数学回归分析的基本思想及其初步应用.pptx

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1、 比比数学必数学必3中中“回归回归”增加的内增加的内容容必修必修统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程解决应用问用回归直线方程解决应用问题题选修选修2-3统计案例统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e 产生的原因产生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型和模型 拟合的效果之间的拟合的效果之间的关系关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决利用线性回归模型解决 一类非线性回归问一类非线性回归问题题10.正确理解分

2、析方法与结果正确理解分析方法与结果第1页/共28页1、两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关问题问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些？：现实生活中两个变量间的关系有哪些？相关关系：相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。之间的关系。对具有相关关系的两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方法叫回归分析回归分析。第2页/共28页思考：思考：相关关系与函数关系有怎样的不同相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确

3、定性关系.相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种理想的关系模型.相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况.第3页/共28页问题问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：第4页/共28页例例1 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8名女大学生，其身高名女大学生，其身高和体重数据如下表：和体重数据如下表：编号编号12345678身高身高165165157170175165155170体重体重4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程

4、，求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为并预报一名身高为172的女大学生的体重。的女大学生的体重。问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差,并且区分函数模型和回归模型。第5页/共28页1.散点图；散点图；2.回归方程：回归方程：分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量身高为身高为172的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是吗？如果不是,其原因是什么其原因是什么?探究？探究？第6页/共28页（1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。第

5、7页/共28页（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：+其中和为模型的其中和为模型的未知参数未知参数，e是是y与与 =bx+a 之间的误差之间的误差,通常通常称为随机误差称为随机误差。第8页/共28页其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=在线性回归模型(4)中，随

6、机误差e的方差 越小，通过回归直线 预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。另一方面，由于计算出来的 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值 与真实值y之间误差的另一个原因。随机误差：线性回归模型：线性回归模型：第9页/共28页思考思考:产生随机误差项产生随机误差项e e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：影响身高、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重的因素不只是体重 x，可能还包括

7、遗传，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高、身高 y 的观测误差。的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。第10页/共28页函数模型与函数模型与“回归模型回归模型”的差别：的差别：函数模型：因变量函数模型：因变量y完全由自变量完全由自变量x确定确定回归模型：预报变量回归模型：预报变量y完全由解释变量完全由解释变量x和随机误差和随机误差e确定确定函数模型：函数模型：回归模型：回归模型：第

8、11页/共28页问题二：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？称为称为残差平方和残差平方和。第12页/共28页表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可是否可以用回归模型来拟合数据以用回归模型来拟合数据.残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断来判断 模

9、型拟合的效果，判断原始数据中是模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，否存在可疑数据，这方面的分析工作称为这方面的分析工作称为残差分析残差分析。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差纵坐标为残差，横坐标可以选为样本横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为

10、等，这样作出的图形称为残差图残差图。第13页/共28页残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据错误数据 模型问题模型问题 几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需

11、要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。第14页/共28页问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。第15页/共28页(2)(2)残差图的制作和作用：残差图的制作和作用：制作：坐标制作：坐标纵轴纵轴为残差变量为残差变量，横轴可以有不同的选择，横轴可以有不同的选择.横轴横轴为编号为编号(或身高、体重等或身高、体重等)：可以考察残差与编号次序之间的关系：可以考察残差与编号次序之间的关系 横轴横轴

12、为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域的带形区域.第16页/共28页 R2的值越大的值越大,说明残差平方和越小说明残差平方和越小,模型拟合效果越好。模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的表示解析变量对预报变量变化的贡献率。贡献率。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接近越接近1，表示解析变量和预报变量，表示

13、解析变量和预报变量的线性相关性越强）的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的的值来做出选择，即选取值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。较大的模型作为这组数据的模型。相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们用我们用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是第17页/共28页例例3 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：求出y对x的回归直线方程，并说明拟合

14、效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量y1210753解：第18页/共28页价格价格x1416182022需求量需求量y1210753列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4第19页/共28页1)确定解释变量和预报变量确定解释变量和预报变量;2)画出散点图画出散点图;3)确定回归方程类型确定回归方程类型;4)求出回归方程求出回归方程;5)利用相关指数或残差进行分析利用相关指数或残差进行分析.建立回归模型的基本步骤建立回归模型的基本步骤第20页/共28页问题四：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例2）例2

15、 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？第21页/共28页选变量 解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。画散点图假设线性回归方程为：=bx+a选 模 型分析和预测估计参数由计算器得：线性回归方程为 y=19.87x-463.73,相关指数R2=0.7464所以一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。050100150200250300350

16、036912151821242730333639当x=28时,y=19.8728-463.7393方方法法一一：一一元元函函数数模模型型合作探究第22页/共28页 y=c1x2+c2 变换 y=c1t+c2 非线性关系 线性关系问题选用y=c1x2+c2问题3 产卵数气温问题2如何求c1、c2？t=x2方方法法二二，二二元元函函数数模模型型合作探究第23页/共28页平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度t21232527293235 t244152962572984110241225产卵数y/个7112

17、12466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.54当x=28时,y=0.367282-202.5485所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。t第24页/共28页问题如何选取指数函数的底?产卵数气温方法三方法三 指数函数模型指数函数模型合作探究问题 变换 y=bx+a非线性关系 线性关系对数第25页/共28页温度xoC21232527293235z=lny0.851.041.321.381.822.062.51产卵数y/个711212466115325xz当x=28oC 时，y 44，所以指数函数模型模型中温度解释了98%的产卵数的变化.由计算器得：z关于x的线性回归方程为z=0.272x-3.849，,相关指数R2=0.98 对数变换：在 中两边取自然对数得令 ,则 就转换为z=bx+a第26页/共28页函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个?指数函数模型最好！指数函数模型最好！第27页/共28页感谢您的观看。第28页/共28页