无穷级数解析.pptx

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1、1为傅立叶级数为傅立叶级数.为傅氏系数为傅氏系数)时时,时为数项级数时为数项级数;时为幂级数时为幂级数;求和求和展开展开(在收敛域内进行在收敛域内进行)基本问题：基本问题：判别敛散；判别敛散；求收敛域；求收敛域；求和函数；求和函数；级数展开级数展开.第1页/共50页2一、数项级数及其审敛法一、数项级数及其审敛法(一一)常数项级数的概念常数项级数的概念1.常数项级数的概念；常数项级数的概念；2.常数项级数收敛与发散的概念；常数项级数收敛与发散的概念；3.正项级数、交错级数、任意项级数的概念；正项级数、交错级数、任意项级数的概念；4.绝对收敛与条件收敛的概念；绝对收敛与条件收敛的概念；常数项常数项

2、级数级数收敛收敛(发散发散)存在存在(不存在不存在)发散发散,而而收敛收敛,则称则称为为条件收敛条件收敛.收敛收敛,则称则称为为绝对收敛绝对收敛;第2页/共50页3(二二)常数项级数的性质（常数项级数的性质（4个）个）性质性质1.不变不变.敛散性敛散性级数的每一项同乘一级数的每一项同乘一不为零不为零的常数的常数,性质性质2.设两级数设两级数收敛收敛则级数则级数收敛，收敛，其其和和为为在级数前面在级数前面加上加上（或去掉或去掉）有限项有限项不影响不影响性质性质3.级数的级数的敛散性敛散性,但但影响收敛级数的和影响收敛级数的和.性质性质4.收敛收敛加括号后加括号后收敛收敛.收敛级数收敛级数加括号后

3、所成的级数加括号后所成的级数仍收敛仍收敛于原来的于原来的和和.收敛收敛+收敛收敛=收敛，收敛收敛，收敛+发散发散=发散，发散，发散发散+发散就不一定发散发散就不一定发散 发散发散去括号后去括号后发散发散.第3页/共50页4(三三)收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件若级数若级数收敛收敛v注：不能用注：不能用判断级数收敛判断级数收敛.(四四)应熟记的几个重要级数：应熟记的几个重要级数：1.几何级数几何级数2.调和级数调和级数是发散级数是发散级数.3.P-级数级数第4页/共50页5(五五)常数项级数的审敛法：常数项级数的审敛法：1.任意项级数的审敛法任意项级数的审敛法(3)性质法性质法.(4)利用

4、重要级数利用重要级数.(2)发散发散.(1)定义法：定义法：(5)级数级数收敛收敛(发散发散)存在存在(不存在不存在).第5页/共50页62.正项级数的审敛法正项级数的审敛法(2)比值法比值法(1)比较法比较法(3)根值法根值法(常数常数 k 0)；若若大大的收敛，的收敛，则则小小的也收敛；的也收敛；若若小小的发散，的发散，则则大大的也发散的也发散.3.交错级数的审敛法交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法)(i)(i)(ii)(ii)第6页/共50页7必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不确定不确定 比较审敛法比较

5、审敛法用其它法判别用其它法判别性质法性质法定义法定义法正项级数审敛程序：正项级数审敛程序：注意：注意：比值法比值法主要适应于通项中含主要适应于通项中含 之之积积的级数的级数.根值法根值法主要适应于通项中含主要适应于通项中含 的级数的级数.第7页/共50页8解解:(1)故原级数发散故原级数发散.另解另解:(1)发散发散,故原级数发散故原级数发散.例例1.判别级数的敛散性判别级数的敛散性:第8页/共50页9解解(2)发散发散,故原级数发散故原级数发散.故该级数故该级数收敛收敛.解解(3)第9页/共50页10例例2.判别下列级数判别下列级数的敛散性的敛散性,是绝对收敛还是条件收敛？是绝对收敛还是条件

6、收敛？解解(1)所以所以原级数原级数发散发散.解解(2)1)先考察先考察 的敛散性的敛散性第10页/共50页11又由于又由于原级数收敛原级数收敛，是条件收敛，是条件收敛.第11页/共50页12设设正项正项级数级数收敛收敛,证明证明收敛收敛.例例3.证明证明:由比较判敛法可知由比较判敛法可知收敛收敛.注意注意:反之不一定成立反之不一定成立.例如例如,收敛收敛,发散发散.第12页/共50页13证明：证明：练习题练习题第13页/共50页141.03数三，数三，4分分设设则下列命题正确的是则下列命题正确的是()条件收敛，则条件收敛，则绝对收敛，则绝对收敛，则条件收敛，则条件收敛，则敛散性都不定敛散性都

7、不定.绝对收敛，则绝对收敛，则(A)若若(B)若若(C)若若(D)若若都收敛都收敛.都收敛都收敛.敛散性都不定敛散性都不定.几个考研真题：几个考研真题：第14页/共50页152.06数一数一,数三数三,4分分 若级数若级数收敛，则级数收敛，则级数()收敛收敛.收敛收敛.收敛收敛.收敛收敛.(A)(B)(C)(D)D 性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.第15页/共50页16(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).3.04数三、数三、4分分 设有下列命题：设有下列命题：(2)(3)(4

8、)(1)则以上命题中正确的是则以上命题中正确的是()B 收敛收敛加括号后加括号后收敛收敛.第16页/共50页17(11年数学三年数学三)性质：性质：收敛级数收敛级数加括号后所成的级数加括号后所成的级数仍然收敛；仍然收敛；发散级数去括号后发散级数去括号后所成的级数所成的级数仍发散仍发散.第17页/共50页18(09数学一数学一)比较审敛法的比较审敛法的比较审敛法的比较审敛法的极限极限极限极限形式形式形式形式:有相同的敛散性；有相同的敛散性；,都是都是正项级数正项级数第18页/共50页196.级数的部分和数列有界是级数收敛的级数的部分和数列有界是级数收敛的()条件条件(A)充分充分;(B)必要必要

9、;(C)充要充要;(D)既不充分也不必要既不充分也不必要.定理定理1 正项级数正项级数收敛收敛部分和部分和所成的数列所成的数列有界有界.收敛收敛收敛收敛收敛收敛收敛收敛第19页/共50页20定理定理1(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)(1)如果级数如果级数在在处处收敛，收敛，则它在开区间则它在开区间内的一切内的一切x处处绝对收敛绝对收敛.(2)如果级数如果级数在在处处发散，发散，则它在开区间则它在开区间内的一切内的一切x处处发散发散.如果幂级数如果幂级数的所有系数的所有系数定理定理2.是它的相邻两项的系数且满足：是它的相邻两项的系数且满足：二、二、求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法几何说明

10、几何说明几何说明几何说明:绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散发散发散发散发散绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散发散发散发散发散第20页/共50页21求收敛半径的方法总结求收敛半径的方法总结求收敛半径的方法总结求收敛半径的方法总结:1.幂级数中奇偶项齐全幂级数中奇偶项齐全时时用公式求用公式求R.2.不满足定理不满足定理2条件的级数条件的级数(缺项缺项)这时这时不能用以上公式求不能用以上公式求R.应该根据收敛半径的定义用直接法求应该根据收敛半径的定义用直接法求R.如：如：3.若级数为若级数为则则应用代换法，应用代换法，令令先求收敛半径先求收敛半径,再讨论端点的收敛性再讨

11、论端点的收敛性.求收敛域的方法求收敛域的方法:第21页/共50页22例例1.解：解：该级数该级数发散发散.故所给级数的故所给级数的收敛域收敛域为为此时该级数此时该级数发散发散.第22页/共50页23解解:因因级数绝对收敛级数绝对收敛;级数发散级数发散;故收敛域为：故收敛域为：一般项一般项不趋于不趋于0,级数发散级数发散;例例2.第23页/共50页24例例2.另解：则级数为第24页/共50页25练习几个选择题(08数学一数学一)第25页/共50页261.求部分和式的极限求部分和式的极限;求和求和3.逐项求导或求积分法逐项求导或求积分法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分对和式积分或求导对和式积分或

12、求导难难2.初等变换法初等变换法:分解、变量代换后套用公式分解、变量代换后套用公式;（在收敛区间内）（在收敛区间内）.幂级数幂级数已知和函数的已知和函数的新级数新级数转化转化三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法第26页/共50页27请熟记：请熟记：常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式第27页/共50页282010数一数一解：解：第28页/共50页29例例2.求幂级数求幂级数解法解法1:易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为第29页/共50页30例例2.求幂级数求幂级数解法解法2:易求出级数的收敛域为易求出级数的收敛域为第30页/共50页31求常数项级数的和求常数项级数的和法法

13、1:利用级数和的定义求利用级数和的定义求法法2:阿贝尔法阿贝尔法(构造幂级数构造幂级数,用幂级数的和函数求用幂级数的和函数求)1)欲求欲求 的和的和构造幂级数构造幂级数求出它的和函数求出它的和函数S(x)所求为所求为S(1)2)欲求欲求 的和的和构造幂级数构造幂级数求出它的和函数求出它的和函数S(x)所求为所求为S(x)=S(b)第31页/共50页32解：解：第32页/共50页33说明：说明：构造的幂级数是不唯一的构造的幂级数是不唯一的.如如还可构造幂级数：还可构造幂级数：原则是所构造的幂级数的和函数容易求出原则是所构造的幂级数的和函数容易求出.第33页/共50页34四、函数的幂级数展开法四、

14、函数的幂级数展开法展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开利用已知其级数展开式的函数展开1.直接展开法直接展开法第一步第一步第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R,R)内内是否为是否为0.求求求求第二步第二步 写出泰勒级数写出泰勒级数则则则则并求出其并求出其收敛半径收敛半径 R;第34页/共50页352.2.间接展开法间接展开法间接展开法间接展开法.根据唯一性根据唯一性根据唯一性根据唯一性,利用利用利用利用已知的函数展开式已知的函数展开式已知的函数展开式已知的函数展开式,通过通过通过通过变量变量变量变量(幂级数的

15、运算性质幂级数的运算性质),代换代换代换代换,四则运算四则运算四则运算四则运算,恒等变形恒等变形恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分逐项积分逐项积分等方法等方法等方法等方法函数函数已知展开式的已知展开式的新函数新函数转化转化将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数.经验：经验：1)有理函数有理函数转化转化2)指数函数指数函数转化转化3)对数函数对数函数转化转化4)三角函数三角函数转化转化5)反三角函数：反三角函数：先求导化为有理函数，再积分先求导化为有理函数，再积分第35页/共50页36例例1.设设,将将 f(x)展开成展开成x 的幂级数的幂级数,的和的和.

16、(01考研考研)解解:于是于是并求级数并求级数第36页/共50页37第37页/共50页38解：解：(2010数数2)第38页/共50页39解：解：第39页/共50页403.收敛定理：周期为2 的函数f(x)，若满足狄利克雷充分条件 x 为为f(x)的间断点，的间断点，五、函数的傅里叶级数展开法五、函数的傅里叶级数展开法第40页/共50页41(1)S(x)与与 f(x)的的定义域为定义域为(2)S(x)与与f(x)的的周期性相同且周期相等周期性相同且周期相等.x 为为f(x)的连续点时的连续点时(3)S(x)与与f(x)的的奇偶性相同奇偶性相同.对定义域为对定义域为R的周期为的周期为2 的函数的

17、函数f(x)的和函数 S(x)与f(x)的关系：第41页/共50页42设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为(在在 f(x)的连续点处的连续点处)其中其中定理定理.周期为2l的函数f(x)傅里叶级数展开法4.正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数(1)奇函数奇函数f(x)的傅氏级数称为正弦级数的傅氏级数称为正弦级数.(2)偶函数偶函数f(x)的傅氏级数称为余弦级数的傅氏级数称为余弦级数.第42页/共50页43作法作法:1)对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在区间只在区间 上有定义上有定义,并且

18、满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可展也可展开成傅氏级数开成傅氏级数.5.对于非周期函数对于非周期函数方法：方法：作作奇奇周期周期延拓延拓,展开为正弦级数展开为正弦级数 作作偶偶周期周期延拓延拓,展开为余弦级数展开为余弦级数2)对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在区间只在区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可也可展开成傅氏级数展开成傅氏级数.第43页/共50页44x yO-1解:(92考研考研)第44页/共50页45 例例2.设设则则(99 考研考研)的傅里叶级数的和函数的傅里叶级数的和函数和函数的周期为和函数的周期为2第45页/共50页4

19、6(09数学三数学三)(08数学一数学一)练习题练习题3.设设提示提示:(03数学一数学一)4.设设f(x)是周期为是周期为2的周期函数的周期函数,它在它在 上的上的表达式为表达式为则则f(x)的傅氏级数在的傅氏级数在 处收敛于处收敛于(88数学一数学一)第46页/共50页47练习：练习：答案答案:第47页/共50页482009数一数一练习：练习：.求下列极限求下列极限提示提示:第48页/共50页49考察考察 级数：级数：n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数解答解答:因为因为故比值判别法失效故比值判别法失效.正确解答正确解答:说明说明:比值判别法成立比值判别法成立根值判别法成立根值判别法成立第49页/共50页50感谢您的观看。第50页/共50页