平面问题的基本理论课件.pptx

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1、为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求做到：1、清楚地了解上述有关问题的提出与分析的方法；2、自己动手推导公式，以加深理解；3、及时对内容进行总结，掌握其要点。Chapter 2本章学习指南第第2页页/共共164页页第1页/共164页 2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理及其应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数Contents本 章 目 录第第3页页/共共164页页第2页/共16

2、4页任何一个弹性体是空间物体，外力为空间力任何一个弹性体是空间物体，外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。系。实际的弹性力学问题都是空间问题。空间问题的简化与近似：当弹性体具有特殊空间问题的简化与近似：当弹性体具有特殊形状、承受特殊的外力与约束时，可进行简形状、承受特殊的外力与约束时，可进行简化，使得分析与计算工作量大大减少，所得化，使得分析与计算工作量大大减少，所得结果仍然可以满足工程精度要求。结果仍然可以满足工程精度要求。Chapter 2.12.1 平面应力与平面应变问题第第4页页/共共164页页第3页/共164页1.基本未知函数均是平面（基本未知函数均是平面（xy面）内的物理

3、面）内的物理量；量；2.这些未知函数仅为这些未知函数仅为x、y两变量的函数。两变量的函数。Chapter 2.1应力分量应力分量 应变分量应变分量 位移分量位移分量空间问题空间问题663平面问题平面问题332表2.1 未知函数个数比较什么样的问题是平面问题？第第5页页/共共164页页第4页/共164页Chapter 2.1平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题有两类问题可以简化为平面问题。有两类问题可以简化为平面问题。哪些问题可简化为平面问题？第第6页页/共共164页页第5页/共164页Chapter 2.1平面应力问题条件：平面应力问题条件：等厚度等厚度的薄板；的薄板；体力体力 、

4、作用于体内，作用于体内，面，沿板厚不变；面，沿板厚不变；面力面力 、作用于板边，作用于板边，面，沿板厚不变；面，沿板厚不变；约束约束 、作用于板边，作用于板边，面，沿板厚不变。面，沿板厚不变。1.平面应力问题第第7页页/共共164页页第6页/共164页几何特征几何特征受力特征受力特征Chapter 2.1一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。xyyzba 平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿z z 方向不变化。方向不变化。1.平面应力问题第第8页页/共

5、共164页页第7页/共164页选取坐标系，以板的中面为选取坐标系，以板的中面为xyxy 平面，垂直于中面平面，垂直于中面的任一直线为的任一直线为 z z 轴。由于板面上不受力，有轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z z 轴方向不变。轴方向不变。可认为整个薄可认为整个薄板的各点都有：板的各点都有：应力特征Chapter 2.11.平面应力问题第第9页页/共共164页页第8页/共164页结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。由剪应力互等定理，

6、有由剪应力互等定理，有xyChapter 2.11.平面应力问题第第10页页/共共164页页第9页/共164页所谓平面应力问题，就是只有平面应力分量 （，和 ）存在，且仅为 ，的函数的弹性力学问题。Chapter 2.11.平面应力问题小结第第11页页/共共164页页第10页/共164页Chapter 2.1平面应变问题条件是平面应变问题条件是：无限长无限长的常截面柱体；的常截面柱体；体力体力 、作用于体内，作用于体内，面，面，沿长度方向不变；沿长度方向不变；面力面力 、作用于柱面，作用于柱面，面，面，沿长度方向不变；沿长度方向不变；约束约束 、作用于柱面，作用于柱面，面，面，沿长度方向不变。

7、沿长度方向不变。2.平面应变问题第第12页页/共共164页页第11页/共164页几何特征：几何特征：具有很长纵向轴的柱形体，横截具有很长纵向轴的柱形体，横截面大小和形状沿轴线长度不变面大小和形状沿轴线长度不变变形特征变形特征：截面、外力、约束沿截面、外力、约束沿z z向不变，外力、约束向不变，外力、约束xyxy面，柱体无限长。面，柱体无限长。故故任何任何 z z 面（截面）均为对称面面（截面）均为对称面。外力特征外力特征：体力、面力和约束平行于横截面，：体力、面力和约束平行于横截面，且沿长度不变；柱体的两端受固定约束；且沿长度不变；柱体的两端受固定约束；Chapter 2.12.平面应变问题第

8、第13页页/共共164页页第12页/共164页Chapter 2.1任一横截面均可视为对称面，则有任一横截面均可视为对称面，则有仅存在仅存在平面位移问题平面位移问题仅存在仅存在平面应变问题平面应变问题2.平面应变问题第第14页页/共共164页页第13页/共164页Chapter 2.1所谓平面应变问题，就是只有平面应变分量 （，和 ）存在，且仅为 ，的函数的弹性力学问题。(1)平面应变问题中平面应变问题中 ，但，但 (2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：两两点点注注意意 仅为仅为 的函数。的函数。2.平面应变问题小结第第15页页/共共164页页第14页/共164页名称名称平面应

9、力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量应力应力s sx、s sy、t txys sz=t txz=t tyz=0s sx、s sy、t txys sz=(x+y)t txz=t tyz=0应变应变e ex、e ey、g gxye ez=-(x+y)/E g gxz=g gyz=0e ex、e ey、g gxye ez=0 g gxz=g gyz=0 位移位移u、vw 0u、vw=0外力外力体力、面力和约束作用于体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿板厚均布面内，且沿板厚均布体力、面力和约束作用于体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿面内，且沿

10、z轴不变轴不变形状形状等厚度薄板等厚度薄板等截面长柱体等截面长柱体Chapter 2.1平面问题的总结第第16页页/共共164页页第15页/共164页平面问题特点：平面问题特点：1、基本未知量为、基本未知量为8个，均为平面（个，均为平面（oxy面）内的面）内的物理量；物理量；2、所有未知量仅是、所有未知量仅是x和和y两个变量的函数；两个变量的函数；3、相对于空间问题，其基本物理量、基本方程、相对于空间问题，其基本物理量、基本方程均减少，使得它比一般空间问题简单得多；均减少，使得它比一般空间问题简单得多；4、主要有两类：平面应力、平面应变。、主要有两类：平面应力、平面应变。Chapter 2.1

11、平面问题的总结第第17页页/共共164页页第16页/共164页问题问题已知已知：外力（体力、面力）、边界条件：外力（体力、面力）、边界条件求求：Chapter 2.1仅为仅为 的函数的函数平面问题的求解第第18页页/共共164页页第17页/共164页需建立三个方面的关系需建立三个方面的关系：（1 1）静力学关系：）静力学关系：（2 2）几何学关系：）几何学关系：（3 3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力体力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件建立边界条件：平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物

12、理方程（1 1）应力边界条件）应力边界条件（2 2）位移边界条件）位移边界条件Chapter 2.1平面问题的求解第第19页页/共共164页页第18页/共164页例例 2.1.1例例 2.1.2例例 2.1.3Chapter 2.12.1 例题第第20页页/共共164页页第19页/共164页Contents 2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理及其应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数本

13、 章 目 录第第21页页/共共164页页第20页/共164页Chapter 2.2平衡微分方程平衡微分方程 表示区域内任一点（表示区域内任一点（x，y）的）的微分体的平衡条件。微分体的平衡条件。2.2 平衡微分方程平面问题的平面问题的静力学静力学方面，方面，在弹性体在弹性体内任一点取出一个微分体，根据平衡条内任一点取出一个微分体，根据平衡条件来导出件来导出应力分量应力分量与与体力分量体力分量之间的关之间的关系式系式。即平面问题的平衡微分方程。即平面问题的平衡微分方程。第第22页页/共共164页页第21页/共164页 在任一点（在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体取出一微小的平行六面体 作用

14、作用于微分体上的力：于微分体上的力：体力体力：。应力应力：作用于各边上，：作用于各边上，并表示出正面上由坐并表示出正面上由坐标增量引起的标增量引起的应力增应力增量量。Chapter 2.2取微元体分析思考：思考：这里为何不考虑面力？这里为何不考虑面力？第第23页页/共共164页页第22页/共164页Chapter 2.2应用的基本假定应用的基本假定：连续性假定连续性假定应力用连续函数来表示。应力用连续函数来表示。小变形假定小变形假定用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。列出平衡条件：列出平衡条件：合力合力=应力应力面积，体力面积，体力体积；体积；以正向物理量来表示；以

15、正向物理量来表示；平面问题中可列出三个平衡条件平面问题中可列出三个平衡条件平面问题的平衡微分方程第第24页页/共共164页页第23页/共164页平面问题的平衡微分方程Chapter 2.2其中一阶微量抵消，并除以其中一阶微量抵消，并除以 得：得：由由 得：得：第第25页页/共共164页页第24页/共164页Chapter 2.2得当当 时，得切应力互等定理时，得切应力互等定理:，同理可得：，同理可得：平面问题的平衡微分方程第第26页页/共共164页页第25页/共164页平面问题的平衡微分方程Chapter 2.2 两类平面问题均适用第第27页页/共共164页页第26页/共164页(1)两个平衡

16、微分方程，三个未知量 超静定问题，需找补充方程才能求解。(2)对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡,上述方程两类平面问题均适用；(3)平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关；(4)平衡方程在整个弹性体内都满足，包括边界。Chapter 2.2平衡微分方程说明第第28页页/共共164页页第27页/共164页Chapter 2.2 比较理力、材力和弹力比较理力、材力和弹力 理力理力考虑整体考虑整体 的平衡（只决定整体的的平衡（只决定整体的运动状态）。运动状态）。材力材力考虑有限体考虑有限体 的平衡（近似）。的平衡（近似）。弹力弹力考虑微分体考虑微分体 的平衡。的平衡。理力（V

17、）材力（）弹力（）hV dxdy dx 当当 均平衡时，保证均平衡时，保证 、平衡；反之平衡；反之则不然。则不然。所以弹力的平衡条件更为严格。所以弹力的平衡条件更为严格。平衡微分方程说明第第29页页/共共164页页第28页/共164页例例2.2.1Chapter 2.22.2 例题第第30页页/共共164页页第29页/共164页Contents 2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理及其应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2

18、.10 常体力情况下的简化 应力函数本 章 目 录第第31页页/共共164页页第30页/共164页Chapter 2.3问题的提出：问题的提出：已知已知：任一点处坐标面上应力分量：任一点处坐标面上应力分量 ;Q1Q1：斜面上应力分量：斜面上应力分量Q2Q2：斜面上的正应力和切应力：斜面上的正应力和切应力Q3Q3：主应力和应力主向：主应力和应力主向Q4Q4：最大和最小的正应力和切应力：最大和最小的正应力和切应力斜面上的应力。求:2.3 平面问题中一点的应力状态第第32页页/共共164页页第31页/共164页2.3 平面问题中一点的应力状态Chapter 2.3第第33页页/共共164页页第32页

19、/共164页问题问题1：已知任一点处坐标面上的应力分量：已知任一点处坐标面上的应力分量s sx，s sy和和t txy，求经过该点、平行于求经过该点、平行于z轴而斜轴而斜交于交于x轴和轴和y轴的任何斜面上的应力轴的任何斜面上的应力p？取如图所示的微分三角板或三棱柱取如图所示的微分三角板或三棱柱PABPAB，当平面当平面ABAB无无限接近于限接近于P P点时，该平面上的应力即为所求。点时，该平面上的应力即为所求。根据该微分单元的力系平衡条件，在根据该微分单元的力系平衡条件，在x x和和y y轴方向上合轴方向上合力为力为0 0，从而有：，从而有：Chapter 2.3Q1：求应力分量第第34页页/

20、共共164页页第33页/共164页Chapter 2.3将将 向法向、切向投影，得向法向、切向投影，得 任意斜截面上应力计算公式任意斜截面上应力计算公式问题问题2：求经过该点、平行于：求经过该点、平行于z轴而斜交于轴而斜交于x轴和轴和y轴轴的任何斜面上的正应力和切应力？的任何斜面上的正应力和切应力？Q2：求正应力和切应力第第35页页/共共164页页第34页/共164页Chapter 2.3Q3：求主应力与应力主向设经过设经过P点的某一斜面上的切应力等点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在于零，则该斜面上的正应力称为在P点的点的一个一个主应力主应力，而该斜面称为在，而该斜面称为在

21、P点的一个点的一个应力主面应力主面，该斜面的法线方向（即主应力，该斜面的法线方向（即主应力的方向）称为在的方向）称为在P点的一个点的一个应力主向应力主向。第第36页页/共共164页页第35页/共164页又由于有又由于有Chapter 2.3设如图所示的斜面上设如图所示的斜面上 ，则则 ，于是有，于是有问题问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上的主应力求此斜面上的主应力s s和应力主方向和应力主方向a a？Q3：求主应力与应力主向第第37页页/共共164页页第36页/共164页从而有关于方向余弦从而有关于方向余弦l,m 的线性方程组：的线性方程组

22、：展开得平面问题的主应力特征方程：展开得平面问题的主应力特征方程：Chapter 2.3第第38页页/共共164页页第37页/共164页下面求应力主向：下面求应力主向：Chapter 2.3两个应力主方向是相互垂直的两个应力主方向是相互垂直的将所求主应力将所求主应力s s1代入第一个方程：代入第一个方程：将所求主应力将所求主应力s s2代入第二个方程：代入第二个方程：第第39页页/共共164页页第38页/共164页问题问题4、已知任一点处两个主应力、已知任一点处两个主应力s s1和和s s2，及其及其应力主方向，可求得经过该点正应力、切应力应力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值

23、。的最大和最小值。为了分析简便，选取为了分析简便，选取x轴和轴和y轴轴分别与两个应力主方向一致，分别与两个应力主方向一致，则该点的应力分量为则该点的应力分量为Chapter 2.3Q4：求应力极值第第40页页/共共164页页第39页/共164页先求正应力的极值两个主应力就是正应力的最大和最小值两个主应力就是正应力的最大和最小值且且Chapter 2.3第第41页页/共共164页页第40页/共164页Chapter 2.3再求切应力的极值当当 时，切应力的最大和最小值如下时，切应力的最大和最小值如下最大(最小)切应力发生在与应力主向成45角的斜截面上第第42页页/共共164页页第41页/共164

24、页已知任一点处坐标面上的应力分量已知任一点处坐标面上的应力分量s sx，s sy和和t txy，可求解如下四个问题：可求解如下四个问题：1.任何斜面上的应力任何斜面上的应力p：2.任何斜面上的正应力任何斜面上的正应力s sn和切应力和切应力t tn：Chapter 2.3一点应力状态分析_总结第第43页页/共共164页页第42页/共164页4.经过该点的正应力经过该点的正应力s sn和切应力和切应力t tn 的最大和的最大和最小值：最小值：3.主应力主应力s s和应力主向和应力主向a a：Chapter 2.3第第44页页/共共164页页第43页/共164页例例2.3.1：Chapter 2.

25、32.3 例题第第45页页/共共164页页第44页/共164页 2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理及其应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化与应力函数Contents本 章 目 录第第46页页/共共164页页第45页/共164页Chapter 2.4考虑平面问题的考虑平面问题的几何学几何学方面，导出微方面，导出微分线段上的分线段上的形变分量形变分量与与位移分量位移分量之间的关之间的关系式系式，即

26、平面问题中的，即平面问题中的几何方程几何方程。2.4 几何方程当当很小时，很小时，基本假定基本假定：连续性；连续性；小变形小变形。第第47页页/共共164页页第46页/共164页xyOPABuvChapter 2.4变形前位置：变形前位置：变形后位置：变形后位置：通过点通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段作两正坐标向的微分线段几何方程第第48页页/共共164页页第47页/共164页Chapter 2.4xyOPABuv变形前变形前变形后变形后注：这里略去了二阶注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。以上高阶无穷小量。第第49页页/共共164页页第48页/共164页线段线段PA线应变：线应变：同

27、理，线段同理，线段PB线应变线应变Chapter 2.4xyOPABuv求正应变第第50页页/共共164页页第49页/共164页切应变切应变，即线段，即线段PA和和PB之间的直角的之间的直角的改变量：改变量：和和Chapter 2.4xyOPABuv求切应变第第51页页/共共164页页第50页/共164页Chapter 2.4几点说明：几点说明：适用性：适用性：两类平面问题均适用两类平面问题均适用。意义：意义：几何关系是变形的连续性条件的反映几何关系是变形的连续性条件的反映（物体在变形前后都是连续的物体在变形前后都是连续的）。）。适用条件：适用条件：连续性和小变形假定连续性和小变形假定平面问题

28、的几何方程第第52页页/共共164页页第51页/共164页Chapter 2.4从物理概念，各点的位置确定，则微分线段从物理概念，各点的位置确定，则微分线段的应变确定。的应变确定。从数学推导，位移函数确定，则其导数（应变）从数学推导，位移函数确定，则其导数（应变）确定。确定。应变确定，位移不完全确定。应变确定，位移不完全确定。位移确定位移确定 应变完全确定。应变完全确定。从物理概念，从物理概念，、确定，物体还可作刚体位移。确定，物体还可作刚体位移。从数学推导，从数学推导，、确定，求位移是积分运算，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。出现待定函数。应变和位移关系讨论第第53页页/共共164页页

29、第52页/共164页Chapter 2.4(a)(b)(c)(d)或写成：或写成：2.4 刚体位移第第54页页/共共164页页第53页/共164页Chapter 2.4上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅的函数，右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等于同一常数，即两边只能等于同一常数，即 积分积分(e)，得：，得：(e)(f)其中其中，u0、v0为积分常数为积分常数（x、y方向的刚体位移方向的刚体位移），），代入（代入（d）得）得:刚体位移表达式刚体位移表达式第第55页页/共共164页页第54页/共164页Chapter 2.4（1 1）（2）xyOzPyxu0 代表物体沿代表

30、物体沿x方向的刚体平移。方向的刚体平移。v0 代表物体沿代表物体沿y方向的刚体平移。方向的刚体平移。刚体位移讨论第第56页页/共共164页页第55页/共164页Chapter 2.4（3 3）说明：说明：P P点沿切向绕点沿切向绕O O点转动点转动 代表物体绕原点的刚体转动代表物体绕原点的刚体转动xyOzPyx刚体位移讨论第第57页页/共共164页页第56页/共164页平面问题的几何方程平面问题的几何方程刚体位移表达式刚体位移表达式Chapter 2.4几何方程与刚体位移小结第第58页页/共共164页页第57页/共164页例例2.4.1Chapter 2.42.4 例题第第59页页/共共164

31、页页第58页/共164页 2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理及应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数Contents本 章 目 录第第60页页/共共164页页第59页/共164页Chapter 2.5物理方程物理方程表示（微分体上）应力和应变之间的物理关表示（微分体上）应力和应变之间的物理关系。也称本构方程、本构关系。系。也称本构方程、本构关系。在在理想弹性体理想弹性体条件下，物理方程

32、即为材料力学中的条件下，物理方程即为材料力学中的广义虎克（广义虎克（HookeHooke）定律。）定律。泊松比切变模量弹性模量2.5 物理方程第第61页页/共共164页页第60页/共164页Chapter 2.5 适用条件适用条件理想弹性体；理想弹性体；总结实验规律得出的；总结实验规律得出的；线性的代数方程；线性的代数方程；正应力只与正应变有关；切应力只与切正应力只与正应变有关；切应力只与切应变有关；应变有关；物理方程的说明第第62页页/共共164页页第61页/共164页Chapter 2.5应变用应力表示，用于按应力应变用应力表示，用于按应力求解；求解；应力用应变（位移）表示，用应力用应变（

33、位移）表示，用于按位移求解。于按位移求解。物理方程的两种形式第第63页页/共共164页页第62页/共164页Chapter 2.5将平面应力问题的条件将平面应力问题的条件 代入物理方程，得代入物理方程，得平面应力问题的物理方程第第64页页/共共164页页第63页/共164页在在z z方向方向平面应力问题的物理方程Chapter 2.5平面应力问题物理方程的平面应力问题物理方程的另一种形式另一种形式第第65页页/共共164页页第64页/共164页Chapter 2.5平面应变问题的物理方程代入代入 ，得得第第66页页/共共164页页第65页/共164页平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程

34、平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程Chapter 2.5两类平面问题物理方程的转换第第67页页/共共164页页第66页/共164页Chapter 2.5名称名称基本方程表达式基本方程表达式表示物理量表示物理量的关系的关系应用的基应用的基本假定本假定平衡微分平衡微分方程方程应力分量与应力分量与体力分量体力分量连续性，连续性，小变形小变形几何方程几何方程应变分量与应变分量与位移分量位移分量连续性，连续性，小变形小变形物理方程物理方程平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题应变分量与应变分量与应力分量应力分量连续性，连续性，均匀性，均匀性，完全弹性，完全弹性，各向同性各向同性平面问

35、题的基本方程第第68页页/共共164页页第67页/共164页从平面问题的三套基本方程可见，对于两从平面问题的三套基本方程可见，对于两类平面问题，除了物理方程中的有关系数要进类平面问题，除了物理方程中的有关系数要进行相应的变换外，其它的平衡微分方程和几何行相应的变换外，其它的平衡微分方程和几何方程完全相同。方程完全相同。平面问题的基本方程共有平面问题的基本方程共有8 8个：（个：（2 2个平衡个平衡微分方程、微分方程、3 3个几何方程、个几何方程、3 3个物理方程）。这个物理方程）。这8 8个基本方程包含个基本方程包含8 8个未知函数（坐标的未知函数）个未知函数（坐标的未知函数）：3 3个应力分

36、量、个应力分量、3 3个应变分量、个应变分量、2 2个位移分量。个位移分量。要想求解这些未知函数，还必须考虑弹性体边要想求解这些未知函数，还必须考虑弹性体边界上的条件。界上的条件。Chapter 2.5平面问题的基本方程第第69页页/共共164页页第68页/共164页Contents 2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理及其应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数本 章 目 录第第70页页

37、/共共164页页第69页/共164页2.6 边界条件Chapter 2.6平衡方程平衡方程几何方程几何方程未知量未知量8个个：方程数：方程数：8个个结论：在适当的结论：在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8 8个方程可解。个方程可解。物理方程物理方程第第71页页/共共164页页第70页/共164页边界条件：边界条件：表示边界上位移与约束，或应力表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。与面力之间的关系式。Chapter 2.6位移边界条件应力边界条件混合边界条件边界条件分类边界条件分类2.6 边界条件第第72页页/共共164页页第71页/共164页位移边界条件若给定了部分边界上的约束

38、位移分量，则若给定了部分边界上的约束位移分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件：边界上每一点的位移函数应满足如下条件：Chapter 2.6 若为简单的若为简单的固定边固定边，则有则有（在在 上）上）（在在 上）上）位移的边界值边界上已知函数第第73页页/共共164页页第72页/共164页位移边界条件Chapter 2.6位移边界条件的说明：位移边界条件的说明：它是它是函数方程函数方程，要求在，要求在 上每一点，上每一点，位移与对应的约束位移相等；位移与对应的约束位移相等；(2)(2)它是它是在边界上在边界上，物体保持连续性的条，物体保持连续性的条 件，或件，或位移保持连续性的条件位移保

39、持连续性的条件。第第74页页/共共164页页第73页/共164页若给定了部分边界上面力分量，则由边界若给定了部分边界上面力分量，则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应力与面力的关系式：的应力与面力的关系式：Chapter 2.6应力边界条件（在（在 上）上）边界面第第75页页/共共164页页第74页/共164页(4)(4)公式（公式（2-32-3）适用于平面区域内任一点，）适用于平面区域内任一点，而边界条件（而边界条件（2-152-15）只能应用于边界上。）只能应用于边界上。Chapter 2.6应力边界条件应力边界条件的说明：应力边界条件

40、的说明：它是边界上微分体的静力平衡条件；它是边界上微分体的静力平衡条件；它是函数方程，要求在边界上每一点均满足；它是函数方程，要求在边界上每一点均满足；(3)(3)应力边界条件中，应力边界条件中，按应力符号规定，按应力符号规定，按面力符号规定；按面力符号规定；第第76页页/共共164页页第75页/共164页(2)2)所有边界均应满足，无面力的边界所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边）（自由边）也必须满足。也必须满足。Chapter 2.6(1)1)位移、应力边界条件均为每个边界两位移、应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示个，分别表示 向的条件；向的条件；注意注意:平面问题的边界条件第第

41、77页页/共共164页页第76页/共164页Chapter 2.6若若x=a为正为正x 面，面，l=1,m=0 则式则式(2-15)成为成为边界面为坐标面时第第78页页/共共164页页第77页/共164页Chapter 2.6若若x=b为负为负x 面，面，l=-1,m=0 则式则式(2-15)成为成为边界面为坐标面时第第79页页/共共164页页第78页/共164页由于面力和应力具有不同的正负号规由于面力和应力具有不同的正负号规定，因此，在正负坐标面上，表达式中的定，因此，在正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的。符号是不相同的。在正坐标面上，应力分在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标

42、面上，应力量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号。分量与面力分量异号。Chapter 2.6边界面为坐标面时第第80页页/共共164页页第79页/共164页1 1、在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，便便可得出应力边界条件（可得出应力边界条件（2-152-15）或其简化式；）或其简化式；2 2、在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）量（数值相同，方向一致）。由于面力的数值和。由于面力的数值和方向是给定的，因此，在同一边界面上，应力的方向是给定的，因此，在同一边界面上

43、，应力的数值应等于对应的面力的数值，而面力的方向就数值应等于对应的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向。例如：是应力的方向。例如：在斜面上，在斜面上，在正负坐标面上，如同前述简化式。在正负坐标面上，如同前述简化式。Chapter 2.6应力边界条件的两种表达形式第第81页页/共共164页页第80页/共164页（1）物体上的一部分边界为位移边界，另一部分为应力）物体上的一部分边界为位移边界，另一部分为应力边界条件；边界条件；（2）物体的同一部分边界上，一个是位移边界，另一个）物体的同一部分边界上，一个是位移边界，另一个是应力边界。是应力边界。Chapter 2.6混合边界条件第第82页页/共共

44、164页页第81页/共164页例题例例2.6.1例例2.6.2例例2.6.3Chapter 2.6第第83页页/共共164页页第82页/共164页Contents 2.1 平面应力问题与平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 2.4 几何方程 刚体位移 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理及其应用 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 2.10 常体力情况下的简化 应力函数本 章 目 录第第84页页/共共164页页第83页/共164页Chapter 2.72.7 圣维南原理及应用问题的提出：问题的提出：求解弹性力学问题

45、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满分量、位移分量完全满足足8 8个基本方程相对容易，个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满但要使边界条件完全满足，往往很困难。足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。无法列写。PPPP第第85页页/共共164页页第84页/共164页静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为则两个力系为静力等效力系静力等效力系。这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言对

46、刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。一般是不等效的。Chapter 2.7第第86页页/共共164页页第85页/共164页圣维南原理圣维南原理（也称局部效应原理）（也称局部效应原理）表明：如果把物体的表明：如果把物体的一小部分边界上的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布有显著的同），那么，近处的应力分布有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。改变，但是远处所受的影响可以不计。Chapter 2.7圣维南原理第第87页页/共共164页页第8

47、6页/共164页Chapter 2.7圣维南原理说明1、圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；2、静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；3、近处 指面力变换范围的局部区域；远处 指“近处”之外；4、影响范围限于近处，远处不受影响。第第88页页/共共164页页第87页/共164页例：例：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于一组平衡力系。于一组平衡力系。Chapter 2.7数值实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用区域比较远处，几乎没有应力产生。数值实例说明第第89页页/共共164页页第88页/共164页如果物体

48、一小部分边界上的面力是一如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。应力，而远处的应力可以不计。这是因为这是因为主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力主矢量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。的应力。Chapter 2.7圣维南原理的推广第第90页页/共共164页页第89页/共164页如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般

49、分布的面力。试分析其边界条件。有一般分布的面力。试分析其边界条件。Chapter 2.7圣维南原理的应用第第91页页/共共164页页第90页/共164页按照严格的应力边界条件（按照严格的应力边界条件（2-152-15）式，应力分量）式，应力分量在左右边界上应满足条件：在左右边界上应满足条件：Chapter 2.7圣维南原理的应用它要求在边界上不同点（所有它要求在边界上不同点（所有y y值处），应力分值处），应力分量必须处处与面力分量对等。这种严格的边界条件量必须处处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。是较难满足的。但是当但是当 时，左右两端边界是小边界，这时时，左右两端边界是小边界

50、，这时可应用圣维南原理，用如下静力等效条件来代替上可应用圣维南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：述条件：在这一局部边界上，使应力的主矢量和主在这一局部边界上，使应力的主矢量和主矩分别等于对应的面力的主矢量和主矩。矩分别等于对应的面力的主矢量和主矩。（绝对值（绝对值相等，方向相同）相等，方向相同）第第92页页/共共164页页第91页/共164页应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：上式表明：上式表明：（1 1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。（2 2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定