时频分析与连续小波变换.pptx

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1、时频联姻时频联姻(Time Meets Frequency)Time Meets Frequency)n傅里叶分析回顾傅里叶分析回顾n联合时频分析的基本原理联合时频分析的基本原理n短时傅里叶分析短时傅里叶分析:STFT:STFTn连续小波变换连续小波变换:CWT:CWT n时频分析的应用时频分析的应用n 瞬时频率瞬时频率n 基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测n本章小结本章小结第1页/共137页一、傅里叶分析回顾一、傅里叶分析回顾概述概述定义定义性质性质实现实现第2页/共137页傅里叶分析可以分析信号中的傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分频率成分”。它

2、是一个全局的分析。它是一个全局的分析。它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTILTI系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统时不变系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。转化成频域相乘运算。傅里叶分析数字实现时常常采用傅里叶分析数字实现时常常采用FFTFFT进行快速实现。进行快速实现。傅里叶分析概述第3页/共137页 傅里叶变换(分析)的定义根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义：根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义：CTFT:CTFT:连续时

3、间傅里叶变换连续时间傅里叶变换CFS:CFS:连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数DTFTDTFT：离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换DFSDFS：离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数第4页/共137页CTFT:CTFT:连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换适用信号适用信号:连续时间信号连续时间信号变换公式变换公式:第5页/共137页CFS:连续时间傅里叶级数适用信号适用信号:连续时间周期信号连续时间周期信号变换公式变换公式:第6页/共137页DTFTDTFT：离散时间傅里叶变换适用信号适用信号:离散时间信号离散时间信号变换公式变换公式:第7页/共137页DFS：离散时间傅里叶级数适用信号适

4、用信号:离散时间周期信号离散时间周期信号变换公式变换公式:第8页/共137页四种傅里叶变换的关系四种傅里叶变换的关系:第9页/共137页信号时域和频域特性之间关系：信号时域和频域特性之间关系：第10页/共137页本课程中傅里叶变换的记号本课程中傅里叶变换的记号:第11页/共137页连续时间傅里叶变换性质连续时间傅里叶变换性质第12页/共137页从频率分析角度看：从频率分析角度看：傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。从信号从信号奇异性奇异性分析角度看分析角度看:傅里叶变换不容易提供信号傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性局部奇异性信息：信息：不容

5、易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的奇异性（局部的变化）定点上的奇异性（局部的变化）.然而然而,小波变换可以做到这小波变换可以做到这一点。一点。傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性奇异性。傅里叶变换的重要缺陷傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的难于获得信号的“局部变化局部变化”规律规律第13页/共137页傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：第14页/共137页19651965年库利和图基提出年库利和图基提出FFTFFT算法算法FFTFFT不是一种新的

6、傅里叶变换不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算它仅仅是计算DFSDFS的一种快速算法的一种快速算法.FFTFFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用.傅里叶变换的快速算法：FFT第15页/共137页二、联合时频分析二、联合时频分析联合时频分析引入的动机：联合时频分析引入的动机：具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见：具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见：语音语音/音频信号音频信号颜色变化的光线颜色变化的光线雷达信号雷达信号地震信号地震信号第16页/共137页n1946年,Dennis Gabor(1971年Nobel奖获得者):“迄今为止，

7、通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数（Fourier分析）。这两种方法都是理想化的。然而，我们每一天的经历特别是我们的听觉却一直是用时间和频率来描述的。”第17页/共137页为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和小波变换就是其中的代表。变换和小波变换就是其中的代表。短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子不同时频原子具有不同的时频特性。不同时频原子具有不

8、同的时频特性。第18页/共137页时频原子时频原子时频原子的基本概念时频原子的基本概念线性时频变换的定义线性时频变换的定义时频原子的时频局部化描述时频原子的时频局部化描述HeisenbergHeisenberg测不准原理测不准原理时频原子的时频结构时频原子的时频结构-Heisenberg-boxHeisenberg-box时频能量密度时频能量密度 第19页/共137页时频原子基本概念时频原子基本概念时频原子时频原子具有时频局部化特性的基本信号分析单元具有时频局部化特性的基本信号分析单元 短时傅里叶时频原子短时傅里叶时频原子 小波时频原子小波时频原子 特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；

9、都是由一个基本的单元信号经过变换得到；短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；小波原子是通过平移和伸缩得到的。小波原子是通过平移和伸缩得到的。第20页/共137页线性时频变换线性时频变换：参数集第21页/共137页线性时频变换的时频局部化线性时频变换的时频局部化如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u u周围周围,根据根据(1)(1)式式,则则 仅与信号仅与信号f(t)f(t)在该邻域的值有在该邻域的值有关。关。如果时频原子在频率上是集中于某个频率点如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周周围围,根据根据(2)(2)式

10、式,则则 仅与信号仅与信号f(t)f(t)的频谱在该邻的频谱在该邻域的值有关。域的值有关。第22页/共137页如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。问题:上述时频原子存在否?“最高的时频分辨率”第23页/共137页时频原子的分辨率受如下两个结论限制时频原子的分辨率受如下两个结论限制:Heisenberg测不准原理测不准原理不存在同时具有时限和频限的时频原子不存在同时具有时限和频限的时频原子第24页/共137页设设 时频原子时频原子 的时频结构：时频局部化的

11、定量描述的时频结构：时频局部化的定量描述第25页/共137页Heisenberg-box示例：示例：有关有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题：的几个值得注意的问题：根据测不准原理，根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于的面积至少要大于1/21/2；在在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没有能量分布，就没有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的只是代表了该时频原子的大部分能量集中的位置和区域大部分能量集中的位置和区域。第26页/共137页HeisenbergHeisen

12、berg测不准原理结论测不准原理结论 第27页/共137页第28页/共137页时频不可能同时有限长时频不可能同时有限长 尽管有了尽管有了HeisenbergHeisenberg测不准原理的限制测不准原理的限制,可能仍然有人认为存可能仍然有人认为存在在 某个信号在时间某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也但这个结论也是是 不成立的。不成立的。第29页/共137页定理:时频不能同时有限长第30页/共137页时频能量密度时频能量密度它度量了信号的能量在以 为中心的时频邻域内的分布。第31页/共137页连续STFT定义短时傅里叶原子的时频结构常用信号的连续S

13、TFT连续STFT的反变换连续STFT的性质 能量守恒定理 再生核方程短时谱三、短时傅里叶变换三、短时傅里叶变换STFT(Short Time Fourier Transform)第32页/共137页连续连续STFT第33页/共137页第34页/共137页短时谱第35页/共137页 短时傅里叶原子的时频结构短时傅里叶原子的时频结构:(为简化起见，设为简化起见，设g(t)g(t)为实偶信号为实偶信号)：第36页/共137页短时傅里叶原子的时频结构图示：短时傅里叶原子的时频结构图示：短时傅里叶原子的时频短时傅里叶原子的时频结构在整个时频平面上结构在整个时频平面上保持不变！保持不变！第37页/共13

14、7页 常用信号的短时傅里叶变换常用信号的短时傅里叶变换正弦信号正弦信号 第38页/共137页正弦信号短时谱对应的时频区域正弦信号短时谱对应的时频区域第39页/共137页单位冲激信号第40页/共137页线性调频信号线性调频信号 推导推导 在高斯窗在高斯窗 下短时傅里叶变换。下短时傅里叶变换。第41页/共137页 STFT STFT反变换反变换-完备性完备性如果如果f(t)是能量有限信号，则：是能量有限信号，则：第42页/共137页第43页/共137页 STFT STFT性质性质稳定性：稳定性：ParsevalParseval定理定理时频能量密度的体现第44页/共137页 STFT STFT的冗余

15、性的冗余性:重建核方程重建核方程 上面的性质表明:并不是所有的能量有限的二维信号都是某个一维能量有限信号的短时傅里叶变换!能量有限信号 能量有限二维信号STFT第45页/共137页 模糊函数与重建核模糊函数与重建核 模糊函数定义模糊函数沿时间轴和频率轴的衰减性可以定义 信号的时频结构-比Heisenberg box更精确模糊函数在雷达信号设计中具有重要用途 第46页/共137页重建核和模糊函数的关系重建核和模糊函数的关系第47页/共137页离散短时傅里叶变换第48页/共137页连续小波变换连续小波变换连续小波正变换连续小波正变换连续小波反变换连续小波反变换连续小波变换性质连续小波变换性质 时移

16、不变性时移不变性 尺度变换性尺度变换性 微分性微分性 再生核方程再生核方程 能量守恒定理能量守恒定理尺度谱尺度谱小波原子的时频结构小波原子的时频结构 解析小波及解析小波变换解析小波及解析小波变换小波脊小波脊第49页/共137页连续小波变换的定义：连续小波变换的定义：Notes:第50页/共137页(2)2)尺度因子尺度因子s s的作用是对母小波做伸缩，选择不同的的作用是对母小波做伸缩，选择不同的s s会改会改变波形的宽窄，但不会改变波形的形状。尺度因子变波形的宽窄，但不会改变波形的形状。尺度因子s s越大，越大，波形越宽，可以用于分析持续时间长的低频信号。波形越宽，可以用于分析持续时间长的低频

17、信号。第51页/共137页第52页/共137页(4)4)小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的奇异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽奇异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽小波。小波。第53页/共137页墨西哥草帽小波的波形及其傅里叶变换：墨西哥草帽小波的波形及其傅里叶变换：第54页/共137页基于墨西哥草帽小波的连续小波变换：基于墨西哥草帽小波的连续小波变换：奇异性检测奇异性检测第55页/共137页(5)小波也可以是复小波，并且一般采用复解析小波。采用复解析小波常用来做时频分析，如检测信号的瞬时频率。采用复解析小波进行的小波变换称为解析小波

18、变换(AWT:Analytic Wavelet Transform).第56页/共137页（6 6）连续小波变换的滤波器解释）连续小波变换的滤波器解释:S变化时可以看成是带宽不断变化的一组带通滤波器。变化时可以看成是带宽不断变化的一组带通滤波器。第57页/共137页第58页/共137页(7)连续的含义（三重连续）连续的含义（三重连续）：信号信号是连续的；是连续的；尺度因子尺度因子是连续的；是连续的；位移因子位移因子 是连续的。是连续的。(8)计算机实现连续小波变换时运算量很大计算机实现连续小波变换时运算量很大 用计算机处理时较慢用计算机处理时较慢,这往往限制了其在实时信号处理中的应用。这往往限

19、制了其在实时信号处理中的应用。第59页/共137页连续小波变换的计算连续小波变换的计算计算连续时间小波变换的计算连续时间小波变换的4 4个步骤：个步骤：1 1、选取一个小波，然后将其和待分析信号从起点开始 的一部分进行相乘积分。2 2、计算相关系数c c。第60页/共137页3 3、将小波向右移，重复、将小波向右移，重复1 1和和2 2的步骤直到分析完整个信的步骤直到分析完整个信号。号。4 4、将小波进行尺度伸缩后再重复、将小波进行尺度伸缩后再重复1 1，2 2，3 3步骤，直至完步骤，直至完成所有尺度的分析。成所有尺度的分析。第61页/共137页连续小波变换的计算可以采用模拟器件来实现连续小

20、波变换。可以采用模拟器件来实现连续小波变换。连续小波变换的数值计算连续小波变换的数值计算n位移的离散化：位移的离散化：在上式中令在上式中令:,:,则有则有:第62页/共137页在实际计算时在实际计算时,尺度参数尺度参数s s也要进行离散化也要进行离散化,常见离散化方法是令常见离散化方法是令:可以用FFT来计算。第63页/共137页连续小波反变换连续小波反变换-连续小波变换的完备性问题连续小波变换的完备性问题 第64页/共137页第65页/共137页有关该定理的说明有关该定理的说明:该定理的证明过程利用了傅里叶分析的结果。该定理的证明过程利用了傅里叶分析的结果。称为称为小波容许条件。小波容许条件

21、。第66页/共137页在该定理证明过程中假设在该定理证明过程中假设 是与是与频率频率 无关的有限值，要使该假设成立，必然要求小波具有无关的有限值，要使该假设成立，必然要求小波具有零均值。零均值。如果 ，则容许条件成立。第67页/共137页尺度函数第68页/共137页墨西哥草帽小波对应的尺度函数及其傅里叶变换：墨西哥草帽小波对应的尺度函数及其傅里叶变换：低通特性低通特性第69页/共137页含有尺度函数的连续小波变换重建公式：第70页/共137页连续小波变换性质：连续小波变换性质：1 1、时移不变性：时移不变性：注意：注意：(1)(1)该性质在小波用于模式识别中的特征提取过程中该性质在小波用于模式

22、识别中的特征提取过程中 十分重要十分重要(2)(2)并不是所有小波变换都具有时移不变性并不是所有小波变换都具有时移不变性 DWT(DWT(离散小波变换离散小波变换)不具有时移不变性。不具有时移不变性。第71页/共137页DWT(DWT(离散小波变换离散小波变换)不具有平移不变性不具有平移不变性(示例示例)：第72页/共137页2 2、尺度变换性质、尺度变换性质该性质指出：当信号在时间轴作伸该性质指出：当信号在时间轴作伸缩时，其小波变换在时间轴和尺度缩时，其小波变换在时间轴和尺度轴上要作相同比例的伸缩，但小波轴上要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变变换的波形不变-小波被称为小波被称为“数数学

23、显微镜学显微镜”得名的由来。得名的由来。第73页/共137页3 3、微分性质、微分性质第74页/共137页4 4、连续小波变换的重建核方程：冗余性、连续小波变换的重建核方程：冗余性说明：说明：(1)重建核方程表明连续小波变换具有冗余性重建核方程表明连续小波变换具有冗余性-某一点的小波变换某一点的小波变换值可以通过值可以通过 平面其余点上的小波变换值按重建核方程恢复。平面其余点上的小波变换值按重建核方程恢复。第75页/共137页(2)(2)(3)(3)重建核方程表明：并不是任意的二维函数 都可以作为一个信号的连续小波变换。反映的是 的相关性。当 时，此时u-s平面内各点的小波系数才互不相关，此时

24、的小波变换没有冗余。此条件实际上表明不同尺度和位移处的小波是正交的。第76页/共137页(5)(5)能量守恒定理：能量守恒定理：第77页/共137页尺度谱和归一化尺度谱尺度谱和归一化尺度谱尺度谱和归一化尺度谱：描述信号能量在时间-尺度平面的分布。第78页/共137页尺度谱的时间尺度谱的时间-尺度表示和时间尺度表示和时间-频率表示频率表示假定频率和尺度间满足如下关系：，其中 是母小波的中心频率则：第79页/共137页小波时频原子的时频结构小波时频原子的时频结构第80页/共137页小波原子的时频结构小波原子的时频结构(续续)第81页/共137页小波原子的时频结构小波原子的时频结构(续续)第82页/

25、共137页在频域中有：小波原子的时频结构小波原子的时频结构(续续)第83页/共137页对应的时频窗(Heisenberg-box)的特点：(1)用于确定时频窗的四个参数都与尺度参数s有关。(2)当s大于1且增大时，时频窗的时间长度增加 ，而时频窗的频率长度减少 (3)时频窗的面积为：时频窗面积与尺度和位移参数无关，但与选定的母小波有关。小波原子的时频结构(续)第84页/共137页(4)低频：时频窗时间宽度大，频率宽度小低频：时频窗时间宽度大，频率宽度小 高频：时频窗时间宽度小，频率宽度大高频：时频窗时间宽度小，频率宽度大第85页/共137页解析小波和解析小波变换解析小波和解析小波变换解析信号：

26、解析信号：Analytic Signal解析小波解析小波:Analytic Wavelets解析小波变换解析小波变换:Analytic Wavelet Transforms第86页/共137页解析信号解析信号:定义定义:一个信号是解析的是指其傅里叶变换的值在负一个信号是解析的是指其傅里叶变换的值在负频率处全部为零频率处全部为零(没有负的频率成份没有负的频率成份)。实信号实信号f(t)对应的解析信号对应的解析信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为:第87页/共137页解析小波可以通过对一个实偶窗函数可以通过对一个实偶窗函数g(t)进行频率调制得到进行频率调制得到 第88页/共137页解析小波变换解析

27、小波变换(Analytic Wavelets)Analytic Wavelets)采用解析小波进行的小波变换称为解析小波变换采用解析小波进行的小波变换称为解析小波变换:采用解析小波变换主要是可以同时得到信号的瞬时幅频特采用解析小波变换主要是可以同时得到信号的瞬时幅频特性和相频特性性和相频特性.第89页/共137页有关解析小波变换有如下结论有关解析小波变换有如下结论:信号信号f(t)f(t)的解析小波变换可以由该信号的解析信号对应的解析小波变换确定的解析小波变换可以由该信号的解析信号对应的解析小波变换确定:第90页/共137页利用解析小波变换计算实信号的解析信利用解析小波变换计算实信号的解析信号

28、号如果如果f(t)f(t)是实信号是实信号,并且并且 ,则有则有:第91页/共137页常用信号的解析小波变换常用信号的解析小波变换(GaborGabor小波作为解析小波小波作为解析小波):):第92页/共137页 第93页/共137页时频分析应用时频分析应用:瞬瞬时频率检测时频率检测 瞬时频率瞬时频率解析信号可以分解成模和复相位的形式解析信号可以分解成模和复相位的形式:瞬时频率定义为复相位的导数瞬时频率定义为复相位的导数:n常用信号及其瞬时频率n单频正弦信号第94页/共137页常用信号及其瞬时频率(续)多分量信号:可见:含有多个频率分量的信号(多分量信号)的瞬时频率 不能客观反映原始信号中的频

29、率分布情况。解决办法:可以先通过短时傅里叶变换和小波变换分离不同频率成分,然后再求瞬时频率。第95页/共137页n瞬时频率检测的两个应用:n 通信中的频率调制:n 音频处理中的加性声音模型:变化缓慢第96页/共137页基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测测短时傅里叶脊短时傅里叶脊小波脊小波脊第97页/共137页短时傅里叶脊和小波脊用于瞬时频率检测理论基础：短时傅里叶脊和小波脊用于瞬时频率检测理论基础：第98页/共137页第99页/共137页证明:第100页/共137页第101页/共137页第102页/共137页第103页/共137页第104页/共137页第

30、105页/共137页第106页/共137页短时傅里叶脊短时傅里叶脊：STFT Ridges根据上述的理论，再做如下的假设：第107页/共137页第108页/共137页多分量信号的短时傅里叶脊（多分量信号的短时傅里叶脊（STFT STFT RidgesRidges）第109页/共137页短时傅里叶脊用于瞬时频率检测中窗长的选短时傅里叶脊用于瞬时频率检测中窗长的选择择:第110页/共137页窗长选择示例：窗长选择示例：第111页/共137页短时傅里叶脊是短时谱的局部极大值点。短时傅里叶脊是短时谱的局部极大值点。短时傅里叶脊在变换允许的时频分辨率范围内可短时傅里叶脊在变换允许的时频分辨率范围内可以描

31、述信号的瞬时频率。以描述信号的瞬时频率。变换允许的分辨率由变换允许的分辨率由HeisenbergHeisenberg盒描述。盒描述。对多分量信号对多分量信号,如果要用短时傅里叶脊来检测这两如果要用短时傅里叶脊来检测这两个信号的瞬时频率，则需满足如下条件：个信号的瞬时频率，则需满足如下条件：短时傅里叶脊：短时傅里叶脊：STFT RidgesSTFT Ridges第112页/共137页小波脊：小波脊：Wavelet Ridges小波时频原子（三参数小波小波时频原子（三参数小波）：）：第113页/共137页解析小波变换：解析小波变换：第114页/共137页第115页/共137页小波脊小波脊:归一化尺

32、度谱的极值点归一化尺度谱的极值点第116页/共137页第117页/共137页小波脊：小波脊：Wavelet ridges小波脊是归一化尺度谱的极大值点。小波脊是归一化尺度谱的极大值点。小波脊在变换允许的时频分辨率下可以描述信号的小波脊在变换允许的时频分辨率下可以描述信号的瞬时频率。瞬时频率。变换允许的时频分辨率由变换允许的时频分辨率由Heisenberg-box来描述。来描述。第118页/共137页 (a)a)尺度谱尺度谱 (b)b)小波脊小波脊 (c)c)短时谱短时谱 (d)d)短时脊短时脊原因原因:高频高频时时CWT的的频率分辨频率分辨率过低率过低第119页/共137页 (a)a)尺度谱尺

33、度谱 (b)b)小波脊小波脊 (c)c)短时谱短时谱 (d)d)短时脊短时脊原因原因:高频时高频时STFT的的时间分辨率过低时间分辨率过低第120页/共137页附录：常见小波介绍附录：常见小波介绍可以通过可以通过Matlab命令命令Waveinfo了解常见小波的信息了解常见小波的信息可以通过可以通过Wavefun画出小波的波形画出小波的波形第121页/共137页1.Crude wavelets(原始小波)Wavelets:高斯小波、高斯小波、Morlet小波小波特性特性:仅满足小波的最低要求仅满足小波的最低要求 -不能构成正交函数集合不能构成正交函数集合 -小波函数不是紧支撑的小波函数不是紧支

34、撑的 -不一定能保证稳定重建不一定能保证稳定重建.可能的分析方法可能的分析方法:-连续分解连续分解主要的好性质主要的好性质:对称性对称性,小波函数具有显式的表达式小波函数具有显式的表达式.主要问题主要问题:不存在快速算法不存在快速算法,精确重建不可能精确重建不可能.第122页/共137页 Wavelets:meyer(meyr).特性特性:-尺度函数存在尺度函数存在,可以进行正交分析可以进行正交分析.-尺度函数和小波函数是无限可微分的尺度函数和小波函数是无限可微分的.-尺度函数和小波函数都不是有限支撑的尺度函数和小波函数都不是有限支撑的 可能的分析方法可能的分析方法:-可以进行连续小波变换可以

35、进行连续小波变换.-可以进行离散变换可以进行离散变换,但滤波器无限长但滤波器无限长.主要的好性质主要的好性质:对称性对称性,无限正则性无限正则性.主要问题主要问题:不存在快速算法不存在快速算法.Wavelets:离散的离散的Meyer wavelet(dmey).特性特性:-用用FIR 滤波器来近似滤波器来近似 Meyer wavelet 可能的分析方法可能的分析方法:-连续小波变换连续小波变换.-离散小波变换离散小波变换.2.Infinitely regular wavelets(无限正则的小波无限正则的小波)第123页/共137页3.Orthogonal and compactly sup

36、ported wavelets(正交紧支撑小波正交紧支撑小波)Wavelets:Daubechies(dbN),symlets(symN),coiflets(coifN).常见特性常见特性:-尺度函数存在尺度函数存在,可以进行正交分析可以进行正交分析.-尺度函数和小波函数是有限长的尺度函数和小波函数是有限长的.-小波函数具有一定的消失矩小波函数具有一定的消失矩.可能的分析方法可能的分析方法:-可以进行连续变换可以进行连续变换.-可以采用可以采用FWTFWT进行离散小波变换进行离散小波变换.主要的好的性质主要的好的性质:紧支撑紧支撑,具有消失矩具有消失矩,可以用可以用FIRFIR滤波器进行快速实

37、现滤波器进行快速实现.主要的问题主要的问题:差的正则性差的正则性.特别的特性特别的特性:For dbN :asymmetry(不对称不对称)For symN:near symmetry(近似对称近似对称)For coifN:near symmetry and phi as psi,has also vanishing moments(近似对称近似对称,但尺度函数也具有消失矩但尺度函数也具有消失矩).).第124页/共137页 Wavelets:B-splines biorthogonal wavelets(biorNr.Nd and rbioNr.Nd).特性特性:尺度函数存在尺度函数存在,可

38、以进行双正交分析可以进行双正交分析.分解的尺度函数和小波函数分解的尺度函数和小波函数,重构的尺度函数和小波函数都是有限长的重构的尺度函数和小波函数都是有限长的.分解的尺度函数和小波函数都具有消失矩分解的尺度函数和小波函数都具有消失矩.重建的小波函数和尺度函数都具有正则性重建的小波函数和尺度函数都具有正则性.可能的分析方法可能的分析方法:连续小波变换连续小波变换.采用采用FWTFWT进行离散小波变换进行离散小波变换.主要好性质主要好性质:FIR filters是对称的是对称的,分解和重构所需要的特性可以分离分解和重构所需要的特性可以分离.主要问题主要问题:不具有正交性不具有正交性.4.Biort

39、hogonal and compactly supported wavelet pairs(双正交紧支撑双正交紧支撑小波小波)第125页/共137页Wavelets:Complex Gaussian wavelets(cgauN),complex Morlet wavelets(cmorFb-Fc),complex Shannon wavelets(shanFb-Fc),complex frequency B-spline wavelets(fbspM-Fb-Fc).特性特性:只具有最小的特性只具有最小的特性 -尺度函数不存在尺度函数不存在.-不能进行正交分析不能进行正交分析.-小波函数不是紧

40、支撑的小波函数不是紧支撑的.-不能保证精确重建不能保证精确重建.可能的分析可能的分析:-复的连续分解复的连续分解.主要的好的特性主要的好的特性:对称性对称性,小波函数具有显式的表达式小波函数具有显式的表达式.主要问题主要问题:不存在快速算法和精确重构不存在快速算法和精确重构.5.Complex wavelets(复小波复小波)第126页/共137页 haar :Haar wavelet.db :Daubechies wavelets.sym :Symlets.coif :Coiflets.bior :Biorthogonal wavelets.rbio :Reverse biorthogona

41、l wavelets.meyr :Meyer wavelet.dmey :Discrete Meyer wavelet.gaus :Gaussian wavelets.mexh :Mexican hat wavelet.morl :Morlet wavelet.cgau :Complex Gaussian wavelets.cmor :Complex Morlet wavelets.shan :Complex Shannon wavelets.fbsp :Complex Frequency B-spline wavelets.MatLab介绍的有关小波信息第127页/共137页Haar小波:G

42、eneral characteristics:Compactly supported wavelet,the oldest and the simplest wavelet.scaling function phi=1 on 0 1 and 0 otherwise.wavelet function psi=1 on 0 0.5,=-1 on 0.5 1 and 0 otherwise.Family Haar Short name haar Examples haar is the same as db1 Orthogonal yes Biorthogonal yesCompact suppor

43、t yesDWT possible CWT possible Support width 1 Filters length 2Regularity haar is not continuous Symmetry yes Number of vanishing moments for psi 1第128页/共137页db小波小波:Daubechies Wavelets General characteristics:Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments fo

44、r a given support width.Associated scaling filters are minimum-phase filters.Family Daubechies Short name db Order N N strictly positive integerExamples db1 or haar,db4,db15 Orthogonal yesBiorthogonal yes Compact support yesDWT possibleCWT possible Support width 2N-1 Filters length 2N Regularity abo

45、ut 0.2 N for large N Symmetry far from Number of vanishing moments for psi N第129页/共137页不同阶次的不同阶次的Daubechies小波波形：小波波形：第130页/共137页Meyer小波General characteristics:Infinitely regular orthogonal wavelet.Family Meyer Short name meyr Orthogonal yesBiorthogonal yes Compact support no DWT possible but without

46、 FWT FIR based approximation provides FWT CWT possible Support width infiniteEffective support -8 8Regularity indefinitely derivable Symmetry yes第131页/共137页Meyer小波:第132页/共137页Biorthogonal Wavelets:双正交小波General characteristics:Compactly supported biorthogonal spline wavelets for which symmetry and ex

47、act reconstruction are possible with FIR filters(in orthogonal case it is impossible except for Haar).Family BiorthogonalShort name biorOrder Nr,Nd Nr=1,Nd=1,3,5r for reconstruction Nr=2,Nd=2,4,6,8d for decomposition Nr=3,Nd=1,3,5,7,9 Nr=4,Nd=4 Nr=5,Nd=5 Nr=6,Nd=8Examples bior3.1,bior5.5Orthogonal n

48、oBiorthogonal yesCompact support yes 第133页/共137页DWT possibleCWT possibleSupport width 2Nr+1 for rec.,2Nd+1 for dec.Filters length max(2Nr,2Nd)+2 but essentiallybior Nr.Nd ld lr effective length effective length of Lo_D of Hi_D bior 3.9 20 4bior 4.4 9 7bior 5.5 9 11bior 6.8 17 11Regularity for psi re

49、c.Nr-1 and Nr-2 at the knotsSymmetry yes Number of vanishing moments for psi dec.NrRemark:bior 4.4,5.5 and 6.8 are such that reconstruction and decomposition functions and filters are close in value.第134页/共137页Bior4.4(B9/7)小波第135页/共137页本章小结本章小结傅里叶分析回顾傅里叶分析回顾时频分析的基本原理时频分析的基本原理短时傅里叶变换短时傅里叶变换连续小波变换连续小波变换短时傅里叶变换和连续小波变换在瞬时频率短时傅里叶变换和连续小波变换在瞬时频率检测中的应用检测中的应用介绍了常见的小波介绍了常见的小波第136页/共137页感谢您的观看！第137页/共137页