历史上的三次数学危机课件.ppt

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1、 历史上的三次数学危机历史上的三次数学危机 1 历史上，数学的发展有顺利也有曲历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机，危机也意折。大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是机，都是数学的基本部分数学的基本部分受到质疑。实际受到质疑。实际上，也恰恰是这上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上三次危机，引发了数学上的三次思想解放的三次思想解放，大大推动了数学科学的，大大推动了数

2、学科学的发展。发展。2 一、第一次数学危机一、第一次数学危机 第一次数学危机是由第一次数学危机是由 不能写成两不能写成两个整数之比引发的，我们在第一章已专个整数之比引发的，我们在第一章已专门讨论过，现再简要回顾一下。门讨论过，现再简要回顾一下。3 这一危机发生在公元前这一危机发生在公元前5世纪，危机世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现数比，但突然发现 不能表为整数比。不能表为整数比。其实质是：其实质是：是无理数，全体整数之比构是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。

3、添加无理数。4 当时古希腊的欧多克索斯部分地解决当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于于“两个量之比两个量之比”的新说法，回避了的新说法，回避了 是无是无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采用了这一说法，得的几何原本中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。乎

4、是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在但是彻底解决这一危机是在19世纪，世纪，依赖实数理论的建立。依赖实数理论的建立。5 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿出的，是对牛顿“无穷小量无穷小量”说法的质疑说法的质疑引起的。引起的。6 1危机的引发危机的引发 1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的

5、微积分是一项划时代的科学成牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的在某一时刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只。在牛顿之前，只能求一段时间内的能求一段时间内的平均速度平均速度，无法求某一，无法求某一时刻的瞬时速度。时刻的瞬时速度。7 牛顿的思路是：让时间从牛顿的思路是：让时间从 到到 ，这段时间记作这段时间记作 ，而这段时间里，而这段时间里物体走过的距离记作物体走过的距离记作 。比值。比值 便是便

6、是 到到 这段时间内物体的平均速度。牛顿这段时间内物体的平均速度。牛顿设想：设想：越小，这个平均速度应当越接近越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻物体在时刻 的瞬时速度。当的瞬时速度。当 越来越越来越小（当然小（当然 也越来越小），最后成为无也越来越小），最后成为无穷小，穷小，将要变成将要变成0而还不是而还不是0的时候的时候，两个，两个无穷小之比无穷小之比 ,就是所要求的就是所要求的瞬时速度瞬时速度。8 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距下落的距离为离为 ，有公式，有公式 ，其中，其中 是固是固定的重力加速度。我们要求物体在定的重力加速度。我们要求物体在 的的瞬时速度，先

7、求瞬时速度，先求 。（*）9 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到指责。到指责。10 2）贝克莱的发难）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。击牛顿的理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个量

8、，作为一个量，究竟是不是究竟是不是0？11 如果是如果是0，（，（*）式左端当）式左端当 和和 变变成无穷小后分母为成无穷小后分母为0，就没有意义了。，就没有意义了。如果不是如果不是0，（，（*）式右端的）式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。在推出（在推出（*）式时，假定了）式时，假定了 才能做才能做除法，所以（除法，所以（*）式的成立是以）式的成立是以 为前提为前提的。那么，为什么又可以让的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时而求得瞬时速度呢？速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从同从 出发，两端同除以出发，两端同除以0，得出，得出5=3一样的荒谬。

9、一样的荒谬。12 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和和 都变都变成成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不了，而无穷小作为一个量，既不是是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学牛顿及他以后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。13 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是

10、击中要害的。应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。“无穷小无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清严格说清“无穷小无穷小”的方法。数学家们相信它，的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现，那样鼓果总是对的。特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指

11、责。这表明，在大多数人的脑海里，这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验实践是检验真理的唯一标准。真理的唯一标准。”14 2危机的实质危机的实质 第一次数学危机的实质是第一次数学危机的实质是“不是不是有理数，而是无理数有理数，而是无理数”。那么第二次数学。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是危机的实质是什么？应该说，是极限的极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。15 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之所走的无穷小距离与所用

12、的无穷小时间之比比”的时候，这种说法本身就是不明确的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓所谓“最终的比最终的比”，就是分子、分母要成，就是分子、分母要成为为0还不是还不是0时的比时的比例如（例如（*）式中的）式中的gt，它不是，它不是“最终的量的比最终的量的比”，而是，而是“比比所所趋近的极限趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这这个个词，但并没有明确说清这个词的意思。词，但并没有明确说清这个词的意思。16 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积

13、分，但是也没有明确给出极限的定义。积分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后一百年间的数学正因为如此，此后一百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数引发的第二次数学学危机，危机，实质上是缺少严密的极限概念和极实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。限理论作为微积分学的基础。17 3危机的解决危机的解决 1）必要性）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。学家

14、的一块心病。18 而且，随着时间的推移，研究范围的而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。数收敛的问题）。19 因此，进入因此，进入19世纪时，一方面微积世纪时，一方面微积分取得的成就超出人们的预料，另一方分取得的成就超出人们的预料，另

15、一方面，大量的数学结构没有正确的牢固的逻面，大量的数学结构没有正确的牢固的逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确无辑基础，因此不能保证数学结论是正确无误的。误的。历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。20 2）严格的极限理论的建立）严格的极限理论的建立 到到19世纪，一批杰出数学家辛勤、世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。21 在在18世纪时，人们已经建立了极世纪时，

16、人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。限理论，但那是初步的、粗糙的。达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出，必须用年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。理论。但他本人未能提供这样的理论。19世纪初，捷克数学家波尔查诺世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的开始将严格的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论一书中包含许多真知灼无穷的悖论一书中包含许多真知灼见。见。22 而做出决定性工作、可称为分析而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是学的奠基人的是法国数学家柯西法国数学家柯西（A.L.Ca

17、nchy,17891857）。他在）。他在18211823年间出版的年间出版的分析教程和无穷小分析教程和无穷小计算讲义计算讲义是数学史上划时代的著作。他是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在课本上的差不太的收敛性，已与我们现在课本上的差不太多了。多了。23 3）严格的实数理论的建立）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的限

18、理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。24 一件事是，一件事是，1874年年德国数学家魏尔斯特拉德国数学家魏尔斯特拉斯斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）构造）构造了一个了一个“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。“连续函数连续函数”在直观上是函数曲线没有间断，在直观上是函数

19、曲线没有间断，连在一起，而连在一起，而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是函数曲线在该点有切线。所以在直观上连续函数曲线在该点有切线。所以在直观上连续与可导有密切的联系。与可导有密切的联系。这之前甚至有人还证明过：函数在连续点这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。根本不可想象上都可导（当然是错误的）。根本不可想象还会有还会有“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。25 魏尔斯特拉斯的例子是魏尔斯特拉斯的例子是 其中其中 是奇数，是奇数，使使 。26 另一件事是德国数学家黎曼（另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发

20、现，）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取无黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。它是不连续的。27 这些例子使数学家们越来越明这些例子使数学家们越来越明白，在为分析建立一个完善的基础方白，在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再深挖一步：即面，还需要再深挖一步：即需要理解需要理解实数系的更深刻的性质。实数系的更深刻的性质。28 魏尔斯特拉斯

21、的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，18151897）的努力，终）的努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来。他的成功产生了和几何概念中解放出来。他的成功产生了深远的影响，主要表现在两方面，深远的影响，主要表现在两方面，一方面一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确是建立了实数系，另一方面是创造了精确的的“”语言。语言。29 “”语言的成功，表现在：语言的成功，表现在：这一语言给出极限的准确描述，消除这一语言给出极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如了

22、历史上各种模糊的用语，诸如“最终最终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这样一来，分析中的所有基本概念都这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算和关系精可以通过实数和它们的基本运算和关系精确地表述出来。确地表述出来。30 总之，第二次数学危机的核心是微积总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的了严格的实数理论，使之成为

23、极限理论的基础。所以，基础。所以，建立数学分析（或者说微积建立数学分析（或者说微积分）基础的分）基础的“逻辑顺序逻辑顺序”是：实数理论是：实数理论极极限理论限理论微积分。而微积分。而“历史顺序历史顺序”则正好相则正好相反。反。31 实数理论是学习数学分析的难点，诸实数理论是学习数学分析的难点，诸如区间套定理，有限复盖定理等，在数学如区间套定理，有限复盖定理等，在数学学院，通常也只有数学专业才比较彻底地学院，通常也只有数学专业才比较彻底地讲授。讲授。32 4）极限的）极限的“”定义及定义及“贝克贝克莱悖莱悖论论”的消除的消除 极限的极限的“”定义定义33 定义：设函数定义：设函数 在在 的附近都

24、有定的附近都有定义，如果有一个确定的实数义，如果有一个确定的实数 （无论多（无论多么小的正数么小的正数 ）。）。都都 （都能找到一个正数（都能找到一个正数 ，依赖，依赖于于 ），使当），使当 时（满足不等式时（满足不等式 的所有不等于的所有不等于 的的 ），有），有 （这些（这些 对应的函数值对应的函数值与与 的差小于预先给定的任意小的的差小于预先给定的任意小的 ）我们就）我们就说说“函数函数 在在 趋近于趋近于 时，有极限时，有极限 ”。记为记为 。34 由极限的这个由极限的这个“”定义，可以定义，可以求求出一些基本的极限，并严格地建立一整套出一些基本的极限，并严格地建立一整套丰富的极限理论

25、。简单说，例如有丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等；两个相等的函数，取极限后仍相等；两个函数，和的极限等于极限的和。两个函数，和的极限等于极限的和。等等。等等。35 “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消除 回到牛顿的（回到牛顿的（*）式上：）式上：这是在这是在 （即（即 ）条件下，得）条件下，得到的等式；它表明到的等式；它表明 时间内物体的平均速时间内物体的平均速度为度为 。（。（*）式等号两边都是）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当时速度定义为：上述平均速度当 趋于趋于0时的极限，即时的极

26、限，即 物体在物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度=。36 下边我们对（下边我们对（*）式的等号两边同时取）式的等号两边同时取极限极限 ，根据，根据“两个相等的函数取两个相等的函数取极极限后仍相等限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度=再根据再根据“两个函数和的极限等于极限的两个函数和的极限等于极限的和和”，得，得然后再求极限得然后再求极限得 37 上述过程所得结论与牛顿原先的结论上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。础。“贝克莱悖论贝克莱悖论”的焦点的焦点“无穷小量无穷小量 是是不是不是0？”，在这里给出了明确的回答：，在

27、这里给出了明确的回答：。这里也没有这里也没有“最终比最终比”或或“无限趋近无限趋近于于”那样含糊不清的说法。那样含糊不清的说法。38 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠代数的逻辑基础更为明晰，等等

28、。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。集合论有可能成为整个数学的基础。39 其理由是：算术以整数、分数等为对其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成时，用集合论的语言，算术的对象可说成是是“以整数、分数等组成的集合以整数、分数等组成的集合”；微积；微积分分的对象可说成是

29、的对象可说成是“以函数等组成的集合以函数等组成的集合”；几何的对象可说成是几何的对象可说成是“以点、线、面等组以点、线、面等组成的集合成的集合”。这样一来，都是以集合为对。这样一来，都是以集合为对象了。集合成了更基本的概念。象了。集合成了更基本的概念。40 于是，集合论似乎给数学家带来了曙于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础数学基础”的的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣年巴黎国际数学家大

30、会上宣称：称：“现在我们可以说，完全的严格性已现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！经达到了！”41 2算术的集合论基础算术的集合论基础 1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上集合加上0现在有些数学家就把这一集合现在有些数学家就把这一集合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理数 实数实数 复数复数 图形图形42 因此，全部数学似乎都可归结为非负因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，整数了，或者说，全部数学都可以归结为全部数学都

31、可以归结为算术了。算术了。这样，如果能把算术建立在集合论这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个的基础上，就相当于解决了整个“数学基数学基础础”的问题。的问题。法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的）就做了这样的工作。他写了一本名叫工作。他写了一本名叫算术基础算术基础的的书。书。43 2)弗雷格的算术基础弗雷格的算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，为了使算术建立在集合论的基础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。和语言重新定义。首先从首先从0说起。

32、说起。0是什么？应当先回答是什么？应当先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符号。的符号。44 为此，先定义空集。空集是为此，先定义空集。空集是“不含元不含元素的集合素的集合”。例如，。例如，“方程方程 在在实实数集中的根的集合数集中的根的集合”就是一个空集，再例就是一个空集，再例如如“由最大的正整数组成的集合由最大的正整数组成的集合”也是一也是一个个空集。空集。45 所有的空集放在一起，作成一个集合所有的空集放在一起，作成一个集合的集合，（为说话简单我们把的集合，（为说话简单我们把“集合的集集合的集合合”称作类），这个类，就可以给它一个称作类），这个类，就可以给它一个符号：

33、符号：0，中国人念，中国人念“ling”，英国人念，英国人念“Zero”。空集是空的，但由所有空集组成的空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，类，它本身却是一个元素了，即，0是一是一个元素了。由它再作成一个集合个元素了。由它再作成一个集合0，则，则不是空集了。不是空集了。46 弗雷格再定义两个集合间的双射：既弗雷格再定义两个集合间的双射：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称可是满射又是单射的映射叫作双射，也称可逆映射；通俗地说，就是存在逆映射的映逆映射；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为以一般称为

34、“双射双射”。弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合的两个集合的“等价等价”：，能够在其间建立双射的，能够在其间建立双射的两个集合两个集合A、B称为称为“等价等价”。47 下边可以定义下边可以定义“1”了。把与集合了。把与集合0等等价的所有集合放在一起，作成一个集合的价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：集合。这个类，就可以给它一个符号：1。再定义再定义“2”。把与集合。把与集合0，1等价等价的的所有集合放在一起，作成一个集合的集所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：合。这个类，就叫：2。然后，把与然后，把与0，1，2等价的集合作等价的集合作成的类，叫：

35、成的类，叫：3。48 一般地，在有了一般地，在有了0，1，2，n的的定义后，就把所有与集合定义后，就把所有与集合0，1，2，n等价的集合放在一起，作成集合的集等价的集合放在一起，作成集合的集合，这样的类，定义为：合，这样的类，定义为：n+1。这种定义概念的方法，叫作这种定义概念的方法，叫作“归纳定归纳定义义”的方法。的方法。49 这样，弗雷格就从空集出发，而仅仅这样，弗雷格就从空集出发，而仅仅用到集合及集合等价的概念，把全部非负用到集合及集合等价的概念，把全部非负整数定义出来了。于是根据上边说的整数定义出来了。于是根据上边说的“可可以把全部数学归结为非负整数以把全部数学归结为非负整数”，就可以

36、，就可以说，说，全部数学可以建立在集合论的基础上全部数学可以建立在集合论的基础上了。了。50 3 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引起震憾和危机悖论引起震憾和危机 正当弗雷格即将出版他的算术基正当弗雷格即将出版他的算术基础一书的时候，罗素的集合论悖论出来础一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。这也是庞加莱宣布了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学完全严格的数学已经建立起来！已经建立起来！”之后刚刚两年，即之后刚刚两年，即1902年。年。51 集合论中居然有逻辑上的矛盾！集合论中居然有逻辑上的矛盾！倾刻之间，算术的基础动摇了，整个倾刻之间，算术的基础动摇了，整个数学的基

37、础似乎也动摇了。这一动摇所带数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就是建立在这样的基础上的吗？是建立在这样的基础上的吗？罗素悖论引发的危机，就称为第三次罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。数学危机。52 罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的算术基础一书的末格。弗雷格在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成最不愉快的事莫过于，当

38、他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。地。”53 2）罗素悖论罗素悖论 在叙述罗素悖论之前在叙述罗素悖论之前,我们先注意到我们先注意到下边的事实：一个集合或者是它本身的成下边的事实：一个集合或者是它本身的成员员(元素元素),或者不是它本身的成员或者不是它本身的成员(元素元素)，两者必居其一。罗素把前者称为两者必居其一。罗素把前者称为“异常集异常集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。54 例如例如,所有抽象概念的集合，本身还所有抽象概念的集合，本身还是是抽象概

39、念。即，它是这一集合本身的元抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是素，所以是“异常集合异常集合”。但是，所有人。但是，所有人的的集合，不是人，即，它不是这一集合本身集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是的元素，所以是“正常集合正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是以是“异常集合异常集合”。但是，所有星星的集。但是，所有星星的集合合不是星星，即，它不是这一集合本身的元不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是素，所以是“正常集合正常集合”。55 罗素悖论是：罗素

40、悖论是：以以 表示表示“是其本身成员的是其本身成员的所有集合的集合所有集合的集合”（所有异常集合的集合），（所有异常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成员的所有集合的集不是它本身成员的所有集合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于或者属于 ，或者属于，或者属于 ，两者必居其一，且，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合只居其一。然后问：集合 是否是它本身的是否是它本身的成员？（集合成员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）56 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及的定义，的定义，是是 的成员，而不是的成员

41、，而不是 的成的成员，即员，即 不是它本身的成员，这与假设矛不是它本身的成员，这与假设矛盾。即盾。即 如果如果 不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按 及及 的定义，的定义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 是它本身的成员，这又与假是它本身的成员，这又与假矛盾。即矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出无论哪一种情况，都得出矛盾。矛盾。57 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖理发师悖论论”：某村的一个理发师宣称，他给且只：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？

42、理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。他自己刮脸，这又与假设矛盾。58 4 危机的消除危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当

43、时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。西保留下来。59 这种选择的理由是，原有的康托集合这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余基础之上的，这就留

44、下了解决问题的余地。地。罗素等人分析后认为，这些悖论的共罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是同特征（悖论的实质）是“自我指谓自我指谓”。即，即，一个待定义的概念，用了包含该概念一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义在内的一些概念来定义，造成恶性循环。，造成恶性循环。例如，悖论中定义例如，悖论中定义“不属于自身的集不属于自身的集合合”时，涉及到时，涉及到“自身自身”这个待定义的对这个待定义的对象。象。60 为了消除悖论，数学家们要将康托为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论朴素的集合论”加以公理化；并且规定加以公理化；并且规定构构造集合的原则，例如，不允许出

45、现造集合的原则，例如，不允许出现“所有所有集合的集合集合的集合”、“一切属于自身的集合一切属于自身的集合”这这样的集合。样的集合。61 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由）提出了由7条公理组成的集条公理组成的集合论体系，称为合论体系，称为Z-系统。系统。1922年，弗兰克（年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后系统。再后来，还有改进的来，还有改进的ZFC-系统。系统。这样，大体完成了这样，大体完成了由朴素集合论到

46、公由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。理集合论的发展过程，悖论消除了。62 但是，新的系统的相容性尚未证明。但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：来后不久，形象地评论道：“为了防狼，为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼内有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。并不是完全令人满意的。63 四、四、三次数学危机与三次数学危机与“无穷无穷”的联系的联系 我们过去就说过，无穷与有穷有本质我

47、们过去就说过，无穷与有穷有本质的区别。的区别。现在我们可以总结说，三次数学危机现在我们可以总结说，三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。关。64 第一次数学危机的要害是不认识无理第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。看成是无穷个有理数组成的数列的极限。所以，第一次数学危机的彻底解决，所以，第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的是在危机产生二千年后的19世纪，建立了世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差极限理论和实数理论之后。

48、实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。解决的。65 第二次数学危机的要害，是极限理论第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过有穷过渡到无穷渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，的重要手段。贝克莱的责难，也集中在也集中在“无穷小量无穷小量”上。上。由于无穷与有穷有本质的区别，所由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。得特别重要。66 第三次数学危

49、机的要害，是第三次数学危机的要害，是“所有不所有不属于自身的集合属于自身的集合”这样界定集合的说法有这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了合，人们犯了“自我指谓自我指谓”、恶性循环的、恶性循环的错错误。误。以上事实告诉我们，由于人们习惯于以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。学则是经常与无穷打交道的。67 思思：试叙述历史上的三次数学危试叙述历史上的三次数学危机中，涉及机

50、中，涉及“有穷与无穷有穷与无穷”的具体问题；的具体问题；并并谈谈自己的体会。谈谈自己的体会。683B+x*t!pXmUiQeMaI6E2A+x*t!pXlThPeMaI6E2A-w&t!pXlThPdL9I6E2A-w&s#oXlThPdL9H5D2A-w&s#oWkSgPdL9H5D1z)v&s#oWkSgOcK9HZnVjRfNbJ7F4C0y(u$qYmUjRfNbJ7F3B+y(u$qYmUiQeNbJ7F3B+x*t$qYmUiQeMaI6F3B+x*t!pXlUiQeMaI6E2A+x*t!pXlThPeMaI6E2A-w&t!pXlThPdL9I6E2A-w&s#oWlThPdL