数学模型思想及其渗透教学.pptx

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1、 一条小河从哥尼斯堡的市中心穿过，河中有两个小岛，河上有七座桥连接这两个小岛和河的两岸。能不能一次连续走完这七座桥，而不在任何一座桥上重复通过，并且最后还回到原来的起点？（现实背景中的生活问题）（现实背景中的生活问题）这个问题吸引了无数游人去实地尝试和研究。它最终是由十八世纪大数学家欧拉解决的，欧拉没有亲自到实地去踏察，而是用A、B、C、D四个点分别代表小岛和两岸，并把七座桥抽象为七条线段，与四个点连接成为一个图形。（生活问题的数学化）（生活问题的数学化）这样，就把能否一次走过七座桥而无重复，转化为能否一笔画出这个图形的问题。（数学问题模型化）（数学问题模型化）欧拉仔细分析了“一笔画问题”数学

2、模型的结构特征，发现能够一笔画出的图形只能有一个起点和一个终点，并且图中要么没有奇顶点，要么只有两个奇顶点。他应用这个结论去考察上述问题，发现图中四个点都是奇点，因此不能一笔画出。于是，他断定这七座桥不可能无重复地一次走完。并运用“一笔画问题”的原理阐明了其中的道理。（运用模型求解）（运用模型求解）赢得了世人的公认。（运用模型解释）（运用模型解释）（对解与相（对解与相应模型的价值判断）应模型的价值判断）此后“一笔画问题”的原理及其推论，普遍成为人们解决类似实际问题的数学模型。（模型的价值判断与变式、推广应用）（模型的价值判断与变式、推广应用）这是一个生活问题数学化，数学问题模型化的经典范例，它

3、让人们在惊叹数学家理性智慧的同时，领略到数学建模对于实际问题解决的效用之美。第1页/共59页 数学建模就是针对或参照现实世界中某一特定对象或现象,从某种特定的目的出发，按照一定的价值取向，作出必要的简化和假设，运用适当的数学工具、方法得到一定的数学结构,并用它来刻画和解释特定对象或现象的现实性态,预测对象或现象的未来状况,提供处理对象或现象的优化决策和控制方略。第2页/共59页 数学建模就是针对或参照现实世界中某一特定对象或现象（如上例中游人行走七桥的尝试）（如上例中游人行走七桥的尝试），从某种特定的目的出发（作出能否一次无重复地走完的判断）（作出能否一次无重复地走完的判断），按照一定的价值取

4、向（试图数学地解决与阐明此类问题）（试图数学地解决与阐明此类问题），作出必要简化和假设（画示意图）（画示意图），运用适当的数学工具、方法 （奇、（奇、偶点的分析）偶点的分析）得到一定的数学结构 （“一笔画问题一笔画问题”特征特征数学化表达）数学化表达），并用它来刻画和解释特定对象或现象的现实性态（七桥能否一次无重复地走完的判断与解释）（七桥能否一次无重复地走完的判断与解释），预测对象或现象的未来状况（“一笔画问题一笔画问题”的推广与变式）的推广与变式），提供处理对象或现象的优化决策和控制方略 （“一笔画问题一笔画问题”原理原理的数学模型）的数学模型）。第3页/共59页(一一)关于数学模型的内涵

5、分析与界定关于数学模型的内涵分析与界定 二、探讨的主要质点二、探讨的主要质点(二二)关于数学建模的认知与解读关于数学建模的认知与解读 数学建模作为方法与过程的统一体，贯穿于数学教学活动的始终，是数学认知活动的重要内容，更是数学探究活动的主要方式；是数学学习的核心要素，也是数学教学的中心环节；是揭示数学本质和演绎数学思想的平台，又是感悟数学价值和实施数学应用的载体。数学建模，即数学模型的建构。第4页/共59页(一一)关于数学模型的内涵分析与界定关于数学模型的内涵分析与界定 二、探讨的主要质点二、探讨的主要质点(二二)关于数学建模的认知与解读关于数学建模的认知与解读(三三)关于数学模型思想的理解及

6、其教学渗透关于数学模型思想的理解及其教学渗透 数学模型思想是对数学模型与数学模型建构的本质认识。所谓思想是指客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果，属于理性认识。有实践就会有真知，有思考就会有卓见，实践加思考，真知变卓有实践就会有真知，有思考就会有卓见，实践加思考，真知变卓见，循环诚恒之，必然成思想！见，循环诚恒之，必然成思想！第5页/共59页(一一)关于数学模型的内涵分析与界定关于数学模型的内涵分析与界定 二、探讨的主要质点二、探讨的主要质点(二二)关于数学建模的认知与解读关于数学建模的认知与解读(三三)关于数学模型思想的理解及其教学渗透关于数学模型思想的理解及其教学渗透(四四)

7、关于数学建模教学方略的探想关于数学建模教学方略的探想 生活问题的数学化 数学应用的生活化 事物之间的相互关系；事件发生的内在规律；事情所蕴含的事理。由数学模型联想实际应用、有实际问题联想相应的数学模型、用数学模型解释实际问题、事件、现象所蕴含的原理。第6页/共59页 数学建模教学除了从数学外部获得最初的来源和发展的原动力之外，还应当从解决数学内部矛盾的需求那里获得资源和策动力。对于运用既有数学知识解决新的数学问题时所形成的认知冲突，直接利用数学原理、方法与数学思维，建构新的数学模型，以化解冲突，解决问题（如在整数范围内23的商无法表示的问题，通过建立分数与除法的关系的数学模型去解决），这也是数

8、学建模教学常用的基本方略。这也将是我们下一阶段就数学模型思想及其渗透教学的主要研究内容。第7页/共59页我们的认识：我们的认识：“数学模型”与“模型思想”是义务教育数学课程标准赋予数学教育的新的内涵。在广义数学模型观下，数学是关于模型的科学，数学体系是由一个个数学模型与模型系统构成的模型体系。对数学的认知，就是对数学模型及其建构方略的理解与掌握，它只有深刻到“模型”的意义上，才真正到达了数学的本质和数学思想的层面。“生活问题的数学化”与“数学应用的生活化”是学生数学模型思想养成教育的基本途径和方略。第8页/共59页敬请期待下一期的专题沙龙！敬请期待下一期的专题沙龙！谢谢领导同仁！谢谢领导同仁！

9、第9页/共59页(一一)关于数学模型的内涵分析与界定关于数学模型的内涵分析与界定 二、探讨的主要质点二、探讨的主要质点 一个基本数学概念就是一个相对独立的数学模型；而一个个彼此关联的概念，纵横贯通，在一定的逻辑关系下形成多元结构的概念群，便成为相对完整的数学模型系统。纵向观察分析：随着某一数学概念的推广与拓展，在属种关系下，由一个属概念派生的一个个种概念，又是一个个新的数学模型。横向观察分析：伴随着一个概念的产生，往往会有一些与之并列的概念或概念系统相应地生成，它们也都是一个个数学模型与模型系统。在广义数学模型观下，数学是关于模型的科学，数学体系是由一个个数学模型与模型系统构成的模型体系。第1

10、0页/共59页(二二)关于数学建模的认知与解读关于数学建模的认知与解读 数学模型建构即数学建模，它是通过建立数学模型来描述、刻画客观现实和解决实际问题的方法，也是一个有序、完整的系统操作（行为或思维）过程。它包括：从现实背景中发现和提出实际问题、实际问题的数学化、数学问题的模型化、运用模型求解与解释、对解与相应模型的价值判断、模型的变式与推广应用等。第11页/共59页(二二)关于数学建模的认知与解读关于数学建模的认知与解读数学建模可作为陈述性知识表征，即视作解决问题的方法。数学建模可作为程序性知识表征，即视作解决问题的过程。数学建模作为方法与过程的统一体，贯穿于数学教学活动的始终，是数学认知活

11、动的重要内容，更是数学探究活动的主要方式；是数学学习的核心要素，也是数学教学的中心环节；是揭示数学本质和演绎数学思想的平台，又是感悟数学价值和实施数学应用的载体。第12页/共59页(二二)关于数学建模的认知与解读关于数学建模的认知与解读 一个数学概念常常就是一个数学模型，随着它的拓展与推广，在种属关系下所层层派生的一个个属概念又是一个个新的数学模型。在数学概念下往会有相应的数学运算、规则、法则、定律、性质等等衍生。第13页/共59页(三三)关于数学模型思想的理解及其教学渗透关于数学模型思想的理解及其教学渗透 所谓思想是指客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果，属于理性认识。数学模型

12、思想是对数学模型与数学模型建构的本质认识。认识来源于实践，认识的正确与否需要实践的检验。学生的数学模型思想来源于他们的数学实践活动，来源于活动中对数学模型、模型建构及其内在必然联系的理解与思考，亲身经历数学建模实践是学生感悟与形成模型思想的最直接的载体和最有效的途径。第14页/共59页二、探讨的主要质点二、探讨的主要质点数学史话数学史话:欧拉的七桥问题欧拉的七桥问题第15页/共59页(三三)关于数学模型思想的理解及其教学渗透关于数学模型思想的理解及其教学渗透 无论是作为方法还是作为过程的建模教学都具有深刻的数学教育意义，这种意义主要体现为对数学模型思想的渗透：对学生领悟、理解模型思想的启迪，对

13、学生形成、确立模型思想的促进，以及对学生理性精神的培养。第16页/共59页(四四)关于数学建模教学方略的探想关于数学建模教学方略的探想 数学模型的建构，一头联结着现实世界，一头联结着数学世界，它要对客观事物或现象的本质作数学化地描述与刻画，要在现实与数学之间通过映射、反演的相互穿越，实现意义和理性的通达。它应当是关于数学建模的方法在解决实际问题中的情境化地演绎与临场式地习得；它也应当是对于数学建模的过程在解决具体问题场景下的应然性地预设与原生态地生成。第17页/共59页(四四)关于数学建模教学方略的探想关于数学建模教学方略的探想 不管是作为方法，还是作为过程的教与学的活动；也不管是作为教师一方

14、的应然性预设和情境化演绎，还是作为学生一方的临场式习得与原生态生成。它都需要依赖于现实而具体的操作平台和真切而实在的临场体验、感悟，这种平台的搭建与场域氛围的营造，需要有一个由现实的生活背景、鲜活的原始素材、典型的问题情境、翔实的探究过程等作为承载与支持的载体。第18页/共59页(四四)关于数学建模教学方略的探想关于数学建模教学方略的探想 从数学建模的角度去考察生活，容易发现许多生活问题其内核和精髓，本质上就近似或类似于数学模型的原型或雏形。1.1.生活问题的数学化生活问题的数学化 某些事物之间的相互关系 某些事件发生的内在规律 某些事情所蕴含的事理 第19页/共59页(四四)关于数学建模教学

15、方略的探想关于数学建模教学方略的探想 生活问题的数学化，让学生经历的是将实际问题抽象成数学模型的过程，而数学应用的生活化，则是让学生经历应用数学模型解决实际问题的过程。2.2.数学应用的生活化数学应用的生活化 新知形成时；新知应用时；知识综合应用中。第20页/共59页三、数学建模教学的行与思三、数学建模教学的行与思(一一)激活经验储备激活经验储备 类化提炼建模类化提炼建模 第21页/共59页三、数学建模教学的行与思三、数学建模教学的行与思(一一)激活经验储备激活经验储备 类化提炼建模类化提炼建模 1.1.激活生活经验储备，在简约事理中建模激活生活经验储备，在简约事理中建模第22页/共59页案例

16、：案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？1.1.说事理说事理 先求1套童装（1件上衣和1条裤子）的钱，再求买8套童装一共花的钱，或先求分别求出8件上衣与8条裤子的钱，再求买8套童装一共花的钱。第23页/共59页案例：案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？2.2.事理的数学概括事理的数学概括 （1件上衣的钱+1条裤子的钱）套数=一共花的钱 1件上衣的钱件数+1条裤子的钱条数=一共花的钱 即（1件上衣的钱+1条裤子的钱）套数=1件上衣的钱件数+1条裤子的钱条数 第24页/共59页案例：案

17、例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？3.3.事理向算理的嬗变事理向算理的嬗变 （90+60）8=1200 ;908+608=1200 即（90+60）8=908+608 第25页/共59页案例：案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？4.4.算理的推广算理的推广 你能找出类似于（90+60）8=908+608这样的等式吗？第26页/共59页案例：案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？5.5.算理的符号化算理的符号化数学模型的形成数

18、学模型的形成 这样的等式有多少？列举得完吗？你能想个办法将它表示出来吗？第27页/共59页案例：案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？5.5.算理的符号化算理的符号化数学模型的形成数学模型的形成 两个数的和与一个数相乘，等于将这两个数分另与一个数相乘，然后相加。第28页/共59页案例：案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？5.5.算理的符号化算理的符号化数学模型的形成数学模型的形成 （a+b）c=ac+bc第29页/共59页注意点：注意点：选取的生活实例要典型，适切，具有代表性，蕴含

19、的事理要鲜明、易于学生捕捉和揭示，并便于他们进行数学化处理、抽象概括和表述；领悟的事理，用列举实例的方式进行演绎、佐证，以及对事理作数学化推广的环节是必不可少的；算理的符号化表述数学表达式是数学模型的重要形式，应当尽可能多地采用。第30页/共59页2.2.激活学习经验储备，在类比迁移中建模激活学习经验储备，在类比迁移中建模 建模教学中要充分利用学生先前获得的认知结构、建模经验，让学生从既有的数学知识、技能和思想方法的迁移中类推、衍生并提炼、概括新的数学模型，把建模过程化作学生运用迁移规律进行自主探究的实践和历练过程。第31页/共59页案例：案例：1.1.回溯回溯激活知识、经验储备，奠定迁移基础

20、激活知识、经验储备，奠定迁移基础 师：402=？，你是怎么算的？为什么可以这样算？生甲：是80，我用40+40，因为402表示2个40；生乙：是80，因为40是4个十，4个十乘2是8个十，8个十是80；生丙：是80，先用42得8，再添一个0得80，因为2个4是8，所以2个40就是80。第32页/共59页案例：案例：2.2.迁移迁移寻求算理、算法依据，续构新的模型寻求算理、算法依据，续构新的模型师：一圈跑道400米，小明跑2圈，求他跑多少米如何列式？生：4002。师：4002又该怎样口算呢？请大家想一想，再把自己的想法与同伴们交流交流。生：略。（上述生甲、乙、丙叙述内容的迁移）师：如果小明跑6圈

21、，求他跑多少米又该怎样列式呢？生：4006。师：现在还用加法算吗？（排除负迁移的干扰排除负迁移的干扰）生：不，太麻烦啦！师：那么，整百数乘一位数该怎样算呢？生：先用一位数乘一位数，然后再添两个0。（整百数乘一位数的口算整百数乘一位数的口算模型模型）第33页/共59页案例：案例：3.3.联想联想运用拓展、延伸机制，升华迁移价值运用拓展、延伸机制，升华迁移价值 师：读一读下面的算式，并根据这些算式之间的联系，把他们分分类。36=18 5700=3500 75=35 3006=1800 49=36 705=350 360=180生：36=18 75=35 49=36 360=180 705=350

22、3006=1800 7500=3500师：这样分类的依据是什么？生：第一组在口算时都用“三六十八”这句口诀，第二组在口算时都用“五七三十五”这句口诀。第34页/共59页案例：案例：3.3.联想联想运用拓展、延伸机制，升华迁移价值运用拓展、延伸机制，升华迁移价值 师：那么，类似这样，根据49=36，你能联想到哪些算式呢？生：409=360、4900=3600、40009=36000、900004=360000 师：（小结）很好，你们凭借整十数乘一位数的经验和自己的聪明才智，进行类推，不仅找到了整百数乘一位数的口算方法，而且创造性地联想到整千、整万数的口算方法，并且算得很好，老师真是佩服你们！第3

23、5页/共59页(二二)探解认知冲突探解认知冲突 思辨明理建模思辨明理建模 从数学史视阈审视数学的产生与发展，其根本的动因是源于实际问题解决的需要；从本质属性上去考察数学的内涵，其实质是在对客观世界深刻认识的基础上所作出的定量刻画和定性把握；从学生数学学习的有效机理分析，其自身内在的心里矛盾运动是最为理想的动力策源。第36页/共59页 实际问题的解决与学生既有认知结构、经验等的矛盾、冲突及其由此而触发和引生的心理的、言语和行为方面的活动，是一种推动和促进他们进行数学建模的重要的动力资源和有效的途径、方法。在为学生设计学习活动方案时，要围绕他们认知过程中的认识质点的逐步推进，有层次地创设一些必要的

24、认知冲突，让他们在探解认知冲突的思辨与实践中顿悟明理，并逐步归纳、概括建构数学模型。第37页/共59页第38页/共59页 课题在冲突中提出；课题在冲突中提出；“方位方位”在冲突中统一；在冲突中统一；方向在冲突中精准；方向在冲突中精准；模型在冲突中完善；模型在冲突中完善；第39页/共59页(三三)依托操作支撑依托操作支撑 循序递推建模循序递推建模 动手操作，是学生数学学习中最直接、最具体、最利于从动手操作，是学生数学学习中最直接、最具体、最利于从感性向理性抽象过渡的认知、探究活动。感性向理性抽象过渡的认知、探究活动。学习活动中，学生随着操作思维和思维操作的交替往复，熟练程度会逐步提高，动手操作将

25、逐渐衰减淡出，理性思维将逐步递进攀升，头脑中会渐渐地自发形成一些简化了的、类似于条件反射式的认知联结，并且其基本内涵与本质属性最终会以一定的图式来表征建构生成数学模型。第40页/共59页案例：案例：材料准备：每位学生7枚面积1平方厘米的正方形卡片。长方形、正方形的面积计算方法的模型建构长方形、正方形的面积计算方法的模型建构第41页/共59页建模过程：建模过程：1.1.摆测奠基，滋生算理摆测奠基，滋生算理生：（待大家摆好后集体交流）1行摆3个，摆了2行，一共摆了32=6（个），面积就是6平方厘米。出示长方形（长3厘米，宽2厘米）：第42页/共59页2.2.设疑引探，推算遂就设疑引探，推算遂就生：

26、我有办法了！第一行摆5个，还有2个这样竖着摆，就可以知道（推算出）能摆3行，一共摆53=15（个），面积是15平方厘米。出示长方形（长5厘米，宽3厘米）：第43页/共59页生：不用摆了，根据图中的格点能想到：（师引述：沿长的方向）一行可以摆4个，（师引述：沿宽的方向）正好可以摆3行，一共能摆43=12（个），面积是12平方厘米。3.3.引发联想，弃摆从算引发联想，弃摆从算出示 1厘米第44页/共59页 生：95=45（平方厘米）4.4.循序递推，确立算法循序递推，确立算法出示5厘米9厘米第45页/共59页5.5.强算蓄势，因势建模强算蓄势，因势建模 长 宽 面积（1）7厘米 4厘米？（生：28

27、平方厘米）（2）10厘米 8厘米？（生：80平方厘米）第46页/共59页6.6.变式体验，完善建构变式体验，完善建构 长 宽 面积（1）9厘米 5厘米？（45平方厘米）（2）8分米 4分米？（32平方分米）（3）10分米 7分米？（70平方分米）（4）6米 4米？（24平方米）（5）5米 5米？（25平方米）第47页/共59页注意点：注意点：1.操作仅仅是实施建模的一种前期手段，操作的最终目的却是为了退出操作；2.操作的目的与意图光是教师清楚还远远不够，还要设法通过渗透、启发和借助情境的刺激、催化作用，将教学（操作）的目的转化为学生的学习（操作）心理驱动，并内化为全体学生共同意识；3.所有的操

28、作要以建模目标主线贯穿成链，主旨鲜明。操作内容的选择和组织要切合学生学习基础和建模的实际需要；操作目标和要求要具体明确；操作方式要简单方法要易行，既要尊重学生的选择，又要服从建模的需要。第48页/共59页(四四)遵循数理逻辑遵循数理逻辑 据理分类建模据理分类建模 数理逻辑 分类是数学上常用的方法，也是数学自身发展的一条重要途径和主要的方式、方法之一，有许许多多新的数学知识就是通过对既有知识的进一步分类而分离或分化出来的。分离：方程就是以“式子等式含有未知数的等式”这样的序链进行分类，从“式子”这一数学概念中分离出来的新的数学分支。分化：小数就是从分母是10、100、1000这类分数中分化出来的

29、关于“数”的新的分支。第49页/共59页 以新知识产生的背景为基础，运用数理逻辑通过分类建构新知模型的方法，是学生追溯数学知识的本源、把握数学知识的内涵、领悟数学知识的本质和生成新的数学认识建构新的数学模型的重要途径与方法，它对于学生弄懂数学知识的来龙去脉、搞清数学知识间的逻辑关系和厘定数学概念的内涵与外延，具有十分重要的作用。第50页/共59页 运用逻辑分类的方法帮助学生进行数学建模，可以从他们的生活、学习经验和知识基础的实际出发，提供典型、丰富的素材和适切、合宜的探究情境，让他们自己确定标准先行自主分类，然后集体讨论、交流，在反馈与发散的基础上再行聚敛，比较分析、辨明是非，弃异求同，最后整

30、合大家的智慧形成统一认识，建构生成一定的数学模型。第51页/共59页案例：案例：出示：12345768109第52页/共59页生：按照边的条数分类，分为三角形、四边形、五边形三类。12345687910三角形：四边形：4123568910五边形：7第53页/共59页生甲：我按照有相等的边和没有相等的边来分类，分成两类。123568910123568910（有相等的边的）（没有相等的边的）生甲：我将有相等的边的图形再分出有直角的和没有直角的两类；然后再将有直角的分成对边相等的和四条边都相等的两类。12358101235810（有直角的）（没有直角的）21018（对边相等长方形）第54页/共59页

31、生乙：我按照有直角和没有直角来分类，也分成两类。123568910123568910（有直角的）（没有直角的）生乙：我将有直角的图形再分成有相等的边和没有相等的边的两类；然后再分成对边相等的和四条边都相等的两类。1281012810（有相等的边的）（没有相等的边的）21018（对边相等长方形）（四边相等正方形）99第55页/共59页图形 长方形 正方形相同点4个直角4条边不同点对边相等四边相等第56页/共59页教学注意点：1.提供给学生分类的素材要求：一要典型、适切特征鲜明、便于进行分类操作；二要丰富、精要要兼顾概念的内涵确定与外延的划分；三要尽量避免学生产生对与揭示本质属性无关的内容进行分类的情况的发生；四要务必注意素材本身不要对所期望的分类结果产生任何负面影响。第57页/共59页2.分类时要注意强调标准统一，层次清楚，避免越级划分和子项相容等逻辑错误的发生。3.原始素材的分类得到的是“原程序”，而对分类结果作出的必要分析、处理和思维的精加工与深加工得到的才是“可执行文件”数学模型。4.学生针对素材特点确定分类标准、实施分类的过程既是一个理性分析思考的过程，也是一个实践体验、感悟的过程。在运用逻辑分类进行数学建模时，提供充分的时间与空间保证和恰当、合宜的情境。第58页/共59页感谢您的观看。第59页/共59页