数值分析总复习.pptx

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1、1 代数精确度设有求积公式若它对 f(x)=1,x,x2,xm 都能精确成立(即上式等号成立),但对 f(x)=xm+1 上式等号不成立,则称该求积公式具有m次代数精确度.第1页/共36页2 复化梯形公式其中 截断误差第2页/共36页3 复化Simpson公式区间a,b n等分,n=2m其中 截断误差第3页/共36页4 梯形值序列 递推算法所有新增加节点的函数值之和.其中第4页/共36页5 Romberg算法第5页/共36页6 Gauss型求积公式Ak:求积系数,xk:求积节点如果该求积公式具有(2n-1)阶代数精确度,则称其为Gauss型求积公式.设有求积公式第6页/共36页7 区间-1,1

2、上的Guass型求积公式其中求积节点xk为n阶Legendre多项式的零点;Ak,xk 的值可查表得到.一般a,b上的Gauss型求积公式可用换元法转化成-1,1上的Gauss型求积公式.第7页/共36页8第八章 非线性方程解法 二分法(对分区间法)求 f(x)=0 的根 简单迭代法(收敛的充分条件)牛顿法 割线法第8页/共36页9 设a,b是 f(x)=0的有根区间,用二分法迭代 给定精度,迭代次数k 满足下式,能保证满足精度 二分法(对分区间法)第9页/共36页10 简单迭代法构造递推公式适当选取.以 逐次逼近 f(x)=0的根.如何构造收敛的迭代法?第10页/共36页11定理考虑方程 x

3、=g(x),g(x)Ca,b,若(I)当 xa,b 时，g(x)a,b；(II)0 L 1 使得|g(x)|L 对 xa,b 成立。则任取 x0a,b，由 xk+1=g(xk)得到的序列 收敛于g(x)在a,b上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,)k第11页/共36页12 牛顿法原理：将非线性方程线性化 (Taylor 展开)xyx*xnxn+1第12页/共36页13第九章 常微分方程数值解法 构造常微分方程离散格式的三种方法 单步法常见格式 多步法常见格式 重要概念:局部截断误差第13页/共36页14 用差商近似导数 数值积分方法 Taylor多项式近似方法 构造常微分方程离散格

4、式的三种方法第14页/共36页15 Euler法 改进Euler法 经典四阶RK方法 单步法常见格式第15页/共36页16 多步法常见格式 Simpson公式 Adams显隐公式 Adams预测-校正公式第16页/共36页17 局部截断误差 整体截断误差Taylor展开方法 几个重要概念 数值方法的阶数第17页/共36页18数值分析总复习例题第18页/共36页19分析对称其中 li为矩阵 L的第 i个行向量.一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中第19页/共36页20解:一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中第20页/共36页21一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中解:第21页/共36

5、页22解:先解 Ly=b,再解 LTx=y,一.用平方根法求线性方程组AX=b,其中第22页/共36页23二.设有方程组写出Jacobi迭代,Gauss-Seidel迭代的计算公式,两种迭代法是否收敛?为什么?Jacobi迭代法不收敛,Gauss-Seidel迭代法,=1.2的SOR迭代法收敛.第23页/共36页24三.按下表求 f(x)的四次Hermite插值多项式H(x),并写出截断误差R(x)=f(x)H(x)的表达式.01212101第24页/共36页25四.(1)求形如的求积公式,使其至少具有两次代数精确度,该公式是否具有三次代数精确度?解(1)由已知,当 f(x)分别为1,x,x2

6、时,求积公式等号成立.即故该公式具有3次代数精确度.第25页/共36页26四.(2)选用合适的数值积分方法计算的近似值,要求计算结果具有3位有效数字.解设 f(x)=cos(x2),xk=k/8 (k=0,1,8),fk=f(xk),则f0=1f1=0.999877932f2=0.998047511f3=0.990128588f4=0.968912422f5=0.924671261f6=0.845924499f7=0.720949381f8=0.540302306梯形值序列T1=0.770151152T2=0.869531786T4=0.895758895T8=0.902332842Simps

7、on值序列S2=0.902658664S4=0.904501264S8=0.904524157梯形值序列的逐次分半算法故第26页/共36页27五.设(1)用迭代公式 求方程 f(x)=0在x0=2.0附近的一个根,试问此迭代法是否收敛?(2)用合适的方法求 f(x)=0在x0=2.0附近的根,要求计算结果具有4位有效数字.解 (1)迭代函数为验证 g(x)在区间1.7,2.0上满足压缩映像定理,故该迭代法收敛.(2)可用Newton迭代法求根,取x0=2.0,写出迭代公式后计算三次得x1=1.857142857,x2=1.839544514,x3=1.839286811.故x3即为所求方程近似

8、根.第27页/共36页28六.确定求解初值问题的二步隐式Adams方法中的参数,使该方法成为三阶方法,并写出其局部截断误差主项.可用数值积分方法或Taylor展开方法第28页/共36页29七.据资料记载,某地某年间间隔30天的日出日落时间如下5月1日5月31日6月30日4:514:174:1619:3819:50日出日落19:04日出日落时间表请问:这一年中哪一天白天最长?解 用Newton插值公式较为方便,答案为:这一年中以6月22日的白天最长.第29页/共36页30练习1.第126页.求解线性方程组 Ax=b,其中A如右图所示,试构造一个与求解三对角方程组的追赶法类似的直接方法.其中第30

9、页/共36页312.确定如下求积公式中的求积系数,使其具有尽可能高的代数精确度提示:用三次Hermite插值多项式来近似函数 f(x).第31页/共36页32 3.若干年以前,美国原子能委员会准备将浓缩的放射性废料装入密封的圆桶内沉至海底.但是,当时一些科学家与生态学家都反对这种作法.科学家用实验测定出圆桶能够承受的最大撞击速度为v=12.2 m/s,如果圆桶到达海底时的速度超过这个速度,将会因撞击海底而破裂,从而引起严重的核污染.然而原子能委员会却认为不存在这种可能性.根据圆桶的质量,体积以及海水的密度与海底的深度,通过建立数学模型得知圆桶到达海底时的速度v(m/s)满足如下方程:那么圆桶到

10、达海底时的速度究竟会不会超过12.2 m/s呢?试选用合适的方法求此速度,要求计算结果具有5位有效数字.第32页/共36页334.1601年德国天文学家开普勒根据已有的行星观测数据得出了天文学上著名的开普勒第三定律:其中T 为行星绕太阳运行的周期(单位天),a为行星椭圆轨道的长半轴长(单位百万公里),C与g均是常数.试根据以下数据,用最小二乘法确定上式中的常数C与gPlanet Mercury Venus Earth Marsa(km 106)57.59 108.11 149.57 227.84 T(days)87.99 224.70 365.26 686.98第33页/共36页345.伞兵下降的速度满足如下公式:其中，g是重力加速度(10米/秒2),m是伞兵的质量,c是拽拉系数(14千克/秒).经实际测量在下落7秒时速度为35米/秒,试计算出伞兵的质量(误差不大于0.5千克).第34页/共36页35完毕第35页/共36页36感谢您的观看。第36页/共36页