随练1.3已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DECF则_（填“”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当、满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若，则的值为_AEBCDFGAEBCGDFBGDFAEC【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】该题考查的是四边形综合（1） 1分四边形ABCD是矩形，即（2）当时，=成立 2分 如图，在的延长线上取点使，连接， 则ABCD， ADBC， ，即，

29、3分（3）的值为 5分过C作于N，交AB延长线于M，连接BD，设，四边形AMCN是矩形， 在和中，（SSS），在中，由勾股定理得：，解得（舍去），随练1.4（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变若AB=m，BC=n，试求的值；（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分FEG若AB=2，BC=4，求EG、EF的长【答案】（1）见解析（2）（3）EF=【解析】（1）

30、证明：如图1，过点E作EHBC于H，过点E作EPCD于P，四边形ABCD为正方形，CE平分BCD，又EHBC，EPCD，EH=EP，四边形EHCP是正方形，HEP=90，GEH+HEF=90，PEF+HEF=90，PEF=GEH，RtFEPRtGEH，EF=EG；（2）如图2，过点E作EMBC于M，过点E作ENCD于N，垂足分别为M、N，则MEN=90，EMAB，ENADCENCAD，CEMCAB， ，即，；（3）如图3，过点E作EMBC于M，过点E作ENCD于N，垂足分别为M、N，过点C作CPEG交EG的延长线于点P，过点C作CQEF垂足为Q，则四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，E

31、C平分FEG，CQ=CP，矩形EPCQ是正方形，QCP=90，QCG+PCG=90，QCG+QCF=90，PCG=QCF，在PCG和QCF中，PCGQCF（AAS），CG=CF，由（2）知：=，BC=4，AB=2，=2，EF=2EG，点E放在矩形ABCD的对角线交点，EM和EN分别是ABC和BCD的中位线，EM=AB=1，EN=AD=2，MC=，CN=，四边形EMCN是矩形，NEM=90，MEG+GEN=90，GEF=90，FEN+GEN=90，MEG=FEN，EMG=FNE=90，EMGENF，即NF=2MG，设MG=x，则NF=2x，CG=2x，CF=1+2x，CG=CF，2x=1+2x，

32、解得：x=，MG=，在RtEMG中，由勾股定理得：EG=，EF=2EG，EF=随练1.5ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（2），将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5【解析】（1）图（1）中与ADE相似

33、的有ABD，ACD，DCE证明：AB=AC，D为BC的中点，ADBC，B=C，BAD=CAD，又MDN=B，ADEABD，同理可得：ADEACD，MDN=C=B，B+BAD=90，ADE+EDC=90，B=MDN，BAD=EDC，B=C，ABDDCE，ADEDCE，（2）BDFCEDDEF，证明：B+BDF+BFD=180EDF+BDF+CDE=180，又EDF=B，BFD=CDE，由AB=AC，得B=C，BDFCED，BD=CD，又C=EDF，BDFCEDDEF（3）连接AD，过D点作DGEF，DHBF，垂足分别为G，HAB=AC，D是BC的中点，ADBC，BD=BC=6在RtABD中，AD

34、2=AB2BD2，AD=8SABC=BCAD=128=48SDEF=SABC=48=12又ADBD=ABDH，DH=，BDFDEF，DFB=EFDDGEF，DHBF，DH=DG=SDEF=EFDG=12，EF=5随练1.6如图，ABC与DEF是将ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）平移DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点（1）如图，ABC中，若AB=BC，且ABC=90，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图，ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，

35、请说明理由；（3）如图，ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论【答案】（1）EM=EN，证明见解析（2）成立，证明见解析（3）EM：EN=n：m【解析】本题通过图形的变换，考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识，同时也渗透了变中有不变的辩证思想，而运用等积法又是解决第三小题的关键，是一道好题（1）由四边形的内角和为360可以推出HEM=GEN，由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质可以推出EH=EG，从而可以证到HEMGEN，进而有EM=EG（2）借鉴（1）的证明方法同样可以证到EM=E

36、G（3）借鉴（2）中解题经验可以证到HEMGEN，从而有EM：EN=EH：EG由点E为AC的中点可得S AEB=S CEB，可证到EH：EG=BC：AB，从而得到EM：EN=BC：AB=n：m（1）EM=EN证明：过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，如答图所示则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENBA=BC，点E为AC中点，BE平分ABC又EHAB，EGBC，EH=EG在HEM和GEN中，HEM=GEN，EH=EG，EHM=EGN，HEMGENEM=EN（2）EM=EN仍然成立证明：过点E作E

37、GBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，如答图所示则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENBA=BC，点E为AC中点，BE平分ABC又EHAB，EGBC，EH=EG在HEM和GEN中，HEM=GEN，EH=EG，EHM=EGN，HEMGENEM=EN（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m证明：过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，如答图所示则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENHEM=GEN，EHM=

38、EGN，HEMGENEM：EN=EH：EG点E为AC的中点，S AEB=S CEBABEH=BCEGEH：EG=BC：ABEM：EN=BC：ABAB：BC=m：n，EM：EN=n：m随练1.7在ABC和DEC中，A=EDC=45，ACB=DCE=30，点DC在AC上，点B和点E在AC两侧，AB=5，=（1）求CE的长；（2）如图2，点F和点E在AC同侧，FAD=FDA=15求证：AB=DF+DE；连接BE，直接写出BEF的面积【答案】（1）2（2）见解析；【解析】（1）过点E作ENDC于点N，如图1所示：在ABC和DEC中，A=EDC，ACB=DCE，ABCDEC，AB=5，=25，DE=2在DEC中，EDC=45，DCE=30，DN=EN= ，CE=2EN=DE，CN=EN=，CE=2（2）证明