数学史上的三次危机.pptx

《数学史上的三次危机.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学史上的三次危机.pptx（78页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1第一节第一节 历史上的三次数学危机历史上的三次数学危机 第1页/共78页2 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。第2页/共78页3 一、第一次数学危机一、第一次数学危机 第一次数学危机是由 不能写成两个整数之比引发的，我们在第一章已专门讨论过，现再简要回顾一下。第3页/共78页4 这一危机发生在公元前5 世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示

2、为整数比，但突然发现 不能表为整数比。其实质是：是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数。第4页/共78页5 当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。第5页/共78页6 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的

3、十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。第6页/共78页7 1危机的引发危机的引发 1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。第7页/共78页8 例如，设自由落体在时间 下落的距离为 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度，先求 。（*）第8页/共78页9 当 变成无穷

4、小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。第9页/共78页10 2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？第10页/共78页11 如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以

5、0，得出5=3一样的荒谬。（*）第11页/共78页12 贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，第12页/共78页13贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。第13页/共78页14 3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和

6、当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”第14页/共78页15 2危机的实质危机的实质 第一次数学危机的实质是“不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。第15页/共78页16 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的

7、时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。第16页/共78页17 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。第17页/共78页18牛顿莱布尼茨第18页/共78页19 3危机的解决危机的

8、解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。第19页/共78页20 而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。第20页/共78页21 因此，进入19世纪时，一方面微积分取得的成就超出人们的预料，另一方面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确无误的。历史要求为微积分学说奠基。第21页/共78页22 2）严格的极限理论的建立 到1

9、9世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。第22页/共78页23 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论一书中包含许多真知灼见。第23页/共78页24 而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在18211823年间出版的分析教程和无穷小计

10、算讲义是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。第24页/共78页25柯西波尔查诺第25页/共78页26 3）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。第26页/共78页27 一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897

11、）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数”。“连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断，连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上“连续”与“可导”有密切的联系。这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有“点点连续而点点不可导的函数”。第27页/共78页28 魏尔斯特拉斯(18151897)德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼

12、斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。第28页/共78页29 魏尔斯特拉斯 关于 “点点连续而点点不可导的函数”的例子是 其中 是奇数，使 。第29页/共78页30 另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。第30页/共78页31 黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始

13、上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。第31页/共78页32 这些例子使数学家们越来越明白，在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再前进一步：即需 要理解和阐明实数系的更深刻的性质。第32页/共78页33 魏尔斯特拉斯的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯（K a r l Weierstrass，18151897）的努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来。他的成

14、功产生了深远的影响，主要表现在两方面，一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“”语言。第33页/共78页34 “”语言的成功，表现在：这 一 语 言 给 出 极 限 的 准 确 描 述，消 除了 历 史 上 各 种 模 糊 的 用 语，诸 如“最 终比”、“无限地趋近于”，等等。这 样 一 来，分 析 中 的 所 有 基 本 概 念 都可 以 通 过 实 数 和 它 们 的 基 本 运 算 和 关 系 精确地表述出来。第34页/共78页35 4）极限的“”定义及“贝克莱悖论”的消除 极限的极限的“”定义定义第35页/共78页36 定义：设函数 在 的附近都有定义，如果有一个确定的实数 （

15、无论多么小的正数 ）。都 （都能找到一个正数 ，依赖于 ），使当 时（满足不等式 的所有不等于 的 ），有 （这些 对应的函数值与 的差小于预先给定的任意小的 ）我们就说“函数 在 趋近于 时，有极限 ”。记为 。第36页/共78页37 由极限的这个“”定义，可以求出一些基本的极限，并严格地建立一整套丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等；两个函数，和的极限等于极限的和。等等。由此再建立严格的微积分理论。第37页/共78页38 “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消除 回到牛顿的（*）式上：（*）这是在 （即 ）条件下，得到的等式；它表明 时间内物体的平均速度为 。（*）式

16、等号两边都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当 趋于0时的极限，即 物体在 时刻的瞬时速度=。第38页/共78页39 下边我们对（*）式的等号两边同时取极限 ，根据“两个相等的函数取极限后仍相等”，得 瞬时速度=再根据“两个函数和的极限等于极限的和”，得然后再求极限得 第39页/共78页40 上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量 是不是0？”，在这里给出了明确的回答：。这里也没有“最终比”或“无限趋近于”那样含糊不清的说法。第40页/共78页41 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西

17、的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是：实数理论极限理论微积分。而“历史顺序”则正好相反。第41页/共78页42知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的.第42页/共78页43 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水

18、到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。第43页/共78页44 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的集合”；微积分的对象可说成是“以函数等组成的集合”；几何的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合”。这样一来，都是以集合为对象了。集合成了更基本的概念。第44页/共78页45 于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这

19、只是时间问题。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在 我们可以说，完全的严格性已经达到了！”第45页/共78页46 2算术的集合论基础算术的集合论基础 1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上0现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。（算术）非负整数n有理数 实数 复数 图形第46页/共78页47 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，全部数学都可以归结为算术了。这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个“数学基础”的问题。法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。

20、他写了一本名叫算术基础的书。第47页/共78页48弗雷格算术基础第48页/共78页49 2)弗雷格的算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。首先从0说起。0是什么？应当先回答0是什么，然后才有表示“0”的符号。第49页/共78页50 为此，先定义“空集”。空集是“不含元素的集合”。例如，“方程 在实数集中的根的集合”就是一个空集，再例如“由最大的正整数组成的集合”也是一个空集。第50页/共78页51 所有的空集放在一起，作成一个集合的集合，（为说话简单我们把“集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念“ling”，英国人

21、念“Zero”。空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。由它再作成一个集合0，则不是空集了。第51页/共78页52 弗雷格再定义两个集合间的双射：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称可逆映射；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为“双射”。弗雷格再定义两个集合的“等价”：，能够在其间建立双射的两个集合A、B称为“等价”。第52页/共78页53 下边可以定义“1”了。把与集合0等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：1。再定义“2”。把与集合0，1等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这

22、个类，就叫：2。然后，把与0，1，2等价的集合作成的类，叫：3。第53页/共78页54 一般地，在有了0，1，2，n 的定义后，就把所有与集合0，1，2，n等价的集合放在一起，作成集合的集合，这样的类，定义为：n+1。这种定义概念的方法，叫作“归纳定义”的方法。第54页/共78页55 这样，弗雷格就从空集出发，而仅仅用到集合及集合等价的概念，把全部非负整数定义出来了。于是根据上边说的“可以把全部数学归结为非负整数”，就可以说，全部数学可以建立在集合论的基础上了。第55页/共78页56 3 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引起震憾和危机 正当弗雷格即将出版他的算术基

23、础一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学已经建立起来！”之后刚刚两年，即1902年。第56页/共78页57 伯特兰罗素（1872-1970）Russell,Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 国籍：英国学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素第57页/共78页58 集合论中居然有逻辑上的矛盾！倾 刻 之 间，算 术 的 基 础 动 摇 了，整 个数 学 的 基 础 似 乎 也 动 摇 了。这 一

24、 动 摇 所 带来 的 震 憾 是 空 前 的。许 多 原 先 为 集 合 论 兴高 采 烈 的 数 学 家 发 出 哀 叹：我 们 的 数 学 就是建立在这样的基础上的吗？罗 素 悖 论 引 发 的 危 机，就 称 为 第 三 次数学危机。第58页/共78页59 罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。”第59页/共78页60 2）罗素悖论 在叙述罗素悖论之前,我们先注意到下边的事实：一个集合或者是它本身的成员(元素),或者不

25、是它本身的成员(元素)，两者必居其一。罗素把前者称为“异常集合”，把后者称为“正常集合”。第60页/共78页61 例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。第61页/共78页62罗素当年的例子“异常集合”1：不多于29个字母表达的句子所构成的集合“异常集合”2：不是麻雀的东西所构成的集合第62页/共78页

26、63 罗素悖论是：以 表示“是其本身成员的所有集合的集合”（所有异常集合的集合），而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于 ，或者属于 ，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合 是否是它本身的成员？（集合 是否是异常集合？）第63页/共78页64 如果 是它本身的成员，则按 及 的定义，是 的成员，而不是 的成员，即 不是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果 不是它本身的成员，则按 及 的定义，是 的成员，而不是 的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。第64页/共78页65 罗素悖论的通俗化“理发师

27、悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。第65页/共78页66 4 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西

28、保留下来。第66页/共78页67 这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。第67页/共78页68 为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。第68页/共78页69 1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,

29、18711953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。第69页/共78页70 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。第70页/共78页71 四、四、三次数学危机与三次数学危机与“无穷无穷”的联的联系系 我们

30、过去就说过，无穷与有穷有本质的区别。现在我们可以总结说，三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。第71页/共78页72 第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。由于当时尚未真正认识无穷，所以那时对第一次数学危机的解决并不彻底；第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。第72页/共78页73 第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。由

31、于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。第73页/共78页74 第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。第74页/共78页75 思：试叙述历史上的三次数学危机中，涉及“有穷与无穷”的具体问题；并谈谈自己的体会。第75页/共78页76本节结束谢谢第76页/共78页77牛顿第77页/共78页78感谢您的观看。第78页/共78页