数值分析课件插值法精.ppt

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1、数值分析课件插值法数值分析课件插值法1第1页，本讲稿共93页2插值法插值法l 许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系l 但函数表达式无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表l 函数表达式已知，但较复杂，计算函数值或积分比较困难l 如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？例：例：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（深度（M）466 741 950 1422 1634 水温（水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500、600、800米

2、米）处的水温。）处的水温。问题的提出问题的提出q 第2页，本讲稿共93页3问题问题的数学提法的数学提法已知a,b上的函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x求简单函数Pn(x)，使得x0 x1x2x3x4xP(x)q 第3页，本讲稿共93页4插值基本概念插值基本概念已知函数已知函数 y=f(x)在在 a,b 上有定义，且已经测得在点上有定义，且已经测得在点 a x0 x1 xn b 处的函数值为处的函数值为 y0=f(x0)，yn=f(xn)如果存在一个如果存在一个简单易算简单易算的函数的函数 P(x)，使得，使得 P(xi)=f(xi)，i=0

3、,1,.,n则称则称 P(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数插值区间插值区间插值节点插值节点求插值函数求插值函数 P(x)的方法就称为的方法就称为插值法插值法插值节点插值节点无需递无需递增排列增排列，但必须，但必须确保确保互不相同互不相同！插值条件插值条件第4页，本讲稿共93页5其插值函数的图象如图其插值函数的图象如图第5页，本讲稿共93页6常用插值法常用插值法l 多项式插值：多项式插值：P(x)为多项式函数为多项式函数-最常用的插值函数最常用的插值函数l 分段插值：分段插值：P(x)为分段多项式函数为分段多项式函数l 三角插值：三角插值：P(x)为三角函数为三角函数 q 多项式插值多项式

4、插值 polynomial interpolation polynomial interpolation WeierstrassWeierstrass定理定理 对于在对于在a,ba,b上的连续函数上的连续函数f f以及以及 ,总存在多项式总存在多项式P(x)P(x)满足满足第6页，本讲稿共93页7多项式插值多项式插值q 对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：l 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？l若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x);即插值多项式的常用构造方法有哪些？l用P(x)代替f(x)的误差估计l当插值节点无限加密时，

5、插值函数是否收敛于f(x)。第7页，本讲稿共93页8 插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性Existence and Uniqueness of interpolation polynomials?且满足第8页，本讲稿共93页9上述方程组的系数行列式为上述方程组的系数行列式为n+1n+1阶阶VandermondVandermond行列式行列式 插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性q 定理定理 已知函数已知函数 y=f(x)在在 a,b 上上 n+1 个点个点 a x0 x1 xn b 处的函数值为处的函数值为 y0=f(x0)，yn=f(xn)求求次数次数不超过不超过 n 的多

6、项式的多项式 P(x)=c0+c1x+cnxn，使得，使得P(xi)=yi，i=0,1,.,n 存在且唯一第9页，本讲稿共93页10关于唯一性证明的几点说明关于唯一性证明的几点说明l 插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项 式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值

7、多 项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误项式，但它们之间一定可以相互转化，一定会相同，当然误 差也一样。差也一样。差也一样。差也一样。l 上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即以通过解线上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即以通过解线 性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计 算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中不采用算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此实际计算中不采用 这种方法，而用下面介绍的

8、几种常用的方法。这种方法，而用下面介绍的几种常用的方法。第10页，本讲稿共93页11基函数插值法基函数插值法通过基函数来构造插值多项式的方法就称为通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法基函数插值法Zn(x)=次数不超过 n 的多项式的全体记n+1 维线性空间维线性空间设 z0(x),z1(x),.,zn(x)构成 Zn(x)的一组基，则插值多项式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+anzn(x)寻找合适的基函数 确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤基函数法基本步骤q 若通过前述方法来求解插值多项式，不但计算工作量较大,且难于得到简单表达式第11页，本讲稿共93页

9、12LagrangeLagrange插值插值q 十八世纪法国数学家Lagrange提出了易于掌握和计算的统一 公式称为Lagrange插值公式l 线性插值线性插值已知两个插值点及其函数值：xx0 x1f(x)f0f1求一次多项式 first-degree polynomial使得：第12页，本讲稿共93页13线性插值线性插值所以，按Cramer法则，有唯一解点斜式点斜式两点式两点式第13页，本讲稿共93页14线性插值线性插值的线性组合得到，即：注意到：称 ，为线性插值基函数由两点式看出，是由两个线性函数第14页，本讲稿共93页15l 抛物线插值抛物线插值 已知三个插值节点及其函数值：f2f1f

10、0f(x)x2x1x0 x求一个二次多项式使得：抛物线插值抛物线插值第15页，本讲稿共93页16抛物线插值抛物线插值 （B-2）令：令：第16页，本讲稿共93页17抛物线插值抛物线插值所以为二次插值基函数第17页，本讲稿共93页18LagrangeLagrange插值插值设设 lk(x)是是 n 次多项式，在插值节点次多项式，在插值节点 x0,x1,xn 上满足上满足则称则称 lk(x)为节点为节点 x0,x1,xn 上的上的拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数l n n 次次LagrangeLagrange插值插值第18页，本讲稿共93页19P(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln

11、(x)Lagrange Lagrange 插值多项式 LagrangeLagrange插值插值q LagrangeLagrange插值公式的标准型公式插值公式的标准型公式:第19页，本讲稿共93页20插值举例插值举例例：例：已知函数已知函数 y=lnx 的函数值如下的函数值如下解解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试分别用试分别用线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0.54 的近似值的近似值线性插值线性插值：取取 x0=0.5,x1=0.6 得得将将 x=0.54 代入可得：代入可得：ln 0.54

12、 L1(0.54)=-0.6202为了减小截断误差，通常选取插值点为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点邻接的插值节点第20页，本讲稿共93页21插值举例插值举例抛物线插值抛物线插值：取取 x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得可得ln 0.54 L2(0.54)=-0.6153在实际计算中，不需要给出插值多项式的表达式在实际计算中，不需要给出插值多项式的表达式 ln 0.54 的精确值为：的精确值为：-0.616186可见，抛物线插值的精度比线性插值要高可见，抛物线插值的精度比线性插值要高Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函插值多项式简单方便，只

13、要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。第21页，本讲稿共93页22matlab programfunction s=Lagrange(x0,y0)n=length(x0);%取取长长度度s=0;for j=0:(n-1)t=1;for i=0:(n-1)if i=j t=t*(x-x0(i+1)/(x0(j+1)-x0(i+1);end end s=s+t*y0(j+1);ends第22页，本讲稿共93页23误差估计误差估计插值余项插值余项定理定理设设 f(x)Cna,b(n 阶连续可微阶连续可微)，且，且 f(n+1)(x)在在

14、(a,b)内存在，则对内存在，则对 x a,b，有，有其中其中 x(a,b)且与且与 x 有关有关,证明：证明：q 如何误差估计如何误差估计:第23页，本讲稿共93页24插值余项插值余项由插值条件可知：由插值条件可知：Rn(xi)=0,i=0,1,n Rn(x)在在a,b上至少有上至少有 n+1 个零点个零点对任意给定的对任意给定的 x a,b(x xi,i=0,1,.,n)，构造辅助函数，构造辅助函数则则 在在 a,b 中有中有 n+2 个互不相同的零点：个互不相同的零点：x,x0,xnRn(x)可写成可写成罗尔罗尔定理定理第24页，本讲稿共93页25插值余项插值余项由由Rolle定理可知定

15、理可知 在在(a,b)内至少有内至少有 n+1 个不同的零点；个不同的零点；同理可知同理可知 在在(a,b)内至少有内至少有 n 个零点；个零点；又又f(x)Cna,b，且，且 f(n+1)(x)在在(a,b)内存在内存在以此类推，可知以此类推，可知 在在(a,b)内至少有一个零点，设为内至少有一个零点，设为 x，即即 ，x (a,b)。第25页，本讲稿共93页26注注l 余项公式只有当余项公式只有当 f(x)的高阶导数存在时才能使用的高阶导数存在时才能使用l 从余项从余项Rn(x)Rn(x)中的中的 n+1(x)n+1(x)知，当点知，当点x x位于位于x x0,0,x x1,1,xn xn

16、 的中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度的中部时，比较小，精度要高一些；而位于两端时，精度 要差一点；若要差一点；若x x位于位于x x0,0,x x1,1,xn xn的外部，一般称为外的外部，一般称为外 插，此时精度一般不理想，使用时必须注意。插，此时精度一般不理想，使用时必须注意。如果如果 ，则，则l x 与与 x 有关，通常无法确定有关，通常无法确定,实际使用中通常是估计其上界实际使用中通常是估计其上界第26页，本讲稿共93页27LagrangeLagrange基函数性质基函数性质l 当当 f(x)为一个次数为一个次数 n 的多项式时，有的多项式时，有 故故 即即 n 次插值

17、多项式对于次数次插值多项式对于次数 n 的的多项式是多项式是精确精确的的l 若若 f(x)=xk，k n，则有，则有 特别地，当特别地，当 k=0 时有时有Lagrange 基函数的两基函数的两个重要性质个重要性质第27页，本讲稿共93页28插值误差举例插值误差举例例：例：已知函数已知函数 y=lnx 的函数值如下的函数值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试估计试估计线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0.54 的误差的误差解解：线性插值线性插值 x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)第2

18、8页，本讲稿共93页29插值误差举例插值误差举例抛物线插值抛物线插值：x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,(0.4,0.6)高次插值通常优高次插值通常优于低次插值于低次插值但绝对不是次但绝对不是次数越高就越好，数越高就越好，嘿嘿嘿嘿 第29页，本讲稿共93页30LagrangeLagrange插值优点和缺点插值优点和缺点q 优点优点l 公式简洁公式简洁,理论分析方便理论分析方便l 容易编程上机容易编程上机q 缺点缺点l 基函数计算复杂，计算量大基函数计算复杂，计算量大 ，计算量为，计算量为l 每增加一个节点，插值多项式的所有每增加一个节点，插值多项式的所有系数都得重算系数都得重算；第30

19、页，本讲稿共93页31第二章插值法 Newton 插值法插值法第31页，本讲稿共93页32Newton Newton 插值插值为什么为什么 Newton 插值插值Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数 lk(x)都需重新计算，不太方便。都需重新计算，不太方便。设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即 pn(x)=pn-1(x)+un(x)其中其中 pn(x)和和 pn-1(x)分别为分别为 n 次和次和 n-1 次插值多项式次插值多项式 解决办法解决办法q q 第32页，本讲稿共93

20、页33新的基函数新的基函数n 设插值节点为设插值节点为 x0,xn，考虑插值基函数组，考虑插值基函数组l 当增加一个节点当增加一个节点 xn+1 时，只需加上基函数时，只需加上基函数 第33页，本讲稿共93页34Newton Newton 插值插值n 此时此时 f(x)的的 n 次插值多项式为次插值多项式为问题问题l 如何从如何从 pn-1(x)得到得到 pn(x)?l 怎样确定参数怎样确定参数 a0,an?第34页，本讲稿共93页35Newton Newton 插值插值l 再继续下去待定系数的形式将更复杂再继续下去待定系数的形式将更复杂l为此引入为此引入差商差商的概念的概念 第35页，本讲稿

21、共93页36差商差商什么是差商什么是差商设函数设函数 f(x)，节点，节点 x0,xn f(x)关于点关于点 xi,xj 的的一阶差商一阶差商f(x)关于点关于点 xi,xj,xk 的的二阶差商二阶差商k 阶差商阶差商差商的一般定义差商的一般定义q 第36页，本讲稿共93页37差商的性质差商的性质l 差商可以表示为函数值的线性组合：差商可以表示为函数值的线性组合：用归纳法可以证明用归纳法可以证明差商与节点的排序无关，即差商具有差商与节点的排序无关，即差商具有对称性对称性其中其中 i0,i1,ik 是是 0,1,k 的任一排列的任一排列第37页，本讲稿共93页38差商的性质差商的性质l k 阶差

22、商与阶差商与 k 阶导数之间的关系：阶导数之间的关系：若若 f(x)在在 a,b 上上 具有具有 k 阶导数，则至少存在一点阶导数，则至少存在一点 (a,b)，使得使得l 若若 h(x)=c f(x)，则，则l 若若 h(x)=f(x)+g(x)，则，则若若若若f f f f(x x x x)是是是是n n n n次多项式，则一阶差商次多项式，则一阶差商次多项式，则一阶差商次多项式，则一阶差商f f f f x x x x,x x x xi i i i 是是是是n n n n 1 1 1 1次多项式。次多项式。次多项式。次多项式。l 第38页，本讲稿共93页39差商的计算差商的计算第39页，本

23、讲稿共93页40差商举例差商举例例：例：已知已知 y=(x)的函数值表，的函数值表，试计算其各阶差商试计算其各阶差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：解：差商表如下差商表如下xi(xi)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商-2-112531721-2743-1-1第40页，本讲稿共93页41Newton Newton 插值公式插值公式Newton 插值公式插值公式由差商的定义可得由差商的定义可得12 n 11+(x x0)2+(x x0)(x xn 1)n 1Nn(x)Rn(x)第41页，本讲稿共93页42Newton Newton 插值公式插值公式 f(x)=N

24、n(x)+Rn(x)其中其中Nn(x)是是 n 次多项式次多项式第42页，本讲稿共93页43注注f(x)在在 x0,x1,xn 上上的的 n 次插值多项式是唯一次插值多项式是唯一的！的！Nn(x)Ln(x)且余项相同且余项相同l 第43页，本讲稿共93页44注注l 牛顿插值公式牛顿插值公式利用差商可简单地表为利用差商可简单地表为 因因此此,每每增增加加一一个个结结点点,Newton Newton 插插值值多多项项式式只只增增加加一一项项,克克服了服了 Lagrange Lagrange 插值的缺点。插值的缺点。第44页，本讲稿共93页45注注l 在实际计算中，特别是在函数在实际计算中，特别是在

25、函数f f(x x)的的高阶导数比较复杂高阶导数比较复杂或或 f f(x x)的的表达式没有给出表达式没有给出时，我们可以用差商表示的余项公时，我们可以用差商表示的余项公 式式 来估计误差。来估计误差。l 实际计算中，当实际计算中，当n n+1+1阶差商变化不激烈时，可用阶差商变化不激烈时，可用 近似代替近似代替l NewtonNewton插值多项式需要除法插值多项式需要除法 次次,及及2n2n次乘法次乘法,大大 约比约比LagrangeLagrange公式节省公式节省3 3到到4 4倍工作量倍工作量.第45页，本讲稿共93页46插值举例插值举例例 给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值

26、多项式，并由此计算 的近似值.首先根据给定函数表造出均差表.第46页，本讲稿共93页47插值举例插值举例 按牛顿插值公式，将数据代入于是 截断误差 这说明截断误差很小，可忽略不计.第47页，本讲稿共93页48第二章插值法 Hermite 插值法插值法第48页，本讲稿共93页49HermiteHermite插值插值在许多实际应用中，不仅要求在许多实际应用中，不仅要求函数值函数值相等，而且要求若干阶相等，而且要求若干阶导数导数也也相等，如机翼设计等。相等，如机翼设计等。（i=0,1,n）满足满足函数值函数值相等且相等且导数导数也相等的插值方法成为也相等的插值方法成为 Hermite插值插值q 第4

27、9页，本讲稿共93页50HermiteHermite插值插值n 典型的典型的 Hermite 插值插值l 两点三次两点三次 Hermite 插值插值插值节点：插值节点：x0,x1插值条件：插值条件：P(xi)=f(xi)，P(xi)=f(xi)，i=0,1q 考虑插值问题考虑插值问题 l 插值条件插值条件2n+22n+2个，确定个，确定2n+22n+2个待定系数。因此插值多项式个待定系数。因此插值多项式 最高次为最高次为2n+1第50页，本讲稿共93页51两点三次两点三次Hermite Hermite 插值插值插值节点：插值节点：x0,x1 插值条件：插值条件：P(xi)=f(xi)=yi，P

28、(xi)=f(xi)=mi，i=0,1模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设其中其中 均为均为 3 次多项式，且满足次多项式，且满足i,j=0,1l 第51页，本讲稿共93页52两点三次两点三次Hermite Hermite 插值插值将将插值条件插值条件代入立即可得代入立即可得 0(x),1(x),0(x),1(x)的表达式？的表达式？l 第52页，本讲稿共93页53两点三次两点三次Hermite Hermite 插值插值 0(x)第53页，本讲稿共93页54两点三次两点三次Hermite Hermite 插值插值同理可得同理可得第54页，本讲稿共93页55两点三次两点三

29、次Hermite Hermite 插值插值满足插值条件满足插值条件P(x0)=f(x0)=y0，P(x0)=f(x0)=m0P(x1)=f(x1)=y1，P(x1)=f(x1)=m1的三次的三次 Hermite 插值多项式为插值多项式为余项余项 第55页，本讲稿共93页56非标准型非标准型HermiteHermite插值插值 给(xi,yi)i=0,1,2,n及某些节点上的导数值（而不是全部导数值）HermiteHermite插值问题的插值问题的非标准型非标准型是是：q l 例如例如 求满足下列条件的ermite插值多项式。12324123n 基本方法为待定系数法基本方法为待定系数法n 利用重

30、节点差商构造利用重节点差商构造HermiteHermite插值插值 第56页，本讲稿共93页57三点三次三点三次Hermite Hermite 插值插值插值节点：插值节点：x0,x1,x2 插值条件：插值条件：P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，P(x1)=f(x1)设设将将 P(x1)=f(x1)代入可得代入可得q 第57页，本讲稿共93页58三点三次三点三次Hermite Hermite 插值插值由于由于 x0,x1,x2 是是 R(x)的零点，且的零点，且 x1 是二重零点，故可设是二重零点，故可设余项公式余项公式与与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得插值余项公式的

31、推导过程类似，可得其中其中 x 位于位于 由由 x0,x1,x2 和和 x 所界定的区间所界定的区间 内内q 第58页，本讲稿共93页59利用重节点差商构造利用重节点差商构造HermiteHermite插值插值定理定理设设 f(x)Cna,b，x0,xn 为为 a,b 上的互异上的互异节点，则节点，则 fx0,xn 是其变量的连续函数是其变量的连续函数重重节节点点差差商商一般地，一般地，n 阶重节点差商定义为阶重节点差商定义为 第59页，本讲稿共93页60重节点重节点NewtonNewton插值插值q 在节点在节点x x0 0处的处的n n次次HermiteHermite插值多项式插值多项式

32、在在 Newton 插值公式中，令插值公式中，令 xi x0,i=1,n,则则Taylor 插值多项式插值多项式余项余项q 启示：将同时具有函数值和导数值条件的节点视启示：将同时具有函数值和导数值条件的节点视 为重节点处理为重节点处理第60页，本讲稿共93页61重节点重节点NewtonNewton插值举例插值举例第61页，本讲稿共93页62重节点重节点NewtonNewton插值举例插值举例第62页，本讲稿共93页63第二章插值法 分段低次插值分段低次插值第63页，本讲稿共93页64多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷n 时时 Ln(x)不一定收敛于不一定收敛于 f(x)例：例：Runge 现象现

33、象q 在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，常常在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，常常 提高多项式的次数，当插值节点增多，插值多项式的次提高多项式的次数，当插值节点增多，插值多项式的次 数逐步提高时，是否逼近程度也越来越好呢？一般总认数逐步提高时，是否逼近程度也越来越好呢？一般总认 为为LnLn(x x)的次数的次数n n越高，逼近越高，逼近f f(x x)的程度越好，的程度越好，实际上并实际上并 非如此非如此。l 高次多项式插值的病态性质高次多项式插值的病态性质：l 从从从从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严重的误差积计算的含入误差看，高次插值可能会产生严重的误差积计算的

34、含入误差看，高次插值可能会产生严重的误差积计算的含入误差看，高次插值可能会产生严重的误差积 累，即稳定性得不到保证。累，即稳定性得不到保证。累，即稳定性得不到保证。累，即稳定性得不到保证。第64页，本讲稿共93页65RungeRunge现象现象q RungeRunge函数函数 第65页，本讲稿共93页66RungeRunge现象现象-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图第66页，本讲稿共93页67q 在-2,2上L10(x)对f(x)逼近较好,但在端点附近很差.

35、可 以证明q 即随着n的增长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高 次代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪 初由Runge发现.q 增加节点并不一定能保证在两节点之间插值函增加节点并不一定能保证在两节点之间插值函 数数 Ln Ln(x x)能很好地逼近能很好地逼近f f(x x)，即高次插值（如，即高次插值（如7 7，8 8次上）在实际次上）在实际 应用中很少被采用。应用中很少被采用。常用的方法就是分段低次插值常用的方法就是分段低次插值结论结论第67页，本讲稿共93页68分段插值分段插值用分段低次多项式函数来逼近原函数用分段低次多项式函数来逼近原函数 f(x)分段低次插值

36、分段低次插值n 常见的分段低次插值常见的分段低次插值l 分段线性插值分段线性插值l 分段三次分段三次 Hermite 插值插值每个小区间上用每个小区间上用线性多项式线性多项式来逼近来逼近 f(x)每个小区间上用每个小区间上用三次三次 Hermite多项式多项式来逼近来逼近 f(x)第68页，本讲稿共93页69分段线性插值分段线性插值分段线性插值分段线性插值设设 a x0 x1 xn b 为为 a,b 上的互异节点上的互异节点f(x)在这些节点上的函数值为在这些节点上的函数值为 y0,y1,yn记记 ，求分段函数求分段函数 Ih(x)满足满足 Ih(x)在每个小区间在每个小区间 xk,xk+1

37、上是线性函数上是线性函数第69页，本讲稿共93页70分段线性插值分段线性插值由以上条件直接可得由以上条件直接可得 Ih(x)在小区间在小区间 xk,xk+1 上的表达式上的表达式x xk,xk+1，k=0,1,n-1第70页，本讲稿共93页71误差估计误差估计误差估计误差估计在小区间在小区间 xk,xk+1 上有上有当当 h 0 时，时，Ih(x)在在 a,b 上上 一致收敛一致收敛 到到 f(x)分段线性插值的不足：分段线性插值的不足：Ih(x)在节点在节点不可导不可导第71页，本讲稿共93页72分段三次分段三次HermiteHermite插值插值分段三次分段三次 Hermite 插值插值设

38、设 a x0 x1 xn b 为为 a,b 上的互异节点上的互异节点 yk f(xk),mk f(xk)，k=0,1,n 求分段函数求分段函数 Ih(x)满足满足 Ih(x)在每个小区间在每个小区间 xk,xk+1 上是三次多项式上是三次多项式第72页，本讲稿共93页73分段三次分段三次HermiteHermite插值插值由以上条件直接可得由以上条件直接可得 Ih(x)在小区间在小区间 xk,xk+1 上的表达式上的表达式x xk,xk+1，k=0,1,n-1误差估计误差估计第73页，本讲稿共93页74第二章插值法 三次样条插值三次样条插值第74页，本讲稿共93页75分段低次插值分段低次插值具

39、体作法：具体作法：(1)把整个插值区间分割成多个小区间把整个插值区间分割成多个小区间(2)在每个小区间上作低次插值多项式在每个小区间上作低次插值多项式(3)将所有插值多项式拼接整一个多项式将所有插值多项式拼接整一个多项式n 基本思想：基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式用分段低次多项式来代替单个多项式 n 优点：优点：公式简单公式简单、运算量小运算量小、稳定性好、收敛性稳定性好、收敛性 n 其光滑性较差。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导其光滑性较差。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导 数连续，满足不了许多工程技术提出的对插值函数的光滑性有数连续，满足不了许多工程技术提出的对

40、插值函数的光滑性有 较高要求的计算问题较高要求的计算问题例如例如例如例如，船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即即二阶导数连续二阶导数连续。为解决这一类问题，导致产生了。为解决这一类问题，导致产生了样条插值样条插值。第75页，本讲稿共93页76三次样条插值三次样条插值是分段三次多项式是分段三次多项式具有二阶连续导数具有二阶连续导数插值条件：插值条件：S(xi)=f(xi)=yi 给定插值节点给定插值节点

41、x0,x1,xn a,b 及函数值及函数值 f(xi)=yi，i=0,1,2,n求一个定义在求一个定义在 a,b 上的插值函数上的插值函数 S(x)，满足：，满足：三次样条插值三次样条插值第76页，本讲稿共93页77三次样条插值三次样条插值 设插值节点为设插值节点为 a=x0 x1 xn-1 xn=b 若函数若函数 S(x)C2a,b，且，且在每个小区间在每个小区间 xj,xj+1上是三上是三次多项式，则称其为次多项式，则称其为三次样条函数三次样条函数如果同时还满足如果同时还满足 S(xi)=f(xi)=yi，i=0,1,2,n 则称则称 s(x)为为 f(x)在在 a,b 上的上的三次样条插

42、值函数三次样条插值函数定义定义第77页，本讲稿共93页78三次样条插值三次样条插值S(x)满足：满足：S(x)C2a,b；在在 xj,xj+1 是三次多项式是三次多项式 S(xi)=yi，i=0,1,2,n其中其中 sj(x)为为 xj,xj+1 上的上的三次多项式，且满足三次多项式，且满足sj(xj)=yj，sj(xj+1)=yj+1 j=0,1,n-1怎样计算三次样条插值函数怎样计算三次样条插值函数第78页，本讲稿共93页79边界条件边界条件每个每个 sj(x)均为三次多项式，有均为三次多项式，有 4 个待定系数，所以共有个待定系数，所以共有 4n 个待定系数，故需个待定系数，故需 4n

43、个方程才能确定。前面已经得到个方程才能确定。前面已经得到 2n+2(n-1)=4n-2 个方程，还缺个方程，还缺 2 个方程！个方程！q 实际问题通常对样条函数在实际问题通常对样条函数在两个端点两个端点处的状态有要求，处的状态有要求，即所谓的即所谓的 边界条件边界条件第79页，本讲稿共93页80常用的边界条件常用的边界条件q 第一类边界条件：第一类边界条件：给定函数在端点处的给定函数在端点处的一阶导数一阶导数，即，即q 第二类边界条件：第二类边界条件：给定函数在端点处的给定函数在端点处的二阶导数二阶导数，即，即当当 S”(x0)=S”(xn)=0 时，称为时，称为自然边界条件自然边界条件，此时

44、的样条函数称为此时的样条函数称为自然样条函数自然样条函数q 第三类边界条件：第三类边界条件：设设 f(x)是周期函数，并设是周期函数，并设 xn x0 是是一个周期，于是要求一个周期，于是要求 S(x)满足满足第80页，本讲稿共93页81三次样条函数的计算三次样条函数的计算设设 S”(xj)=Mj，j=0,1,2,n由于由于 sj(x)是三次多项式，故是三次多项式，故 sj”(x)为线性函数，且为线性函数，且 sj”(xj)=Mj,sj”(xj+1)=Mj+1下面计算下面计算 S(x)在在 xj,xj+1 的表达式的表达式 sj(x)由线性插值公式可得由线性插值公式可得求积分，可得求积分，可得

45、第81页，本讲稿共93页82三次样条函数的计算三次样条函数的计算将插值条件将插值条件 sj(xj)=yj，sj(xj+1)=yj+1 代入，即可确定积分常数代入，即可确定积分常数 c1 和和 c2。整理后可得。整理后可得 sj(x)的表达式为的表达式为只需确定只需确定 M0,M1,Mn 的值，即可给出的值，即可给出 sj(x)的表达式，的表达式，从而可以得到从而可以得到 S(x)的表达式。的表达式。j=0,1,n-1第82页，本讲稿共93页83条件：条件：易知易知 6 fxj-1,xj,xj+1dj j j三次样条函数的计算三次样条函数的计算第83页，本讲稿共93页84或或 j=1,2,n-1

46、三次样条函数的计算三次样条函数的计算第84页，本讲稿共93页85整理后得关于整理后得关于 Mj-1,Mj 和和 Mj+1 的方程：的方程：三弯矩方程三弯矩方程共共 n-1 个方程，附加个方程，附加边界条件边界条件，补充两个方程后，即可确，补充两个方程后，即可确定定 n+1 个未知量个未知量 M0,M1,Mn其中其中j=1,2,n-1三次样条函数的计算三次样条函数的计算第85页，本讲稿共93页86第一类边界条件第一类边界条件q 第一类边界条件：第一类边界条件：直接代入直接代入 sj(x)的一阶导数表达式即得的一阶导数表达式即得与前面的与前面的 n-1 个方程联立可得个方程联立可得 n+1 阶线性

47、方程组：阶线性方程组：系数矩阵系数矩阵严格对角严格对角占优占优，方程组，方程组存存在唯一解在唯一解。第86页，本讲稿共93页87第二类边界条件第二类边界条件故前面方程中只含故前面方程中只含 n-1 个未知量，即可得个未知量，即可得 n-1 阶线性方程组阶线性方程组:q 第二类边界条件：第二类边界条件：系数矩阵系数矩阵严格对角占优严格对角占优，方程组，方程组存在唯一解存在唯一解。直接可得直接可得第87页，本讲稿共93页88第三类边界条件第三类边界条件系数矩阵系数矩阵严格对严格对角占优角占优，方程组，方程组存在唯一解存在唯一解。q 第三类边界条件：第三类边界条件：可得可得其中其中与前面的与前面的

48、n-1 个方程联立可得个方程联立可得 n 阶线性方程组：阶线性方程组：第88页，本讲稿共93页89具体计算过程具体计算过程q 综上所述，满足插值条件综上所述，满足插值条件 s(xj)=yj 和某一类边界条件的三次和某一类边界条件的三次样条函数样条函数存在且唯一存在且唯一！q 具体计算过程具体计算过程(1)根据插值条件根据插值条件 s(xj)=yj 和边界条件给出关于和边界条件给出关于 M0,M1,Mn 的线性方程组的线性方程组(2)解出解出 M0,M1,Mn；(3)将将 M0,M1,Mn 代入代入 sj(x)的表达式，写出三次样条函数的表达式，写出三次样条函数 S(x)在整个插值区间上的分段表

49、达式。在整个插值区间上的分段表达式。注：注：sj(x)C2xj,xj+1 的表达式，需写成如下形式的表达式，需写成如下形式 sj(x)=a3(x-xj)3+a2(x-xj)2+a1(x-xj)+a0 第89页，本讲稿共93页90具体计算过程具体计算过程xj+1=xj+hjMatlab 中三次样条插值函数中三次样条插值函数 spline 输出的多项式是按上输出的多项式是按上面的格式输出的！面的格式输出的！第90页，本讲稿共93页91MatlabMatlab插值函数插值函数yh=interp1(x,y,xh)l x 为插值节点（为插值节点（n 维向量）维向量）l y 为函数在插值节点的值（为函数在

50、插值节点的值（n 维向量）维向量）l xh 为插值点（可以是向量）为插值点（可以是向量）l 可指定插值方法：可指定插值方法：nearest，linear，spline，pchipl 缺省为线性插值缺省为线性插值l spline 为样条插值，等价于为样条插值，等价于 spline一维线性插值一维线性插值yh=interp1(x,y,xh,method)第91页，本讲稿共93页92MatlabMatlab插值函数插值函数yh=spline(x,y,xh)l x 为插值节点（为插值节点（n 维向量）维向量）l y 为函数在插值节点的值（为函数在插值节点的值（n 维向量）维向量）l xh 为插值点（可