工学量子力学课件.pptx

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1、既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？经典物理的观念么，如何理解这两属性呢？经典物理的观念是无法回答的，必须被修改。是无法回答的，必须被修改。主要表现：主要表现：波粒两象性波粒两象性 （粒子）（粒子）（波）（波）（PlanckPlanckPlanckPlanck假设）假设）EinsteinEinsteinEinsteinEinstein关系关系 一、一、实物粒子的波动性实物粒子的波动性1.1 1.1 波函数的统计解释波函数的统计解释第1页/共171页 （de Brogliede Broglie假设）假设）de Brogliede B

2、roglie关系关系 具有确定动量的具有确定动量的自由粒子自由粒子被一被一平面波平面波所描所描述述第2页/共171页 将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因这在经典物理学中看来是不可能的，因 经典粒子经典粒子 经典波经典波原子性（整体性）原子性（整体性）实在物理量的空间分布实在物理量的空间分布 轨道轨道 干涉，衍射干涉，衍射 这两者是不相容的。描述微观粒子既不能这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用，当然也不能用经经典粒子典粒子和和经典波经典波来描述。来描述。

3、第3页/共171页二、电子双缝实验 用一电子枪(由一加热的钨丝和一加速电极构成)向开有双缝的屏发射电子，再后面是接受电子的后障，先在其上安装一个可移动的检测器，它可以是盖革计数器，或者更好一点，与扩音器相连的电子倍增器，每当电子到来的时候，检测器发出咔哒的声响。如图a所示。第4页/共171页在实验中我们会发现，咔哒声出现的节奏是不规则的，但在每处较长时间内的平均次数是近似不变的，它与电子枪发出的电子流强成正比。为了避免咔哒声过分密集，不好计数，我们可以把电子枪的加热电流减弱，以减少电子的流强。我们甚至可以设想，电子流强如此之弱，当前一个电子从电子枪出发通过双缝屏到达后障之前，后一个电子不出发。

4、每次只有单个电子通过仪器。这时如果我们在后障上各处布满检测器，则会发现，每次只有一个检测器发出咔哒声。所有的咔哒声都一样强，从来不会发生两个或两个以上的检测器同时发出哪怕是较弱的咔哒声。这就是说，犹如上述子弹实验，电子是以“粒子”的形式被检测到的。第5页/共171页 现在先把缝2遮住，只允许电子从缝1通过。记录后障上各处检测到电子的数目。经过长时间的数据积累，可得到如图b所示的电子沿x方向的数密度分布曲线r1(x)。最后打开两缝做实验，起初后障上各处咔哒声此起彼落，貌似无规。经过长时间的数据积累，可得到如图c所示的电子数密度分布曲线r12(x)，得到的强度分布I12(x)(见该图c)，具有明显

5、的干涉效应特征。直到1970年代才有人发表干涉实验的结果。遮住缝l，打开缝2，重复上述实验，又可得到如图b所示的数密度分布曲线r2(x)。这里得到的曲线r1(x)和r2(x),没有干涉。r1r2第6页/共171页 当实验使电子从确定的狭缝通过时,电子表现得象粒子。当实验不确定使电子从哪一条狭缝通过时,电子表现得象波。如果说电子是“粒子”，我们能否说：每个电子不是通过缝1，就是通过缝2，两者必居其一。那么，干涉效应是怎样产生的呢?也许电子在通过双缝时分成了两半，每缝通过一半。为什么检测器接受的总是整个的电子，从未发现半个?怎样理解电子在上述双缝干涉实验中的这种行为?如果说电子是“波”，但实验测得

6、的是一个一个的电子。第7页/共171页上世纪九十年代中后期的“哪条路检测器”实验结果是，每个电子都只穿过一条缝,从未观察到某个电子同时穿过两缝的情况。该实验还表明,如果确定粒子从哪条路通过，那么就无干涉效应,即退相干,如果实验不确定粒子从哪条路通过,那么就出现干涉效应。“which way”实验在一条缝后放置一个足够强的照明光源。这样，穿过该缝的电子必定同时散射光子。探测有无散射光子原则上就可判定是从哪条缝穿过的。第8页/共171页总之，要设计出一种仪器，它既能判断电子通过哪条缝又不干扰干涉图样的出现，是绝对做不到的。这是微观世界里的客观规律，并非我们现在的实验手段不够高明。我们无法用我们的经

7、典观念来解释电子是怎样通过双缝而产生干涉现象的，我们只好说当实验确定电子是从哪条缝穿过时，这个对电子位置的测量过程实际上已经干扰了电子原来的状态，使得电子由原来的具有波粒二象性的状态突变到仅具有粒子性的状态，因而没有干涉现象发生。电子是以它自己的独特方式穿过双缝的。有关哪条路检测器如何退相干的实验，近来有很大的进展。近年来的研究进展表明，哪条路检测器的退相干作用，主要来自它与被探测客体量子态的交缠。第9页/共171页三、电子双缝实验干涉图样的Born几率诠释 电子通过双缝后的数密度分布呈现干涉图样反映了电子的波粒二象性,从而我们可得到物质波的Born几率诠释。后障上某点x邻域内的干涉花样强度正

8、比于 该点x邻域内的电子数密度大小,正比于出现在该点x邻域内的电子数目，正比于电子出现在该点x邻域内的几率。后障上某点x邻域内的干涉花样强度正比于电子出现在该点x邻域内的几率电子物质波在点x邻域内的强度 电子物质波在点x邻域内的强度 正比于电子出现在该邻域内的几率第10页/共171页实物粒子物质波在空间任一位置附近的强度 正比于粒子出现在该位置附近的几率。不难理解，对于其他实物粒子的物质波，可以有与电子同样的理解。即物质波的Born几率诠释:物质波是几率波这就是说根据物质波的这个几率诠释,粒子的波动性体现在与粒子出现在空间各点的几率相联系的波的波动性上。这样,粒子的波动性只是反映了微观客体运动

9、的一种统计规律性。在非相对论情况下,物质波的几率诠释正确地把实物粒子的波动性与粒子性统一起来,经历了无数的实验检验(如，散射粒子的角分布观测结果)。第11页/共171页四、四、波函数及其统计解释波函数及其统计解释1、物质波的描述量波函数物质波不是某种真实可测物理量的振动在空间中的传播！来描写,称之为波函数。它是粒子位置坐标和时间的复值函数，是不可测量的。描述物质波的量不应是一个可测的量。可测的量一般应是实数，故描述物质波的量不能取实数！假定 一个微观粒子的物质波总可以用一个函数象位矢作为时间的函数包含了经典粒子运动的全部信息一样，认为波函数完全描写了微观粒子的运动状态。因此，波函数又叫态函数。

10、第12页/共171页自由粒子的波函数:具有确定能量E和动量 (平面单色波)时:经典平面单色波波动式为由de Broglie物质波假设可假定（应取实部）一维情形:非相对论情形第13页/共171页2 波函数的几率诠释物质波的波强应正比于波函数的模的平方 由物质波的几率诠释就可知,应描写了粒子出现在空间各点的几率分布（或几率密度）,即点处的体积元DxDyDz中表示在t时刻在空间中粒子出现的几率。这就是波函数的几率诠释,也就是物质波的几率诠释，是M.Born研究散射问题时提出的。它是量子力学的基本原理之一。第14页/共171页 按统计解释，粒子出现在任何地点的几率必须有确定的，唯一的而且是有限的数值。

11、故波函数在其变量变化的全部区域内通常应满足三个条件：平方可积性（有限性）、连续性和单值性。这三个条件称为波函数的标准条件。当然，这是就一般情况而言的，在具体的问题中，还应根据实际的物理情况，有具体的要求。3 3、波函数的性质波函数的性质第15页/共171页n归一化条件，归一化常数 按照波函数的统计解释，很自然地要求粒子（在非相对论情况下，没有粒子产生和湮灭现象发生）必定要在空间中出现的，所以，在整个空间中粒子出现的几率总和应等于1，所以有这称之为波函数的归一化条件。注意:体积元表示为下列四种形式均可在直角坐标系中:在柱坐标系中:在球坐标系中:第16页/共171页与波函数 描述的相对几率完全相同

12、，换言之，和 所描述的几率波是完全相同的。因此，波函数有一个常数因子的不确定性。在这一点上，几率波与经典波有本质上的差别，一个经典波的波幅增加一倍，则相应的波动的能量为原来的4倍，因而代表了完全不同的波动状态。所描述的相对几率分布是完全相同的。例如，在空间点应强调指出，对于几率分布来说，重要的是相对几率分布。不难看出与（C为常数）和的相对几率，波函数描述的粒子的相对几率为第17页/共171页按上述解释，我们得出结论所描述的量子态与所描述的量子态是相同的，其中于是，我们将满足上式的波函数称为归一化波函数，而该式称为归一化条件。注意：与 表示意义区别？第18页/共171页将换成的步骤称为归一化，使

13、换成的常数，如满足平方可积条件 称为归一化常数。很显然，对任何一个波函数其中A为常数，则有 第19页/共171页即是归一化的波函数，即归一化常数。因此，归一化条件相当于波函数的平方可积条件，这实质上是要求为有限值，如该条件不能发散，则归一化常数为零，就不能被归一化。满足，即因此波函数第20页/共171页 例：已知基态氢原子的电子由波函数描写，试计算归一化常数C。其中为常数，是玻尔半径。第21页/共171页 解：为使归一化，要求于是得上式指出，归一化常数只能确定到其绝对值。因此，即使归一化后，波函数仍有一不确定的相因子为了方面，可取C为正实数，于是归一化波函数可写作，第22页/共171页 试对下

14、列波函数进行归一化第23页/共171页n n多粒子体系的波函数 以上关于单粒子波函数的讨论，很容易推广到N个粒子体系的情况，它的波函数可表为表示t时刻 粒子2出现在 粒子N出现在粒子1出现在 中 中 中的几率。此时第24页/共171页归一化条件表为以后，为表达简便，引进符号这样归一化条件就简单地写为第25页/共171页 波函数、几率密度的概念对于推动化学由纯经验学科向理论学科发展起着极为重要的作用.现代化学中广泛使用的原子轨道、分子轨道,就是描述原子、分子中电子运动的单电子波函数:第26页/共171页而“电子云”就是相应的几率密度:按照哥本哈根学派的观点,几率在量子力学中是原则性的、基本的概念

15、.原因在于微观世界中不确定原理起着明显的作用.第27页/共171页波函数 已经归一化，则 表示绝对几率密度，否则为相对几率密度，以后无特殊说明，所求几率密度和几率都是绝对几率密度和绝对几率 量子力学基本假设之一：在量子力学中，体系状态用波函数 （也称为态函数）来描述，一般要求波函数是单值的、连续的、平方可积的，波函数一般是复数，波函数模的平方 给出体系的状态的几率分布（波函数统计诠释）。注意：自由粒子波函数一般用平面波函数表示即：（一维）（三维）第28页/共171页其次，在整个空间找到粒子的几率之和为1例题1：设粒子波函数为 ，求在 范围内找到粒子的几率（或概率）书P8解：首先波函数必须归一化

16、故在 范围内找到粒子的几率，应该将y，z两个变量积分掉，即如果波函数 是归一化的，结果怎样？第29页/共171页其次，在整个空间找到粒子的几率之和为1解：首先波函数必须归一化例题2：设粒子波函数为 ，求（a）粒子在球壳 中被测到的几率；（b）在 方向的立体角元 中找到粒子的几率。书P8故（a）粒子在球壳 中被测到的几率，应该将，两个变量积分掉，即第30页/共171页（b）同理在 方向上的立体角元 中找到粒子的几率，应该将r积分掉。第31页/共171页第32页/共171页五、动量波函数和动量分布几率 当粒子的波函数为时,若测量粒子的位置,得结果是不确定的,但测得粒子在某个具体位置的几率是确定的。

17、那么,测量粒子的其它物理量例如动量,能量及角动量等,情况将如何?先讨论动量。则一般来说,所若波函数为波包的电子垂直入射到单晶晶面上，衍射谱应该测得动量的几率分布，即第33页/共171页在前述电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在晶体表面反射后，得到了的动量运动。以一个确定的动量运动的状态用波函数描写。但当入射粒子以包含不同动量的波包入射到晶体上，粒子的状态 可以表示为取各种可能的动量值 的平面波的线性叠加：第34页/共171页 粒子经过晶体表面反射后所产生的衍射现象，就是这许多平面波相互干涉的结果。可以连续地变化，因此上式中对 求和由于应以对 px,py,pz 积分来代替。都可以看成是各种不同动量

18、的平面波的叠加。下面来证明：任何一个波函数(1)式中(2)第35页/共171页这里我们已取平面波的归一化常数A等于其理由将在后面详细讨论。而(1)式中为这个结论的证明是很简单的：事实上，将(2)代入(1)式后给出(3)(4)(3)和(4)式说明 和互为傅立叶(Fourier)变换式，因而在一般情况下总是成立的。由以上讨论可以看出：第36页/共171页当 给定后，就可由(3)式完全确定，反之，当 给定后，就可由(4)式确定。由此可见，和是同一状态的两种不同的描述方式，互相等效。完全是量子态以 为自变量，在坐标空间的称表示(波函数)，是量子态在以 在动量空间的表示（动量几率分布函数）。这两种表示是

19、完全等价的.为自变量，关于表象理论，以及关于上述坐标空间和动量空间的严格意义，我们在后面将作深入讨论。利用复变函数中的巴塞瓦等式，不难证明第37页/共171页 我们称在时刻t，在 点附近单位体积内找到粒子的几率为动量表象的几率密度，并以是已经归一化的波函数，则这表明：如果也是归一化的波函数。表示：(6)(5）在一维情况下，(3)式和(4)式写为(7)第38页/共171页 时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。微观粒子不可能静止,静止意味着粒子坐标和动量可以同时取确定值,违反了测不准关系.在经典力学中，一个自由运动的质点不仅有一定的动量，并且每个时刻都有确定的位置。下面我们将看到，

20、对于微观粒子原则上这是不可能的。在同一时刻，粒子只可能有在一定限度以内的比较确定的动量和比较确定的位置。Heisenberg的不确定关系(也称为测不准关系)为六、不确定度关系六、不确定度关系上式表明微观粒子的位置（坐标）和动量不可能同时取确定值，这是波粒二象性的反映，当第39页/共171页可以参看书P11例题1例题3我们考虑“方脉冲”作为另一个例子它延伸到在点 x=0 周围的一个 2a 的区域。在这种情况下，有 以及的曲线。图表示这两个波包的第40页/共171页函数在点 p0 出现十分尖锐的峰值，p0 的时达到），极小值被一些极减小，人们可以主要地集中在主的第一对之间。的光延越小，两边围绕着一

21、些相继减小的极小值大值分开，极大值高度按说波峰值两边的零点之间，亦即广延于越大：（在第41页/共171页 迄今为止，测不准关系是作为数量级的关系表示出来的。当然，在我们还没有对量度各种不确定度的量x,p，等等采用一种精确的定义之前，这是不可避免的。对这些量采用适当的定义以后，我们将得到一种精确的陈述。但是，人们必须坚持这一事实，即测不准关系的根本意义已经包含在数量级的结果之中，这并未低估严格陈述可能有的优点：在任何情况下，都不能认为量子粒子同时有严格精确的位置和严格精确的动量。赋予粒子以精确位置和动量的想法值在作用量子可以忽略的程度内，也就是在经典理论成立的范围内，才是正确的。第42页/共17

22、1页n 时间能量测不准关系 是处于某个能级的宽度，是粒子呆在对应能级上的平均时间（或寿命），原子在激发态上是不稳定的，即只存在一定时间，因此根据时间能量测不准关系可知，激发态能级存在一定宽度，这就是原子光谱存在自然宽度的原因，也是激光所发出的光不可能只包含一种波长的原因。第43页/共171页力学量出现的各种可能值的相应几率就完全确定。利用力学量出现的各种可能值的相应几率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而和统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而和实验观测值做比较。实验观测值做比较。原则上，一切力学量的平均值都能原则上，一切力学量的平均值都能由由 给出，而且这些

23、平均值就是在给出，而且这些平均值就是在 所描写的状态下相所描写的状态下相应的力学量的观测结果应的力学量的观测结果。在这种意义下，一般认为，波。在这种意义下，一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。函数描写了粒子的运动状态。在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数来描述。一般认为，一旦给出了波函数 ，就确定了微观粒子的运动状态。但波函数本身不是直接的可观测量，当微观粒子处于某一状态时，粒子的力学量一般不具有确定的值，而是具有一系列的可能值，每一可能值以一定的几率出现。当给定描述粒子运动状态的波函数 后，七、七、力学量的平均值与算符的引进力学量的平均值与算符的引进第44页/共171页1.统计平均值的

24、意义：(8)如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ，得到相应的值为 ，在总的实验次数N中，得到这些值的次数分别是 ，则 的（算术）平均值为当总的实验次数 时，量 的平均值的极限便是 的统计平均值第45页/共171页 式中 为量 出现值 的几率。如果变量 是连续分布的，则上述统计平均值可以表示成(9)(10)式中 为量 处于单位间隔内的几率，或称几率密度，或称量 的统计分布函数第46页/共171页（1）首先讨论坐标表象的情况。对以波函数 描写的状态，按照波函数的统计解释，表示在t时刻在 中找到粒子的几率，因此坐标 的平均值显然是2.在坐标和动量表象中的力学量平均值(11)假设波函数 已经归

25、一化，即 则上式可写为第47页/共171页 坐标 的函数 的平均值是(12)这里假设波函数已归一化 其物理意义和我们对 所做的解释一样：它是对N个大量数目的、等价的，彼此独立的且由同一波函数 表示的体系做 测量结果的平均值。第48页/共171页（2）现在讨论动量算符的平均值。显然，的平均值 不能简单的写成(13)因为 只表示粒子在 中的几率，而不代表在 中找到粒子的几率。要计算 ，就应该先找出在t时刻在 中找到粒子的几率 。而 由公式第49页/共171页 这里已经用了若 归一，则 也归一的条件。给出。因此，动量 的平均值可以表示为(15)(14)第50页/共171页 下面我们从波函数 出发，给

26、出计算动量平均值的方法。事实上，我们有第51页/共171页(16)利用了第52页/共171页 这样我们就找到了一个用波函数 直接计算动量平均值的公式，即只需以微分算符 作用在 之上，然后乘以 ，再对全空间积分就可以了。记动量算符为：(17)则（15）式可表为：(18)称为动量算符第53页/共171页动量算符的分量形式为：(20)(19)(18)第54页/共171页动量平均值的分量形式为：(23)(22)(21)第55页/共171页利用数学归纳法不难证明，对于正整数n，有对于 ，也有同样的等式。如果 是的解析函数，且可展成 的幂级数 (25)(24)第56页/共171页 则有 (26)第57页/

27、共171页上面的结果立即可以推广到三维情形：例如，动能的平均值是(28)(27)第58页/共171页（18）式表明：动量的平均值依赖于波函数的梯度 。按照德布罗意关系，波长越短，动量越大。显然，若 越大，则 越短，因而动量平均值也越大。角动量的平均值是：(29)第59页/共171页 综上所述，我们可以得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。当我们用坐标表象中的波函数来计算动量平均值时，需要引进动量算符，除此之外，能量算符和角动量算符也可依此引进：第60页/共171页(30)第61页/共171页 一般地，微观粒子的任何一个力学量F的平均值总可以表示为 其中 是力学量 相应的算符。如果该

28、力学量 在经典力学中有相对应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表达式 中将 换成算符 而得出，即(31)(32)第62页/共171页 正如前面已阐述过的，同一量子态可用坐标表象中波函数 表示，也能用动量表象中的波函数 来表示。在动量表象中，坐标也必须用算符表示，容易证明，在动量表象中的坐标算符是 (33)第63页/共171页平均值是或者(35)(34)第64页/共171页并且可推广到的函数 情形:一般来说，粒子的任何一个力学量A的平均值均可在坐标及动量表象中分别表示为(37)(36)(38)第65页/共171页及 及 即为力学量A在坐标和动量表象中的算符。(39)第66页/共171页1.2

29、 薛定谔（Schrdinger）方程 Schrdinger方程的引进 n 在经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿方程。牛顿方程是关于变量的二阶全微分方程。方程的系数只含有粒子的质量m。一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以后任何时刻的运动状态。第67页/共171页n 在量子力学中，体系的运动状态由波函数 描述。换言之，我们就体系在给定时刻t 的性质所能做出的所有预言，全都可以由该时刻的推得。因此，和经典力学类似，理论的核心问题是：已知某一初始时刻 t0 的波函数，设法确定以后各时刻的波函数。为了做到这一点，我们必须知道决定 随t变化规律的方程式。第68页/共171页n 自由粒子情形 对于

30、自由粒子这一特殊情况，方程的解应是平面波：它是所要建立的方程的解。对时间求微商：因它的系数中含有能量E，故不是所要求的方程。（1）（2）第69页/共171页再对（1）式求对坐标的二次微商，得 将以上三式相加，得到（3）第70页/共171页利用自由粒子的能量和动量关系式（非相对论情形）式中m是粒子质量，并比较（2）和（3）式，即可得到上式表明，至少对自由粒子来说，平面波的解可由方程（5）的一个特解给出。（4）（5）第71页/共171页描述自由粒子的一般状态的波函数是许多频率为，波矢为的单色平面波的叠加：式中。不难证明第72页/共171页所以回忆上述推导过程，可看出，它也满足对应原理的要求。的确，

31、在一定意义上，方程（5）是经典方程（4）过渡到量子力学的形式；在量子语言中，能量和动量是按对应规则（6）由作用在波函数上的微分算符表示的。第73页/共171页通常我们称和分别为能量和动量算符。关于算符的概念，将在后面章节中作系统介绍。第74页/共171页n 在势场V中的粒子情形 现利用算符对应关系（6）来建立在某一标势场 中粒子波函数所满足的方程。此时粒子的非相对论能量动量关系为 由对应规则（6）式，再作用于波函数上，得（7）（8）第75页/共171页 称为系统的Hamilton量算符，简称为系统的哈密顿量。式（8）就是势场作用下的薛定谔方程。第76页/共171页在时变势场中的运动与外界有能量

32、交换，粒子的能量一般不守恒，相应的问题为非定态问题（在后面的章节里我们会专门讨论这类问题）。我们也可重复上面的讨论，在前一种情形 便是经典的含时系统，对应成为量子含时系统时，由于V中含有时间参数，量子系统的Hamilton量，含时，成为含时量子系统，表明粒子第77页/共171页 薛定谔方程的讨论 n 定域的几率守恒 前面我们曾经提出一个问题：一旦将波函数归一化后，能否保证永远如此。这牵涉到能否保持总的几率永远是1，因而波函数统计解释能否成立的问题。第78页/共171页 从物理上看，薛定谔方程是非相对论性量子力学的基本方程（目前我们的讨论局限于非相对论量子力学）。在非相对论（低能）情形下，实物粒

33、子（m0）没有产生或湮灭的现象，所以在随时间变化的过程中，粒子数目将保持不变。对于一个单粒子来说，在全空间中找到它的几率之和应不随时间改变，即 第79页/共171页这个结论不难从薛定谔方程加以证明。事实上：第80页/共171页定义：利用上式，我们得到对于平方可积的波函数，在无穷远处应为零（数学上可证明，这种波函数在 r 时，渐近行为是 ，故令r时，曲面 S所有面元都被移到无穷远处，因而上式右边面积分为零，即即波函数的归一化不随时间改变。（9）第81页/共171页n 几率流密度（粒子流密度）守恒定律 我们知道在时刻t，在点 周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度，它可表为于是，由上述推导可看出，

34、显然有即（10）第82页/共171页此即几率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程一样。为说明这个方程和矢量 的物理意义，我们回到几率守恒的积分表达式（9）。从该式可看出：左边表示单位时间内体积V中找到粒子的总几率（或粒子数）的增量，右边是矢量 在体积V的边界面S上内法线方向上投影的面积分，代表单位时间内通过封闭曲面S流入V的几率（或粒子数），所以 具有几率流密度的意义。注意：如 因而 第83页/共171页假如我们讨论的是带电粒子，它带有电荷e，在归一化和统计意义上，带电粒子在点 处贡献的等效电荷密度为ee，于是以e乘以几率守恒的微分表达式（10），就得到量子力学的电荷守恒定律（微分

35、形式）：式中 是带电粒子运动所造成的有效电流密度。电荷守恒定律表明，在全空间粒子的电荷总量不随时间变化。第84页/共171页同理可得出量子力学中（统计意义上）的质量守恒定律：（微分形式）（积分形式）第85页/共171页补记：只有大量相同粒子处在相同状态，用同样波函数 描述，才可以把|2 解释成粒子密度，如每个粒子带电荷q，于是 q|2 代表电荷密度，代表电流密度，故如有大量的粒子处于完全相同状态，则波函数将具有实在的物理意义而伸展到宏观领域。由于光子是玻色子，可有许多光子处于同一状态。当大量光子处于同一状态时，其波函数就是矢势 ,故可通过宏观尺度上的测量直接认识到光子波函数 的性质。而电子是费

36、米子，不可能有两个电子处于同一状态（Pauli 原理)，故一般认为不会有宏观体现，但低温超导提供了反例：超导是金属中大量的电子库泊(Cooper)对的相干关联产生的现象，此时电子对可近似地看成玻色子。第86页/共171页例题1:求球面波波函数 的几率密度和几率流密度 解:几率密度第87页/共171页几率流密度 已知在球坐标系中先计算第88页/共171页这样再计算第89页/共171页则几率流密度 结果说明由中心向外传播的球面波,几率密度随r增大而减小,粒子沿径向传播.第90页/共171页例题2:在t=0时，自由粒子波函数为(1)给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率幅；(2)求出动量几率密

37、度最大的动量值；(3)求出发现粒子 在区间中的几率；(4)（积分形式即可）。第91页/共171页解:(1)动量的几率幅第92页/共171页该态中粒子动量可能测得值为(2)求出动量几率密度最大的动量值有解为 第93页/共171页(3)发现粒子 在区间中的几率；(4)第94页/共171页例题3.设质量为m的粒子在势场V（r）中运动（书中P25，第1题）（a）证明粒子的能量平均值为 (b)证明能量守恒公式 第95页/共171页（a）证明粒子的能量平均值为第96页/共171页注意：第97页/共171页(b)证明能量守恒公式（是矢量算符）第98页/共171页n 初值问题，传播子 由于薛定谔方程只含有时间

38、的一次微商，只要在初始时刻（t=0）的状态 给定了，则以后任何时刻t的状态 原则上就完全确定了。换言之，薛定谔方程给出波函数（量子态）随时间的因果关系。在一般情况下，这个初值问题的求解是不容易的，往往要采用近似方法，但对于自由粒子容易严格求解。第99页/共171页前已证明，如下形式的解（式中）满足自由粒子的薛定谔方程。的初态波函数为（11）正是的Fourier展开的波幅，它并不依赖于t，上式逆变换为（12）第100页/共171页将（12）代入上述形式解，得式中（自由粒子）。这样，体系的初始状态完全决定了以后任何时刻t的状态。（13）第101页/共171页更一般地，取初始时刻为 ，则（14）式中

39、 （15）第102页/共171页 称为传播子。借助于体系在时刻 t 的状态 可由时刻 t(tt)的状态 给出（见14式）。对于自由粒子(）这个传播子由（15）式明显给出，可以证明（16）第103页/共171页的物理意义如下：设初始时刻 t 粒子处于空间点 ，按（14）式，。所以 即 t 时刻在 点找到粒子的几率波幅。因此，可以一般地说，如在时刻 t 粒子位于点 ，则在 t 时刻在空间点 找到由 传来的粒子几率波幅就是 ，即粒子从 传播到了 。式（14）则表示：在t时刻于空间点 找到粒子的几率波幅 是时刻 t(t)粒子在空间中各 点的几率波幅传播到点 后的相干叠加。第104页/共171页例题1.

40、设一维自由粒子初态为 ，证明在足够长时间后，式中 是的Fourier变换。提示：利用书中P26，第5题第105页/共171页证明：的Fourier展开为第106页/共171页 不含时间的薛定谔方程，定态 n定态在一般情况下，从初始状态求是不容易的（在后面将介绍近似方法求解它）。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形假设势场V不显含时间 t（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（8）可以用分离变量数法求其特解。令特解为（17）第107页/共171页代入（8）式，分离变量后，得其中E是即不依赖于t，也不依赖于的常量，这样（18）的解为其中C为任意常数。因此特解可表为（1

41、9）第108页/共171页其中常数C已归并到这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是按照德布罗意关系，E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（19）式所描写状态时，能量具有确定值E，所以这种状态称为定态，这里与时间无关的波函数，是能量为E时的下列方程 之中。（20）的解。该方程称为不含时间的薛定谔方程。第109页/共171页n哈密顿算符、能量本征值方程以乘以（18）两边，乘以（20）两边，满足下列方程：（21）可以看出波函数由（19）式所定义的（22）这两个方程类型相同，它们都是以一个算符，作用在波函数上得出一个数E乘以。第110页/共171页这表明，算符和是相

42、当的，这即可以从它们作用于定态（19）式的结果看出，也可以从薛定谔方程（8）看出，它们作用于体系的任意一个波函数上都是相当的。这两个算符都称为能量算符。如前所述，因为算符是通过经典力学中的哈密顿函数H=T+V代换而来的，所以这种算符又称为Hamilton算符，通常以表示，于是（22）又可写为（23）的作用效果第111页/共171页薛定谔方程的普遍形式为当体系Hamilton中运动的特殊情况，（24）不显含时间t时，（8）可以分离变量。此时，不含时薛定谔方程表为（25）对于一个粒子在势场方程（24）和（25）就化为方程（8）和（20）。对于更复杂的体系，其薛定谔方程的具体表达式，关键在于写出其哈

43、密顿算符。小结一下：第112页/共171页从数学上讲，对于任何E值，不含时的薛定谔方程（20）都有解，但并非对于一切E值所得出的解都满足物理上的要求。这要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边条件，周期性边条件，散射态边条件等。在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些E值所对应的解才是物理上可以接受的。这些E值称为体系的能量本征值，而相应的解称为能量本征函数，不含时薛定谔方程（20）中粒子的能量本征方程。实际上就是势场第113页/共171页n定态的性质和含时薛定谔方程的一般解由以上讨论可以看到，这归结于求解定态薛定谔方程（20），求出能量的可能值

44、E和波函数当粒子处于定态时，一切可观测的物理性质都不随时间变化，例如 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及其本征能量值E。第114页/共171页粒子在空间的几率密度 以及几率流密度 不随时间变化任何（不显含t的）力学量平均值不随时间改变：任何（不显含t的）力学量的测值几率分布也不随时间变化（详见后面有关章节的讨论）。如果对于同一E值，存在几个线性无关的函数，满足同一定态方程，这种情况称为简并，其中线性无关函数的个数则称为对应能级的简并度。第115页/共171页 定态解的正交性与完备性 我们证明属于不同能量的定态解彼此正交。设（26a）以乘（26a）式，以然后相减并对整个空间积分，得（

45、26b）乘（26b）式，第116页/共171页以上第二步用到为实函数。第117页/共171页将上式中对散度的积分用高斯定理化为在无穷远闭合曲面积分，并设在无穷远处为零，因而右边积分为零，于是得（27）若 EnEm，则有（28a）即 m 与 n 正交。第118页/共171页当 En=Em 时，如果能级不简并，m 与 n 实为同一函数，故积分不为零，适当选取常数可使其归一化。如果能级简并，简并度为 f，则我们总可以从这 f 个线性无关的简并波函数中重新组合出 f 个函数，使其互相正交并归一化。于是定态解的全体满足以下正交归一化条件此后，可以证明（见后面章节讨论），线性无关的定态解组成一完备集,于是

46、，任意函数皆可按其展开（28b）的所有（29）第119页/共171页由正交归一性容易算出其系数以上正交性和完备性，实际上是所谓“线性厄米算符”本征函数的普遍性质。关于这个问题的讨论及完备性的证明将在后面有关章节中给出。（30）第120页/共171页 含时薛定谔方程的一般解初值问题 定态是系统的稳定状态。注意，即使系统的哈密顿算符不显含时间，系统并非必须于定态。系统处于什么状态与初始情况有关。所以，一般情况下，我们尚需讨论在任意给定的初始条件下，系统将如何运动。薛定谔方程为一齐次线性微分方程，其通解可表示为诸特解的线性叠加（31）第121页/共171页t=0 时应有（32）的完备性，保证了对于任

47、意给定的初值上式都能成立。根据的正交归一性，其中Cn 可由（30）式求出，代回（31）式，即得到随时间的变化。第122页/共171页由以上讨论可知，在不显含时间的情况下，的本征函数展开，然后将各项乘以相应即可。为了求随时间的演化，仅需将初始时刻的按的时间因子第123页/共171页注意，（31）所描述的定态的叠加，一般不再是定态。由于各项相位变化快慢不同，一段时间之后，重新叠加起来，结果已与初态大不相同，态的各种性质也将发生变化。但是，系统处于各个定态或能级的几率都与时间无关。更精确地讲，如果了的，则能量的测量给出 En 值的几率为因此，是归一化。就是发现体系处在第n态的能量测量值为En的几率。

48、第124页/共171页还须指出，根据表达式中的态可以是分立的，也可是连续的或混合能量（分立、连续同时存在）的情况下存在。尽管如此，我们仍旧把这种叠加写成上面求和的形式，但必须懂得这只是象征性的。的具体形式，在通解（31）第125页/共171页n定态薛定谔方程的边界条件 l若势函数解，波函数及波函数对空间坐标的一级微商也处处连续。处处连续，则薛定谔方程的l若势能具有某一不连续的间断点或间在这一间断点或面上仍然是断面，则和连续函数。第126页/共171页l若势函数具有一阶奇点，则在奇点处波不连续。但在非相对论量子力学中，在薛定谔方程的意义下，粒子不能穿透势能为无穷大的空间区域，故在这些区域内 0，

49、但在该区域的边界上，仍然是连续函数。函数连续，但波函数对空间坐标一级微商第127页/共171页多粒子系的 Schrdinger方程将单粒子的薛定谔方程推广到N个粒子的情形是直接的。设体系由N个粒子组成，质量分别为，体系波函数表为设第 i 个粒子受到的外势场为相互作用为，则薛定谔方程可表为，粒子之间（33）第128页/共171页其中而不含时薛定谔方程表为例如，对于有 z 个电子的原子，电子系的相互作用为Coulomb排斥作用（35）（34）第129页/共171页而原子核对第 i 个电子的Coulomb吸引能为（取原子核位置为坐标原点，无穷远处为势能原点）电子系的薛定谔方程可表为第130页/共17

50、1页 描述体系状态的波函数随时间的演化由Schrodinger方程来描述量子力学假设之二：量子力学假设之二：其中是哈密顿算符，是动能算符与势能算符之和第131页/共171页 关于量子态的概念 n n关于物理对象的运动过程的理论描述，总是需要通过物理对象的若干属性或物理量在时间和空间的变化来做出具体的表达。例如，通过位矢x、动量P（或速度v）以及角动量、动能、势能等物理量的变化（随时间的变化），可以具体表达出一个质点的运动过程；通过电场和磁场的时间和空间的变化，可以表达出电磁场的运动和传播过程。1.3 量子态叠加原理第132页/共171页 事实上，这些物理量（以下称为力学量），也正是实验观测的对