数学重积分概念与性质.pptx

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1、如果积分区域为：其中函数 、在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分X型 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且垂直于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第1页/共49页应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得(先积一条线,后扫积分域)第2页/共49页如果积分区域为：Y型 Y-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且垂直于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第3页/共49页第4页/共49页为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.若积分域较复杂,可将它分成若干X X-型域或Y Y-型域,则 第5页/共49页解解第6页/共49页例例2 2：计算计算其中D D 是抛

2、物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对x x后对y y积分,及直线则 第7页/共49页例例3 3：计算计算其中D D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D D 为X X型域 :先对x x积分不行,注:若被积函数为一元函数,缺哪个变量就对该变量 先积分.第8页/共49页第9页/共49页第10页/共49页A第11页/共49页解解积分区域如图第12页/共49页解解积分区域如图第13页/共49页解解原式第14页/共49页第15页/共49页解解第16页/共49页oxy第17页/共49页解解 曲面围成的立体如图.第18页/共49页第19页/共49页例例10:10:求两个底圆半径为求两

3、个底圆半径为R R 的直交圆柱面所围的的直交圆柱面所围的立体立体体积体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第20页/共49页二重积分化为二次积分计算步骤及注意事二重积分化为二次积分计算步骤及注意事项项 画出积分域 确定积分序 写出积分限 计算要简便积分域分块要少累次积分好算为妙(先积一条线,后扫积分域)(充分利用对称性)第21页/共49页二、利用极坐标系计算二重积分第22页/共49页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第23页/共49页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第2

4、4页/共49页极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第25页/共49页第26页/共49页=0法二:积分区域关于x轴对称,第27页/共49页解解第28页/共49页解解第29页/共49页注注:利用例5 5可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D D为R R2 2时,利用例5 5的结果,得故式成立 .第30页/共49页解解第31页/共49页解解第32页/共49页解解 第33页/共49页第34页/共49页第35页/共49页二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结第36页/共49页二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）第37页/共49页思考题思考题第38页/共49页思考题解答思考题解答第39页/共49页第40页/共49页思考题思考题第41页/共49页思考题解答思考题解答第42页/共49页练练 习习 题题第43页/共49页第44页/共49页第45页/共49页第46页/共49页练习题答案练习题答案第47页/共49页第48页/共49页感谢您的观看。第49页/共49页