数值分析 非线性方程组的数值方法精.ppt

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1、数值分析 非线性方程组的数值方法第1页，本讲稿共62页非线性方程组解的复杂性非线性方程组解的复杂性第2页，本讲稿共62页clear,clfx1=-2:.2:2;y2=-2:.2:2;y1=f1(x1);x2=f2(y2);plot(x1,y1,r:,x2,y2,b)xlabel(x),ylabel(y)(3)a=0(4)a=-1(1)a=1(2)a=1/4第3页，本讲稿共62页几类典型非线性问题几类典型非线性问题第4页，本讲稿共62页第5页，本讲稿共62页例：半线性椭圆型边值问题例：半线性椭圆型边值问题解解:(1)剖分求解域剖分求解域.YN+1N:2100 1 2 .N N+1 X第6页，本讲

2、稿共62页(2)对微分算子进行离散对微分算子进行离散.在每个点在每个点(xi,yj)上的有限差分方程为上的有限差分方程为在边界上在边界上第7页，本讲稿共62页对非边界点进行编号对非边界点进行编号:顺序为顺序为-从下往上从下往上,从左往右从左往右相应的解向量和右端向量分别为相应的解向量和右端向量分别为 第8页，本讲稿共62页第9页，本讲稿共62页 多元向量值函数的导数多元向量值函数的导数第10页，本讲稿共62页第11页，本讲稿共62页第12页，本讲稿共62页 多元向量值函数的导数多元向量值函数的导数第13页，本讲稿共62页第14页，本讲稿共62页第15页，本讲稿共62页多元实函数的高阶导数多元实

3、函数的高阶导数第16页，本讲稿共62页 研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化为研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化为研究不动点的存在唯一性。研究不动点的存在唯一性。二、简单迭代法及其收敛性二、简单迭代法及其收敛性第17页，本讲稿共62页第18页，本讲稿共62页证明：证明：则对正整数则对正整数p p有有第19页，本讲稿共62页第20页，本讲稿共62页第21页，本讲稿共62页第22页，本讲稿共62页第23页，本讲稿共62页第24页，本讲稿共62页第25页，本讲稿共62页第26页，本讲稿共62页第27页，本讲稿共62页第28页，本讲稿共62页局部收敛性原理局部收敛性原理原理的局限性：原理的局

4、限性：（1）收敛域）收敛域 很难找很难找（2）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件.如：如：第29页，本讲稿共62页第30页，本讲稿共62页P=1，C1为线性收敛，为线性收敛，P=2为平方收敛。为平方收敛。收敛速度收敛速度第31页，本讲稿共62页 第四节第四节 非线性方程组的非线性方程组的NewtonNewton型算法型算法一、一、Newton-RaphsonNewton-Raphson方法的迭代格式方法的迭代格式第32页，本讲稿共62页第33页，本讲稿共62页第34页

5、，本讲稿共62页第35页，本讲稿共62页第36页，本讲稿共62页二、同伦算法二、同伦算法第37页，本讲稿共62页第38页，本讲稿共62页第39页，本讲稿共62页第40页，本讲稿共62页第41页，本讲稿共62页第42页，本讲稿共62页 求解非线性方程组的同伦算法求解非线性方程组的同伦算法%文件名：文件名：Homotopy.mfunction root=Homotopy(funcF,funcH,x,N,tol,Nmax)%功能功能:求解非线性方程组的同伦算法求解非线性方程组的同伦算法%输入输入:%funcF-原始方程函数句柄原始方程函数句柄%funcH-同伦方程函数句柄同伦方程函数句柄%x -初始

6、迭代点初始迭代点%N(可选可选)-同伦参数同伦参数t的划分数（默认是的划分数（默认是10）%tol(可选可选)-精度要求（默认是精度要求（默认是1e-4）%Nmax(可选可选)-最大迭代次数（默认最大迭代次数（默认100次）次）%输出输出:%root-解向量解向量 第43页，本讲稿共62页 if size(x,1)=1;x=x;end if nargin6;Nmax=100;endif nargin5|isempty(tol);tol=1e-4;endif nargintol&norm(f0)tol)&ktol&kN x1=x+dx;s=dx;f1=feval(myfun,x1);y=f1-f

7、0;B1=B0+(y-B0*s)*s/(s*s);B0=B1;f0=f1;x=x1;dx=B0(-f0);k=k+1;endroot=x;if k=N,warning(已达最大迭代次数已达最大迭代次数);endfprintf(迭代次数为迭代次数为:k=%dn,k);第51页，本讲稿共62页例例 用用Broyden秩秩1拟牛顿法求解如下非线性方程组在拟牛顿法求解如下非线性方程组在（1.5，0.75）附近的解）附近的解首先定义方程函数首先定义方程函数function y=fex8_5(x)y(1)=x(1)+2*x(2)-3;y(2)=2*x(1)2+x(2)2-5;y=y;然后运行以下主程序然后运行以下主程序x0=1.5,0.75;root=QuasiNewton(fex8_5,x0)迭代次数迭代次数:k=1root=1.4881 0.7560 第52页，本讲稿共62页第五节第五节 无约束优化算法无约束优化算法第53页，本讲稿共62页第54页，本讲稿共62页一、高斯一、高斯-牛顿法牛顿法第55页，本讲稿共62页构造模函数构造模函数 第56页，本讲稿共62页第57页，本讲稿共62页第58页，本讲稿共62页二、搜索法二、搜索法第59页，本讲稿共62页第60页，本讲稿共62页第61页，本讲稿共62页习题八习题八 P322-8数值实验题八数值实验题八 P322-9第62页，本讲稿共62页