建模培训讲座聚类分析及.pptx

《建模培训讲座聚类分析及.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《建模培训讲座聚类分析及.pptx（117页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、但历史上这些分类方法多半是人们主要依靠经验作定性分类，致使许多分类带有主观性和任意性，不能很好地揭示客观事物内在的本质差别与联系；特别是对于多因素、多指标的分类问题，定性分类的准确性不好把握。为了克服定性分类存在的不足，人们把数学方法引入分类中，形成了数值分类学。后来随着多元统计分析的发展，从数值分类学中逐渐分离出了聚类分析方法。随着计算机技术的不断发展，利用数学方法研究分类不仅非常必要而且完全可能，因此近年来，聚类分析的理论和应用得到了迅速的发展。聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。Q型聚类是对样品进行分类处理，R型聚类是对变量进行分类

2、处理。第1页/共117页第二节 相似性的量度 一 样品相似性的度量 二 变量相似性的度量 第2页/共117页一、样品相似性的度量在聚类之前，要首先分析样品间的相似性。Q型聚类分析，常用距离来测度样品之间的相似程度。每个样品有p个指标（变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量。如果把n个样品看成p维空间中的n个点，则两个样品间相似程度就可用p维空间中的两点距离公式来度量。两点距离公式可以从不同角度进行定义，令dij 表示样品Xi与Xj的距离，存在以下的距离公式：1明考夫斯基距离 (5.1)明考夫斯基距离简称明氏距离，按的取值不同又可分成：第3页/共117页第4页/共117页欧氏距离是常用的

3、距离，大家都比较熟悉，但是前面已经提到，在解决多元数据的分析问题时，欧氏距离就显示出了它的不足之处。一是它没有考虑到总体的变异对“距离”远近的影响，显然一个变异程度大的总体可能与更多样品近些，既使它们的欧氏距离不一定最近；另外，欧氏距离受变量的量纲影响，这对多元数据的处理是不利的。为了克服这方面的不足，可用“马氏距离”的概念。第5页/共117页2马氏距离 设Xi与Xj是来自均值向量为，协方差为=（0）的总体G中的p维样品，则两个样品间的马氏距离为 (5.5)马氏距离又称为广义欧氏距离。显然，马氏距离与上述各种距离的主要不同就是它考虑了观测变量之间的相关性。如果各变量之间相互独立，即观测变量的协

4、方差矩阵是对角矩阵，则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。马氏距离还考虑了观测变量之间的变异性，不再受各指标量纲的影响。将原始数据作线性变换后，马氏距离不变。第6页/共117页3兰氏距离 (5.6)它仅适用于一切Xij0的情况，这个距离也可以克服各个指标之间量纲的影响。这是一个自身标准化的量，由于它对大的奇异值不敏感，它特别适合于高度偏倚的数据。虽然这个距离有助于克服明氏距离的第一个缺点，但它也没有考虑指标之间的相关性。第7页/共117页4距离选择的原则 一般说来，同一批数据采用不同的距离公式，会得到不同的分类结果。产生不同结果的原因，主要是由于不同的距离公式的

5、侧重点和实际意义都有不同。因此我们在进行聚类分析时，应注意距离公式的选择。通常选择距离公式应注意遵循以下的基本原则：（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作用。（2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行

6、对比分析，以确定最合适的距离测度方法。第8页/共117页二、变量相似性的度量 多元数据中的变量表现为向量形式，在几何上可用多维空间中的一个有向线段表示。在对多元数据进行分析时，相对于数据的大小，我们更多地对变量的变化趋势或方向感兴趣。因此，变量间的相似性，我们可以从它们的方向趋同性或“相关性”进行考察，从而得到“夹角余弦法”和“相关系数”两种度量方法。1、夹角余弦两变量Xi与Xj看作p维空间的两个向量，这两个向量间的夹角余弦可用下式进行计算 (5.7)显然，cos ij 1。第9页/共117页2相关系数相关系数经常用来度量变量间的相似性。变量Xi与Xj的相关系数定义为 (5.8)显然也有，ri

7、j 1。第10页/共117页无论是夹角余弦还是相关系数，它们的绝对值都小于1，作为变量近似性的度量工具，我们把它们统记为cij。当cij=1时，说明变量Xi与Xj完全相似；当cij近似于1时，说明变量Xi与Xj非常密切；当cij=0时，说明变量Xi与Xj完全不一样；当cij近似于0时，说明变量Xi与Xj差别很大。据此，我们把比较相似的变量聚为一类，把不太相似的变量归到不同的类内。在实际聚类过程中，为了计算方便，我们把变量间相似性的度量公式作一个变换为 dij=1 cij (5.9)或者 dij2=1 cij2 (5.10)用表示变量间的距离远近，小则与先聚成一类，这比较符合人们的一般思维习惯。

8、第11页/共117页第三节 系统聚类分析法 一 系统聚类的基本思想 二 类间距离与系统聚类法 三 类间距离的统一性 第12页/共117页一、系统聚类的基本思想系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。系统聚类过程是：假设总共有n个样品（或变量），第一步将每个样品（或变量）独自聚成一类，共有n类；第二步根据所确定的样品（或变量）“距离”公式，把距离较近的两个样品（或变量）聚合为一类，其它的样品（或变量）仍各自聚为一类，共聚成n 1类；第三步将“距离”最近的两个类进一步聚成一类，共聚成n 2类；，以上步骤一直

9、进行下去，最后将所有的样品（或变量）全聚成一类。为了直观地反映以上的系统聚类过程，可以把整个分类系统画成一张谱系图。所以有时系统聚类也称为谱系分析。除系统聚类法外，还有有序聚类法、动态聚类法、图论聚类法、模糊聚类法等，限于篇幅，我们只介绍系统聚类方法。第13页/共117页二、类间距离与系统聚类法在进行系统聚类之前，我们首先要定义类与类之间的距离，由类间距离定义的不同产生了不同的系统聚类法。常用的类间距离定义有8种之多，与之相应的系统聚类法也有8种，分别为最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法、类平均法、可变类平均法、可变法和离差平方和法。它们的归类步骤基本上是一致的，主要差异是类间距离的计

10、算方法不同。以下用dij表示样品Xi与Xj之间距离，用Dij表示类Gi与Gj之间的距离。第14页/共117页1.最短距离法定义类与之间的距离为两类最近样品的距离，即为 (5.11)设类与合并成一个新类记为，则任一类与的距离为 (5.12)第15页/共117页最短距离法进行聚类分析的步骤如下：（1）定义样品之间距离，计算样品的两两距离，得一距离 阵记为D（0），开始每个样品自成一类，显然这时Dij=dij。（2）找出距离最小元素，设为Dpq，则将Gp和Gq合并成一个 新类，记为Gr，即Gr=Gp，Gq。（3）按（5.12）计算新类与其它类的距离。（4）重复（2）、（3）两步，直到所有元素。并成一

11、类为 止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应这些 最小元素的类可以同时合并。第16页/共117页【例5.1】设有六个样品，每个只测量一个指标，分别是1，2，5，7，9，10，试用最短距离法将它们分类。（1）样品采用绝对值距离，计算样品间的距离阵D（0），见表5.1表5.1 第17页/共117页（2）D（0）中最小的元素是D12D561，于是将G1和G2合并成G7，G5和G6合并成G8，并利用（5.12）式计算新类与其它类的距离D（1），见表5.2表5.2 第18页/共117页（3）在D（1）中最小值是D34D482，由于G4与G3合并，又与G8合并，因此G3、G4、G8合并成一个新类G9

12、，其与其它类的距离D（2），见表5.3表5.3 第19页/共117页（4）最后将G7和G9合并成G10，这时所有的六个样品聚为一类，其过程终止。上述聚类的可视化过程见图5.1所示，横坐标的刻度表示并类的距离。这里我们应该注意，聚类的个数要以实际情况所定，其详细内容将在后面讨论。图5.1 最短距离聚类法的过程第20页/共117页第21页/共117页再找距离最小两类并类，直至所有的样品全归为一类为止。可以看出最长距离法与最短距离法只有两点不同：一是类与类之间的距离定义不同；另一是计算新类与其它类的距离所用的公式不同。第22页/共117页3.中间距离法最短、最长距离定义表示都是极端情况，我们定义类间

13、距离可以既不采用两类之间最近的距离也不采用两类之间最远的距离，而是采用介于两者之间的距离，称为中间距离法。中间距离将类Gp与Gq类合并为类Gr，则任意的类Gk和Gr的距离公式为 (14 0)(5.15)设DkqDkp，如果采用最短距离法，则Dkr=Dkp，如果采用最长距离法，则Dkr=Dkq。如图5.2所示，(5.15)式就是取它们（最长距离与最短距离）的中间一点作为计算Dkr的根据。第23页/共117页特别当=14，它表示取中间点算距离，公式为 (5.16)图5.2 中间距离法第24页/共117页第25页/共117页 第26页/共117页第27页/共117页 第28页/共117页【例5.2】

14、针对例5.1的数据，试用重心法将它们聚类。（1）样品采用欧氏距离，计算样品间的平方距离阵D2（0），见表5.4所示。表5.4 第29页/共117页（2）D2（0）中最小的元素是D212D2561，于是将G1和G2合并成G7，G5和G6合并成G8，并利用（5.18）式计算新类与其它类的距离得到距离阵D2（1），见表5.5：其中，其它结果类似可以求得 第30页/共117页（3）在D2（1）中最小值是D2344，那么G3与G4合并一个新类G9，其与与其它类的距离D2（2），见表5.6：表5.6 第31页/共117页（4）在中最小值是12.5，那么与合并一个新类，其与与其它类的距离，见表5.7：表5.

15、7 第32页/共117页（5）最后将G7和G10合并成G11，这时所有的六个样品聚为一类，其过程终止。上述重心法聚类的可视化过程见图5.3所示，横坐标的刻度表示并类的距离。图5.3 重心聚类法的过程第33页/共117页第34页/共117页6.可变类平均法由于类平均法中没有反映出Gp和Gq之间的距离Dpq的影响，因此将类平均法进一步推广，如果将Gp和Gq合并为新类Gr，类Gk与新并类Gr的距离公式为：（5.22）其中是可变的且 2），它们的均值、协差阵分别为i，i，(i=1，2，m)。对任意给定的样品x，要判断它来自哪个总体。多总体按距离最近的准则对x进行判别归类时，首先计算样品x到m个总体的马

16、氏距离di2(x)（i=1,2,m），然后进行比较，把x判归距离最小的那个总体。即若dh2(x)=mindi2(x)|i=1,2,m，则x Gh。计算马氏距离di2(x)（i=1,2,m）时，类似地可考虑 1=2=m或 i不全相等的两种情况，并用样本统计量作为i和 i的估计.第99页/共117页2.2.费歇尔判别（FisherFisher）下面以两个总体为例说明费歇尔判别的思想。设有两个总体G1、G2，其均值分别为 1和 2，协方差阵分别 1和 2，并假定 1=2=，考虑线性组合：y=Lx。通过寻求合适的L向量，使得来自两个总体的数据间的距离较大，而来自同一个总体数据间的差异较小。为此，可以证

17、明，当选L=c 1(1 2)，其中c 0时，所得的投影即满足要求。从而称c=1时的线性函数：y=Lx=(1 2)1x为费歇尔线性判别函数。第100页/共117页其判别规则为：其中，m为两个总体均值在投影方向上的中点，即当 1、2和 未知时，可由总体G1和G2中分别抽出n1和n2个样品，计算相应的样本均值和协方差阵作为 1、2和 的估计。第101页/共117页3.3.贝叶斯判别（BayesBayes）(1)贝叶斯判别法 设有m个总体G1,Gm，假定它们各自的分布密度分别为f1(x)，f2(x)，fm(x)，各自的先验概率（可以根据经验事先给出或估出）分别为q1,q2,qm，显然 贝叶斯判别的方法

18、是：当抽取了一个未知总体的样品x，要判断它属于哪个总体，可用著名的贝叶斯公式计算x属于第j个总体的后验概率：第102页/共117页 当 时，判断x属于第h个总体。或者计算按先验概率加权的误判平均损失：然后再比较这m个误判平均损失的h1(x)，h2(x)，hm(x)的大小，选取其中最小的，就可以判定样品x来自该总体。上式中C(j|i)为假定本来属于Gi的样品被判为属于Gj时造成的损失。当然C(i|i)=0，C(j|i)0（i，j=1，m）。第103页/共117页 在实际问题中，错判的损失可以给出定性的分析，但很难用数值来表示，但应用贝叶斯判别的方法时，要求定量给出C(j|i)，C(j|i)的赋值

19、常用以下两种方法：根据经验人为赋值；假定各种错判的损失都相等。第104页/共117页(2)错判概率 当样品x Gi，用判别法D判别时，把x判归Gj(ij)，出现错判。用P(j|I;D)（或简记为P(j|i)）表示实属Gi的样品错判为Gj的概率，错判概率的估计方法有下面几种：利用训练样本作为检验集，即用判别方法对已知样品进行回判，统计错判的个数以及错判的比率，作为错判率的估计。此法得出的估计一般较低。当训练样本的大小足够大时，可留出一些已知类别的样品不参加建立判别准则，而是作为检验集，并把错判的比率作为错判率的估计。此法当检验集较小时估计的方差大。第105页/共117页 设一法（或称为交叉确认法

20、），每次留出一个已知类别的样品，而用其他n 1个样品建立判别准则，然后对留出的这一个已知类别的样品进行判别归类。对训练样本中n个样品逐个处理后把错判的比率作为错判率的估计。(3)广义平方距离判别法 在正态总体的假定下，按贝叶斯判别的思想，在错判造成的损失认为相等的情况下得到的判别函数其实就是马氏距离判别在考虑先验概率及协方差阵是否相等情况下的推广，故在SAS的DISCRIM过程中称为广义平方距离判别法。第106页/共117页4.4.逐步判别(1)各变量判别能力的检验 当检验k个类的均值向量是否全都相等(即检验H0：1=2=k)时，否定了这个假设H0(即表明各总体的均值向量有显著性差异)，也并不

21、能保证其各分量的均值有显著差异，若第i个分量间没有显著差异时，说明相应的变量Xi对判别分类不起作用，应该剔除。关于各变量判别能力的检验问题是筛选判别变量的理论基础，也是逐步判别的理论基础。第107页/共117页 变量判别能力的度量通常采用删去该变量后考察判别能力的变化，即考察该变量对区分k个类是否能提供更多的附加信息，然后由附加信息构造F统计量进行检验。利用F统计量对假设H0(i)(第i个变量在k个总体中的均值相等)作统计检验。若否定H0(i)，表示变量Xi对区分k个总体的判别能力是显著的(在显著水平下)。否则，变量Xi对区分k个总体的判别能力不能提供附加信息，这个变量应剔除。第108页/共1

22、17页(2)逐步判别法的基本思想 前面讨论了用全部m个变量：X1,X2,Xm来建立判别函数对样品进行判别归类的几种方法。在这m个变量中，有的变量对区分k个总体的判别能力可能很强，有的可能很弱。如果不加区别地把m个变量全部用来建立判别函数，则必增加大量的计算，还可能因为变量间的相关性引起计算上的困难(病态或退化等)及计算精度的降低。另一方面由于一些对区分k个总体的判别能力很小的变量的引入，产生干扰，致使建立的判别函数不稳定，反而影响判别效果，因此自然提出一个变量的选择问题。即如何从m个变量中挑选出对区分k个总体有显著判别能力的变量，来建立判别函数，用以判别归类。第109页/共117页 逐步判别的

23、基本思想和逐步回归是类似的。逐个引入变量，每次把一个判别能力最强的变量引入判别式，每引入一个新变量，对判别式中的老变量逐个进行检验，如其判别能力因新变量的引入而变得不显著，应把它从判别式中剔除。这种通过逐步筛选变量使得建立的判别函数中仅保留判别能力显著的变量的方法，就是逐步判别法。第110页/共117页(3)逐步判别法的基本步骤 1)逐步筛选变量：根据各变量对区分k个总体的判别能力的大小，按基本思想所介绍的过程来筛选变量。SAS中的STEPDISC过程专用于筛选变量子集。该过程利用向前选入、向后剔除或逐步筛选的方法来选择区分k个总体的最佳变量子集。2)判别归类：对已选出变量子集，使用以上几节介

24、绍的判别方法对样品进行判别归类。第111页/共117页8.2.2 SAS中作判别分析的过程1.DISCRIM1.DISCRIM过程简介 DISCRIM过程根据一个分类变量和若干数值变量的数据计算出各种判别函数(判别准则)，根据这个判别函数，再将该批数据或其他数据中的观测分别归入已知类别中去。DISCRIM过程用以获得判别准则的数据称之为训练数据集(也称训练样本)。第112页/共117页 实例分析：为反映员工心理因素方面的差异性，某研究者调研了一工厂36名员工的6 项心理因素，如下表所示。请根据这一分数对员工进行分类，并回答：员工分成几类比较理想？Z1Z2Z3Z4Z5Z6Z1Z2Z3Z4Z5Z6

25、666462505856536653595545555059595351615558615861504749454646596460525456555950545269556072605567555948564750565268405155625468464651595161565256606056535251605362554763525269585762525157455559565557394446565757525955505068464556685871685361585460595251605361605651535255576564645674505957525653576351

26、675360535351566552516247565667675652506359535548534649435048635760665156535765526759564658504552604071575658475057495048544544494246第113页/共117页练习题1.为研究不同公司的运营特点，调查了 15 个公司的组织文化、组织氛围、领导角色和员工发展4个方面的内容。请将这15个公司按照其各自的特点划分成4种类型。数据如下表所示。不同公司的特点不同公司的特点公司公司组织文化组织文化组织氛围组织氛围领导角色领导角色员工发展员工发展MICROSOF80857590IBM

27、85859090DELL85858560APPLE90907590联想联想99987880NPP88898990北京电子北京电子79809597清华紫光清华紫光89788182北大方正北大方正75789596TCL60658588娃哈哈娃哈哈79875051ANGEL75768889HUSSAR60568990世纪飞扬世纪飞扬1001008584VINDA61648960第114页/共117页2.请每个同学都参加“人性的哲学修订量表”问卷调查，然后分别对参加调查的同学和问卷项目进行类型划分。人性的哲学修订量表 说明：本问卷由一系列关于态度的陈述组成。每一陈述只是代表人们的一种普遍观点，并没有对错之分。您可能同意某些观点却不同意另一些观点。我们感兴趣的是您同意或不同意的程度如何。仔细阅读每一陈述，然后针对每一陈述打一分数以表明你同意或不同意的程度。这些数值的意义如下：6完全同意 5部分同意 4略微同意 3略微不同意 2部分不同意 1完全不同意 回答这些问题时，往往第一印象最为恰当。阅读每一陈述，决定您是否同意以及程度如何。务请回答每一问题。如您发现这些数值均不能反映你的观点，请选择与你的观点最接近的数值。问卷项目第115页/共117页参见SAS程序第116页/共117页感谢您的观看！第117页/共117页