平面简谐波波动方程00001课件.pptx

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1、 三三 了解了解惠更斯原理和波的叠加原理惠更斯原理和波的叠加原理.理解理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；四四 理解理解驻波及其形成，了解驻波和行波的驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；区别；五五 了解了解机械波的多普勒效应及其产生的原机械波的多普勒效应及其产生的原因因.在波源或观察者沿二者连线运动的情况下，在波源或观察者沿二者连线运动的情况下，能计算多普勒频移能计算多普勒频移.六 了解电磁波的产生和电磁波的性质。1第2页/共63页第1页/共63页习题册习题册习题册习题册

2、 “振动振动振动振动”部分第部分第部分第部分第 1 1、5 5 题题题题 1.1.一倔强系数为一倔强系数为 k 的轻弹簧，下端挂一质量为的轻弹簧，下端挂一质量为 m 的物体，系统的振动周期为的物体，系统的振动周期为 T1，若将此弹簧截去若将此弹簧截去一半的长度一半的长度,下端挂一质量为下端挂一质量为 m/2 的物体的物体,则系统振则系统振动周期动周期 T2 等于等于 ，弹簧截去一半的长度，倔强系数变为 k2=2 k，下端挂一质量为 m/2 的物体，则系统振动周期 T2 为：选选 C C2第3页/共63页第2页/共63页 弹簧的弹性系数问题：一根弹簧，弹性系数为 k，把它截短以后，k 不是减小了

3、，而是增大了。为什么？因为我们知道胡克定律为：f =k x（力的大小），即 下面两根弹簧，本来材料、长度、弹性系数都是完全一样的，但是把其中的一根截短，加上相等的拉力 f，截短以后的弹簧伸长量要小于原来长度的弹簧的伸长量，弹性系数 k 增大了。原来弹簧截短后f x1fx23第4页/共63页第3页/共63页 5.5.有一个和轻弹簧相联的小球，沿有一个和轻弹簧相联的小球，沿 x 轴作振幅轴作振幅为为A 的谐振动，其表达式用余弦函数表达。若的谐振动，其表达式用余弦函数表达。若 t=0 时，球的运动状态为时，球的运动状态为 （1）x0=A；（2）过平衡位置向）过平衡位置向 X 正方向运动；正方向运动；

4、（3）过）过 x=A/2 处向处向X负方向运动；负方向运动；（4）过）过 x=处向处向X正方向运动。正方向运动。试用矢量图示法确定各相应的初位相的值。4第5页/共63页第4页/共63页 t=0 时，（1）x0=A；（2）过平衡位置，向 x 正方向运动；（3）过 x=A/2 处，向 x 负方向运动（4）过 x=处，向 x 正方向运动。5第6页/共63页第5页/共63页本本 章章 内内 容容13-1 机械波的基本概念 一、机械波产生的条件，二、横波与纵波，三、波线和波面，四、物体的弹性形变，五、波长 波的周期和频率 波速13-2 平面简谐波的波动方程 一、平面简谐波的波动方程，二、波动方程的物理意

5、义 三、沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波动方程，四、平面波波动方程的微分形式，五、例题13-3 波的能量13-4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射13-5 波的叠加原理 波的干涉13-6 多普勒效应 冲击波13-7 电磁波6第7页/共63页第6页/共63页波动是振动的传播过程波动是振动的传播过程.13131 1 机械波的基本概念机械波的基本概念 以水波为例，把一石头投到静止的水面上，就会见以水波为例，把一石头投到静止的水面上，就会见到在石头落下处的水发生振动。此处水的振动引起附近到在石头落下处的水发生振动。此处水的振动引起附近水面的振动，附近水面的振动又引起更远处水面的振动，水面的振动，附

6、近水面的振动又引起更远处水面的振动，这样水的振动就从石落处向外传播，形成水面波。这样水的振动就从石落处向外传播，形成水面波。7第8页/共63页第7页/共63页波动是振动的传播过程波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源振动是激发波动的波源.机械波：机械波：电磁波：电磁波：波动波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两两类类波波的的不不同同之之处处v机械波的传播需有机械波的传播需有传播振动的介质传播振动的介质;v电磁波的传播可电磁波的传播可不需介质不需介质.2能量传播能量传播2反射反射2折射折射2干涉干涉2衍射衍射两两类类波波的的共共同同特特征征v常见的机械波还常见的机械波还有

7、有绳波绳波和和声波声波等。等。13131 1 机械波的基本概念机械波的基本概念8第9页/共63页第8页/共63页波源波源介质介质+弹性作用弹性作用机机械械波波一 机械波的产生的条件产生产生条件条件：1、有做机械振动的物体，即波源；、有做机械振动的物体，即波源；2、有连续的介质、有连续的介质弹性介质弹性介质.波是运动状态的传播，介质的波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播质点并不随波传播.注意注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播.9第10页/共63页第9页/共63页横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.二二 横波与纵波横波与纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷.如绳波(机械横波仅在固

8、体中传播)、电磁波10第11页/共63页第10页/共63页纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部.p另外,生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,情况比较复杂11第12页/共63页第11页/共63页波场波场波传播到的空间。波传播到的空间。波面波面波场中同一时刻振动相位相同的点的轨迹。波场中同一时刻振动相位相同的点的轨迹。波前（波阵面）波前（波阵面）某时刻波源最初的振动状态某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。传到的波面。波线（波射线）波线（波射线）代表波的传播方向的射线。代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波

9、线恒与波面垂直各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。三三 波线和波面波线和波面12第13页/共63页第12页/共63页*球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波线波线13第14页/共63页第13页/共63页 弹性形变弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。完全恢复原状的形变。四四 物体的弹性形变物体的弹性形变1、容变容变 在弹性限度范围内，在弹性限度范围内，压强的改变

10、与容变应变压强的改变与容变应变的大小成正比的大小成正比14第15页/共63页第14页/共63页2 2、长变（固体中）、长变（固体中）在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比胁强胁强胁变胁变Y 称为杨氏弹性模量，有的书上用E 表示B 称为容变弹性模量15称为应变或胁变称为应力或胁强第16页/共63页第15页/共63页3、切变切变（固体中）（固体中）相对面发生相对滑移相对面发生相对滑移在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比16称为切变的应力或胁强称为切变的应变或胁变G 称为切变弹性模量第17页/共63页第16页/共63页五五 波长波长 波的

11、周期和频率波的周期和频率 波速波速2 波长波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为差为 2 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度的长度.OyAA-17第18页/共63页第17页/共63页2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要：波前进一个波长的距离所需要的时间的时间.2 频率频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目所传播的完整波的数目.2 波速波速 ：波动过程中，某一振动状态（即：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）振动相位）单位时间内

12、所传播的距离（相速）.注意注意周期或频率只决定于波源的振动周期或频率只决定于波源的振动周期或频率只决定于波源的振动周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！18第19页/共63页第18页/共63页波速 u 与介质的性质有关，为介质的密度.如声音的传播速度如声音的传播速度343 m/s 空气，常温空气，常温4000 m/s 左右，左右，混凝土混凝土横横 波波固体中：固体中：纵纵 波波液体、气体中：液体、气体中：切变切变模量模量杨氏弹性杨氏弹性模量模量容变容变模量模量19第20页/共63页第19页/共63页流体中传

13、播声速：对于理想气体，有 ,M,g g,R,T 分别为理想气体的摩尔质量，比热容比，普适气体常数，热力学温度。柔软细索和弦线中横波的传播速度：横波细索或弦线中张力细索或弦线单位长度的质量20第21页/共63页第20页/共63页 例例1 在室温下，已知空气中的声速在室温下，已知空气中的声速 u1 为为 340 m/s，水中的声速水中的声速 u2 为为 1450 m/s，求频率为，求频率为 200 Hz 和和 2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？的声波在空气中和水中的波长各为多少？在水中的波长解解由 ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中的波长21第22页/共63页第

14、21页/共63页解解（1）气体中纵波的速度）气体中纵波的速度由理想气体状态方程 例例2 假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程传播过程可看作绝热过程.（1）视空气为理想气体，试证声速视空气为理想气体，试证声速 与压强与压强 的关的关系为系为 ，与温度，与温度 T 的关系为的关系为 .式中式中 为气体摩尔热容之比，为气体摩尔热容之比，为密度，为密度，R 为摩尔气体常为摩尔气体常数，数，M 为摩尔质量为摩尔质量.22第23页/共63页第22

15、页/共63页解解（2）由（）由（1）例例2 假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程传播过程可看作绝热过程.（1）视空气为理想气体，试证声速视空气为理想气体，试证声速 与压强与压强 的关的关系为系为 ，与温度，与温度 T 的关系为的关系为 .暗暗（2）求求0 和和20 时时,空气中的声速空气中的声速.（空气（空气）23第24页/共63页第23页/共63页24第25页/共63页第24页/共63页 13-2 13-2 平面简谐波的波动方程平面

16、简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义三、沿三、沿 x轴负方向传播的平面简谐波的波动方程轴负方向传播的平面简谐波的波动方程四、平面波波动方程的微分形式四、平面波波动方程的微分形式五、例题五、例题25第26页/共63页第25页/共63页各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波简谐运动时，在介质中所形成的波.一一 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 平面简谐波：波面为平

17、面的简谐波.13132 2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 波动方程波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。变化关系。26第27页/共63页第26页/共63页点点O 的振动状态的振动状态点点 Pt 时刻点时刻点 P 的运动的运动t-x/u时刻点时刻点O 的运动的运动 以速度以速度u 沿沿 x 轴正向传播的轴正向传播的平面简谐波平面简谐波.令令原点原点O 的初相为的初相为零，其振动方程零，其振动方程 点点P 振动方程振动方程时间推时间推迟方法迟方法27第28页/共63页第27页/共63页点点 P 比点比点 O 落后落后的相位的相位点点 P 振动

18、方程振动方程:点点 O 振动方程振动方程 波动方程波动方程P*O相位落后法28第29页/共63页第28页/共63页点点 O 振动方程振动方程 O 如果原点的初相位不为零 波动方程:29第30页/共63页第29页/共63页波动方程的其它形式：波动方程的其它形式：波动方程:根据根据等公式，上面波动方程也可以写成等公式，上面波动方程也可以写成30第31页/共63页第30页/共63页质点的振动速度，加速度：质点的振动速度，加速度：注意振动速度注意振动速度 v 和波的传播速度和波的传播速度 u 的区别的区别 波动方程:31第32页/共63页第31页/共63页二二 波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1

19、 当当 x 固定时，固定时，波函数表示该点的简谐振动波函数表示该点的简谐振动方程，并给出该点与方程，并给出该点与 O点振动的相位差点振动的相位差.（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）32第33页/共63页第32页/共63页波线上各点的简谐振动图波线上各点的简谐振动图33第34页/共63页第33页/共63页（波具有空间的周期性）2 当当 一定时，波动方程表示该时刻波线上各一定时，波动方程表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差波程差34第35页/共63页第34页/共63页O O 3 若若 均变化，波动方程表示波形沿传播均变化，波动

20、方程表示波形沿传播方向的运动情况（行波）方向的运动情况（行波）.时刻时刻时刻时刻35第36页/共63页第35页/共63页P点的相位比点的相位比 O点点超前了超前了点点 P 振动方程振动方程点点 O 振动方程振动方程 P*O相位落后法：三三 沿沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波动方程轴负方向传播的平面简谐波的波动方程36第37页/共63页第36页/共63页 如果原点的初位相不为零，j 0，波动方程为同样也可以写成其它形式：同样也可以写成其它形式：所以，沿 x 轴负方向传播的波动方程为：37第38页/共63页第37页/共63页 对对 求求x、t 的二阶偏导数的二阶偏导数,得到得到 任何物理量任何

21、物理量 y，若它与时间、坐标间的关系满足，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。上式，则这一物理量就按波的形式传播。平面波的波动微分方程四四 平面波波动方程的微分形式平面波波动方程的微分形式38第39页/共63页第38页/共63页五五 例题例题39第40页/共63页第39页/共63页 例例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和波速.解解：方法一（比较系数法）：方法一（比较系数法）.波动方程标准形式为波动方程标准形式为把题中波动方程改写成把题中波动方程改写成比较得比较得40第41页/共63页第40页/共63页解解：方法二（由各物理量的定

22、义解之）：方法二（由各物理量的定义解之）.周期周期为相位传播一个波长所需的时间为相位传播一个波长所需的时间波长波长是指同一时刻是指同一时刻 ,波线上相位差为波线上相位差为 的两点间的距离的两点间的距离.例例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和波速.41第42页/共63页第41页/共63页 例例2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，轴正方向传播，已知振已知振幅幅 A=1.0 m，T=2.0 s，=2.0 m.在在 t=0 时坐标原点时坐标原点处的质点位于平衡位置沿处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动轴正方向运动.求求 1）波动方程波动

23、方程 解解 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式Ot=0 时时 x=0 处处42第43页/共63页第42页/共63页2）求求 t=1.0 s 波形图波形图.t=1.0 s波形方程o2.01.0-1.0 时刻波形图43第44页/共63页第43页/共63页 3）x=0.5 m 处质点的振动规律并做图处质点的振动规律并做图.x=0.5 m 处质点的振动方程处质点的振动方程01.0-1.02.0O1234*1234x=0.5 m处质点的振动曲线处质点的振动曲线1.044第45页/共63页第44页/共63页 例例3 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播沿直线传播,波线上点波线上点 A 的

24、简谐振动方程的简谐振动方程 1）以以 A 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程A=310-2 m,T=0.5 s,=0,=uT=10 mABCD5m9m8m45第46页/共63页第45页/共63页2）以以 B 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m46第47页/共63页第46页/共63页 3）写出传播方向上点写出传播方向上点C、点点D 的简谐振动方程的简谐振动方程ABCD5m9m8m点点 C 的相位比点的相位比点 A 超前超前点点 D 的相位落后于点的相位落后于点 A 47第48页/共63页第47页/共63页4）分别求出分别求出 BC，CD 两点间的相

25、位差两点间的相位差ABCD5m9m8m48第49页/共63页第48页/共63页 1）给出下列波动方程所表示的波的给出下列波动方程所表示的波的传播方向传播方向和和 x=0 点的初相位点的初相位.2）平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为 式中式中 为正常数，求波长、波速、波传播方为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为向上相距为 的两点间的相位差的两点间的相位差.讨讨 论论向向x 轴轴正正向传播向传播向x 轴负向传播49第50页/共63页第49页/共63页 3）如图简谐如图简谐波以余弦函数表示，波以余弦函数表示，求求 O、a、b、c 各点各点振动振动初相位初相位.Oabct=T/4t=0OO

26、OO50第51页/共63页第50页/共63页作业题作业题51第52页/共63页第51页/共63页 例4 一平面简谐波以波速 u=200 ms-1 沿 x 轴正方向传播,在 t=0 时刻的波形如图所示。(2)求 t=0.1 s,x =10 m 处质点的位移、振动速度和加速度。u=200ms-1t=0 时波形(1)求 o 点的振动方程与波动方程；y123450.02o(m)(m)xA解：52第53页/共63页第52页/共63页(1)O 点振动方程(2)t=0.1 s,x=10 m 处质点位移速度加速度波动方程u=200ms-1t=0 时波形y123450.02o(m)(m)x53第54页/共63页

27、第53页/共63页例5 频率为 =12.5 kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为Y=1.9 1011 N/m2，棒的密度 =7.6 103 kg/m3。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A=0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3)离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021 s时的波形。解解 棒中的波速棒中的波速 波长波长 54第55页/共63页第54页/共63页周期周期(1)(1)原点处质点的振动表式原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos

28、(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m(2)(2)波动表式波动表式式中式中x 以以m计计，t 以以s 计计。(3)(3)离原点离原点10cm处质点的振动表式处质点的振动表式 55第56页/共63页第55页/共63页可见此点的振动相位比原点落后，相位差为可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。(4)(4)该两点间的距离该两点间的距离 ，相应，相应的相位差为的相位差为 (5)(5)t=0.0021s时的波形为时的波形为 式中式中x以以m计。计。56第57页/共63页第56页/共63页例6 一横波沿一弦线传播。设已知t=0时的波形曲线如

29、下图中的虚线所示。弦上张力为3.6N，线密度为25g/m，求(1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点的最大速率，(6)图中a、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲线。t=057第58页/共63页第57页/共63页解解 由波形曲线图可看出：由波形曲线图可看出：(3)(3)由波速公式计算出由波速公式计算出(2)(2)=40cm；(1)(1)A=0.5cm；(4)(4)波的周期波的周期 58第59页/共63页第58页/共63页(5)(5)质点的最大速率质点的最大速率 (6)(6)a、b两点相隔半个波长，两点相隔半个波长，b点处质点比点处质点比a点处质点点处质点的相位

30、落后的相位落后。(7)(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰时的波形如下图中实线所示，波峰M1和和M2已已分别右移分别右移 而到达而到达 和和 处。处。t=3T/459第60页/共63页第59页/共63页作作 业业17，18，20，21，2260第61页/共63页第60页/共63页例例1、一平面简谐波的波动表达式为、一平面简谐波的波动表达式为 求：求：1）该波的波速、波长、周期和振幅；）该波的波速、波长、周期和振幅；2）x=10m处质点的振动方程及该质点在处质点的振动方程及该质点在t=2s时的振动速度；时的振动速度；3）x=20m,60m两处质点振动的相位差。两处质点振动的相位差。解：解

31、：1）将波动表达式写成标准形式）将波动表达式写成标准形式 得得 振幅振幅 A=0.01m 波长波长 =20m 周期周期 T=1/5=0.2s 波速波速 u=/T=20/0.2=100ms-1 备用备用61第62页/共63页第61页/共63页2）将）将x=10m代入波动表示，则有代入波动表示，则有 该式对时间求导，得该式对时间求导，得 将将t=2s代入得振动速度代入得振动速度 v=0 3）x=20m,60m两处质点振动的相位差为两处质点振动的相位差为 例例1、一平面简谐波的波动表达式为、一平面简谐波的波动表达式为 求：求：1）该波的波速、波长、周期和振幅；）该波的波速、波长、周期和振幅；2）x=10m处质点的振动方程及该质点在处质点的振动方程及该质点在t=2s时的振动速度；时的振动速度；3）x=20m,60m两处质点振动的相位差。两处质点振动的相位差。备用备用62第63页/共63页第62页/共63页63感谢您的观看。第63页/共63页