损失分布学习.pptx

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1、2023/2/14 17:361第八章 损失分布引言第一节 概率论与数理统计基本概念第二节 常用损失分布及性质第三节 获得损失分布的一般过程第1页/共103页2023/2/14 17:362第八章 损失分布1、损失分布建立在概率论与数理统计基础上损失分布建立在概率论与数理统计基础上2 2、常用描述风险损失分布：、常用描述风险损失分布：二项分布；几何分布；泊松分布；负二项分布；正态分布二项分布；几何分布；泊松分布；负二项分布；正态分布3 3、获得损失分布方法：经典统计法、贝叶斯方法、随机、获得损失分布方法：经典统计法、贝叶斯方法、随机模拟法模拟法第2页/共103页2023/2/14 17:363

2、引言引言风险管理措施依赖于事先对风险做出定量预测，预测的结果就是损失分布。风险是未来的不确定性，无法用一个数值描述，只能用汇总所有结构及其发生概率的概率分布来描述。概率论与数理统计是基础与关键。第3页/共103页2023/2/14 17:364第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念1、随机事件与样本空间定义：广义从某一研究目的出发，对随机现象进行观察或测量的过程均可称为随机试验。一个过程的结果的某种集合称为一个事件，无法再分解为更简单成分的结果或事件称为基本事件。随机试验的结果也称随机事件。随机试验的所有基本事件的集合称为此试验的样本空间，其中每一个结果称为样本点。第4页/共10

3、3页2023/2/14 17:365第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念2、概率的定义一般地，概率用P表示，事件用A，B或C表示，P（A）就表示事件A发生的概率。定义：古典概率（结果发生必须是等可能的）：假设一个试验包括n种不同的基本事件，这些基本事件发生的可能性都是相同的。如果在这n个结果种，有m种属于事件A，那么P（A）=m/n第5页/共103页2023/2/14 17:366第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念定义：概率的统计定义：将一个试验在相同条件下重复n次，假设事件A出现了m次。当试验的重复次数足够多时，事件A发生的概率可以用事件A发生的频率来近似，

4、即 P（A）=m/n第6页/共103页2023/2/14 17:367第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念定义：主观概率：事件A的概率P（A）是基于相关环境知识，通过对它的值进行猜想或估计计算出的。我们主观估计的概率与实际概率存在很大不同。见案例！第7页/共103页2023/2/14 17:368第一节 概率论与数理统计的基本概念如果你做一个深呼吸，你有超过99%机会吸入凯撒垂死时呼出的最后一口气的分子。如果苏格拉底致命的铁杯里装满了很多水，那么你喝下一杯水中就有可能含有一个同样的水分子。在一个班里25名同学中，有超过50%可能性，至少有2个学生的生日是在同一天。第8页/共10

5、3页2023/2/14 17:369第一节 概率论与数理统计的基本概念第9页/共103页2023/2/14 17:3610苏格拉底小故事苏格拉底虽是古希腊一位伟大的哲学家和教育家，但他自己一篇著作也没有留下，我们只能从他的学生如柏拉图、色诺芬等人的著作中了解他的言行和思想。这一点颇像我国古代伟大的哲学家、教育家孔子。孔子一生也是“述而不作”，没有留下任何著作。论语这部著作要是他的弟子和他的再传弟子们将他一生的言行整理、汇集成。第10页/共103页2023/2/14 17:3611第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念3、概率的运算规则（1）加法：P（A+B）=P（A）+P（B）-

6、P（AB）如果A和B是互斥的，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）（2）乘法：P（AB）=P（A）P（BA）条件概率P（BA）=P（AB）/P（A）如果A和B是独立的，那么 P（AB）=P（A）P（B）第11页/共103页2023/2/14 17:3612第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念3、概率的运算规则（3）全概率公式与贝叶斯公司全概率公式用于某一事件的概率的计算。如果事件组满足：A1，A2，An两两互斥，且P（Ai）0（i=1，n）；A1+A2+An=U（U为整个样本空间），则对任何一事件B皆有第12页/共103页2023/2/14 17:3613第一节 概率论与数理

7、统计的基本概念一、概率论基本概念贝叶斯：当我们对一个事件知道更多时，概率应该被修正。表示A的补，第13页/共103页2023/2/14 17:3614第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念4、随机变量与概率分布定义：一个随机变量是指这样一个便利，对于过程中的每个结果，都有一个由可能性决定的唯一的数值与之对应。如果变量的数值有限或可数，则称这个随机变量为一个离散随机变量。如果一个随机变量有无限多取值，这些数值能够和一种没有间断的连续刻度的度量联系起来，则称这种随机变量为连续随机变量。一个概率分布（probability distribution）表示随机变量每个值的概率图、表或公式

8、。第14页/共103页2023/2/14 17:3615第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念5、随机变量的数字特征期望值（expected value）：如果随机试验无限重复下去，我们所期望得到的平均值。方差（variance）：表示随机变量取值与其期望值偏离程度。定义：离散随机变量X的期望值其中 是随机变量X的第i个取值，第15页/共103页2023/2/14 17:3616第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念连续随机变量X的期望值 为随机变量X的取值，为随机变量X的概率密度函数。连续随机变量用函数形式表示概率分布称为概率密度函数离散随机变量X的方差 随机变量

9、X的期望值。第16页/共103页2023/2/14 17:3617第一节 概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念连续随机变量X的期望值例题10.1：p151 第17页/共103页2023/2/14 17:3618第一节 概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念1、统计推断：从一般到具体方法称为演绎法，是概率论的研究方法。从具体到一般方法称为归纳法，是数理统计研究方法。抽取样本观察，整理分析判断，得出一般结论 -统计推断 数理统计作用提供归纳推断方法，并对推断结论可信度做出计量第18页/共103页2023/2/14 17:3619第一节 概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念

10、2、总体、样本与分布定义：按照统计研究目的而确定的同类事物或出现现象的全体称为总体，它是个体或特体性质的集合。样本（sample）指从总体中抽取若干个元素而构成的集体。数理统计中，一般采用概率抽样，即每个单位都有指定概率被选中，便于基于概率论推断总体。第19页/共103页2023/2/14 17:3620第一节 概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念总体的数值分布的规律称为总体分布，其中的特征数称为参数。从总体中抽取容量为n的样本，样本观察值的分布称为经验分布。使用样本数据来估计总体参数的公式或过程称为估计量。用来近似总体参数的特征数值或数值的范围称为估计值。样本数据平均值称为样本均值

11、，样本数据的方差和标准差分别称为样本方差和样本均方差。第20页/共103页2023/2/14 17:3621第一节 概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念3、偏态定义：将数据按照大小依次排列，处于中间位置的数值称为中位数，出现最多的那个数值称为众数。如果数据的均值、中位数和众数三者是相同的，则这个分布是对称分布，没有偏态。如果一个分布的众数小于中位数，则称其为正偏或右偏，反之称为负偏或左偏。第21页/共103页2023/2/14 17:3622第一节 概率论与数理统计的基本概念 正偏负偏第22页/共103页2023/2/14 17:3623第一节 概率论与数理统计的基本概念二、数理统计

12、基本概念4、相关定义：当两个变量中的一个以某种方式和另一个有关时，就称这两个变量之间是相关的。相关性可以相关系数（correlation coefficient）来度量。线性相关系数r（皮尔森积距相关系数）度量的是一个样本中成对的x值和y值之间线性关系的程度，第23页/共103页2023/2/14 17:3624第一节 概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念其中，即随机变量X和Y的标准差，称为X和Y的协方差，第24页/共103页2023/2/14 17:3625第一节 概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念例题10.2：p153计算相关系数结论：1 1、正相关是两个随机变量倾向

13、于以相同方向变、正相关是两个随机变量倾向于以相同方向变化，负相关指的是二者倾向于相反方向变化。化，负相关指的是二者倾向于相反方向变化。2 2、相关性不代表因果性！（当相关系数大时，、相关性不代表因果性！（当相关系数大时，不能简单认为不能简单认为x x的变化引起的变化引起y y的变化，而唯一有效结的变化，而唯一有效结论是：论是：x x和和y y之间也许存在某种线性趋势，可能是与之间也许存在某种线性趋势，可能是与二者有因果关系的第三个变量在起作用。二者有因果关系的第三个变量在起作用。第25页/共103页2023/2/14 17:3626第一节 概率论与数理统计的基本概念思考与练习：1、退休收入主要

14、来源调查表p1642、公司电脑芯片来自A厂的概率p1653、什么是随机变量、概率分布等等p1654、计算第26页/共103页2023/2/14 17:3627第二节 常用的损失分布及性质1、二项分布(常用离散型概率分布)其模型:假设在n次独立的重复试验中，每次试验只可能有两种结果（1或0），设在每一次试验中1出现的概率都是p第27页/共103页2023/2/14 17:3628第二节 常用的损失分布及性质则随机变量X的概率分布：二项分布的均值和方差：第28页/共103页2023/2/14 17:3629第二节 常用的损失分布及性质2、几何分布其模型：考虑只有两个结果的独立重复随机变量试验序列，

15、指定结果发生的概率为p，则首次出现指定结果所需的试验次数X的概率分布：第29页/共103页2023/2/14 17:3630第二节 常用的损失分布及性质几何分布的均值和方差：第30页/共103页2023/2/14 17:3631第二节 常用的损失分布及性质3、泊松分布（近似二项）其模型：法国数学家泊松二项近似引入。只有两个结果的n次独立重复随机试验，当n很大，且指定结果发生概率p很小，且np适中，泊松是很好近似。一般应用：1、泊松在描述稀有事件出现概率特别有用。2、描述单位时间内或指定范围内特定事件出现次数的统计规律第31页/共103页2023/2/14 17:3632第二节 常用的损失分布及

16、性质3、泊松分布：如果随机变量X取值为0,1,2,则概率分布，记为泊松分布的均值和方差：第32页/共103页2023/2/14 17:3633第二节 常用的损失分布及性质3、泊松分布：例题10.3：p155 第33页/共103页2023/2/14 17:3634第二节 常用的损失分布及性质4、负二项分布：其模型：进一步研究只有两个结果的独立重复随机试验序列，指定结果发生的概率为p，则指定结果第k次恰好出现在第x+k次试验的概率为：记为NB（k，p）负二项分布的均值和方差：第34页/共103页2023/2/14 17:3635第二节 常用的损失分布及性质例题10.4：p156请同学们自做，并讨论

17、，然后请同学讲解。第35页/共103页2023/2/14 17:3636第二节 常用的损失分布及性质5、正态分布（高斯分布）是常用连续型分布，风险事故造成的损失金额较好服从正态分布：若 为两个实数，则由下列密度函数确定随机变量X的分布称为正态分布：记为第36页/共103页2023/2/14 17:3637第二节 常用的损失分布及性质5、正态分布的均值和方差：当 称为标准正态分布，相应密度函数和分布函数专门记为：第37页/共103页2023/2/14 17:36382-1参数的点估计参数的点估计参数的区间估计参数的区间估计点估计的评判标准点估计的评判标准第38页/共103页2023/2/14 1

18、7:3639什么是参数估计？什么是参数估计？参数是刻画总体某方面概率特性的数量.当此数量未知时,从总体抽出一个子样，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，例如，X N(,2),点估计点估计区间估计区间估计若若,2未知未知,通过构造样本的函数通过构造样本的函数,给出给出它们的估计值或取值范围就是参数估计它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容的内容.第39页/共103页2023/2/14 17:3640参数估计的类型参数估计的类型点估计点估计 估计未知参数的值估计未知参数的值区间估计区间估计 估计未知参数的取值范围，估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数并使此范围包含未知参

19、数 真值的概率为给定的值真值的概率为给定的值.第40页/共103页2023/2/14 17:36412.1 点估计方法点估计方法常用的点估计方法介绍q 频率替换法频率替换法利用事件A 在 n 次试验中发生的频率作为事件A 发生的概率 p 的估计量第41页/共103页2023/2/14 17:3642例例1 1 设总体X N(,2),在对其作28 次 独立观察中,事件“X 4”出现了21 次,试用频率替换法求参数 的估计值.解解 由查表得于是 的估计值为第42页/共103页2023/2/14 17:3643方方法法用子样 k 阶原点矩作为总体 k 阶原 点矩的估计量,建立含有待估参数 的方程,从

20、而解出待估参数一般,不论总体服从什么分布,总体期望 与方差 2 存在,则它们的矩估计量分别为q 矩法矩法 矩法矩法第43页/共103页2023/2/14 17:3644事实上，按矩法原理，令第44页/共103页2023/2/14 17:3645例例2 2 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,1200 1250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解解例例2 2第45页/共103页2023/2/14 17:3646例例3 3 设总体 X E(),X1,X2,Xn为

21、总体的 样本,求 的矩法估计量.解解令故例例4 4 设总体 X U(a,b),a,b 未知,求参数 a,b 的 矩法估计量.解解由于第46页/共103页2023/2/14 17:3647令解得第47页/共103页2023/2/14 17:3648例例5 5 设总体 X 解解例例5 5,其密度函数为求 和 的矩估计量.令第48页/共103页2023/2/14 17:3649令解得第49页/共103页2023/2/14 17:3650一般,设待估计的参数为总体的 r 阶矩记为子样 X1,X2,Xn 的 r 阶矩为令解上述方程组,得 k 个统计量：未知参数 1,k 的矩估计量矩法小结矩法小结第50页

22、/共103页2023/2/14 17:3651q 最大似然估计法大似然估计法 思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如:有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答:第一箱.问:所取的球来自哪一箱？最大似然法最大似然法第51页/共103页2023/2/14 17:3652例例6 6 设总体 X 服从0-1分布,且P(X=1)=p,用最大似然法求 p 的估计值.解解总体 X 的概率分布为 设 x1,x2,xn为总体样本X1,X2,Xn的样本值,则例例6 6第52页/共103页

23、2023/2/14 17:3653对于不同的 p,L(p)不同,见右下图现经过一次试验，发生了，事件则 p 的取值应使这个事件发生的概率最大.第53页/共103页2023/2/14 17:3654在容许范围内选择 p，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若某个p 使ln L(p)最大,则这个p 必使L(p)最大。所以为所求 p 的估计值.第54页/共103页2023/2/14 17:3655一般,设 X 为离散型随机变量,其分布律为则样本 X1,X2,Xn的概率分布为或称 L()为样本的似然函数第55页/共103页2023/2/14 17:3656称这样得到的 为参数

24、 的极大似然估计值称统计量为参数 的极大似然估计量MLE简记mle简记L()选择适当的=,使 取最大值,即最大似然法的思想第56页/共103页2023/2/14 17:3657若 X 连续,取 f(xi,)为Xi 的密度函数似然函数为注1 1注2 2未知参数可以不止一个,如1,k 设X 的密度(或分布)为则定义似然函数为第57页/共103页2023/2/14 17:3658若关于1,k可微,则称为似然方程组若对于某组给定的样本值 x1,x2,xn，参数 使似然函数取得最大值,即则称为1,k 的极大似然估计值第58页/共103页2023/2/14 17:3659例例7 7 设总体 X N(,2)

25、,x1,x2,xn 是 X 的样本值,求,2 的极大似然估计.解解例例7 7第59页/共103页2023/2/14 17:3660,2 的最大似然估计量分别为似然似然方程方程组为组为第60页/共103页2023/2/14 17:3661最大似然估计步骤最大似然估计步骤1）写出似然函数 L2）求出,使得可得未知参数的最大似然估计值若 L可微,解似然方程组若 L不可微,需用其它方法求最大似然估计值.请看下例：步骤步骤第61页/共103页2023/2/14 17:3662例例8 8 设 X U(a,b),x1,x2,xn 是 X 的一个样本值,求 a,b 的极大似然估计值与极大似然估计量.解解 X

26、的密度函数为似然函数为例例8 8第62页/共103页2023/2/14 17:3663似然函数只有当 a xi b,i=1,2,n 时才能获得最大值,且 a 越大,b 越小,L 越大.令xmin=min x1,x2,xnxmax=max x1,x2,xn取则对满足的一切 a b,都有第63页/共103页2023/2/14 17:3664故是 a,b 的极大似然估计值.分别是 a,b 的极大似然估计量.问问 题题1)待估参数的极大似然估计是否一定存在待估参数的极大似然估计是否一定存在?2)若存在若存在,是否惟一是否惟一?第64页/共103页2023/2/14 17:3665 设 X U(a ,a

27、+),x1,x2,xn 是 X的一个样本,求 a 的极大似然估计值.解解 由上例可知,当时,L 取最大值 1,即显然,a 的极大似然估计值可能不存在,也可能不惟一.例例9 9例例9 9第65页/共103页2023/2/14 17:3666不仅如此,任何一个统计量若满足都可以作为 a 的估计量.第66页/共103页2023/2/14 17:3667极大似然估计的不变性极大似然估计的不变性设设 是是 的极大似然估计值的极大似然估计值,u()()是是 的函数的函数,且有单值反函数且有单值反函数 =(u),u U 则则 是是 u()的极大似然估计值的极大似然估计值.不变性不变性第67页/共103页20

28、23/2/14 17:3668如如 在正态总体N(,2)中,2的极大 似然估计值为是 2的单值函数,且具有单值反函数，故 的极大似然估计值为lg 的极大似然估计值为第68页/共103页2023/2/14 17:3669q 特殊方法特殊方法 （对正态总体参数的特殊估计）（对正态总体参数的特殊估计）用子样中位数作为总体期望的估计用子样极差的函数作为总体均方差的估计特殊法特殊法值查表2-1（P.41）第69页/共103页2023/2/14 17:3670设若是的中位数,则对任意有近似即当 较大时，近似所以，当 较大时可取定理第70页/共103页2023/2/14 17:3671设总体设总体为子样极差

29、，则为子样极差，则由上可见：由上可见：估计估计产生平均平方产生平均平方误差为误差为用用标准差为标准差为其其系数系数可查表可查表 2-1（P.41）第71页/共103页2023/2/14 17:3672当当时时,将子样数据等分成若干组将子样数据等分成若干组,每每组数据不超过组数据不超过10个个,取各组极差的平均取各组极差的平均然后用然后用估计估计查查 时，时，取每一组中数据的个数取每一组中数据的个数.第72页/共103页2023/2/14 17:3673例例1010 设一批机器零件毛坯的重量服从正态分布,随机抽取10件,得子样(单位kg):210,243,185,240,215,228,196,

30、235,200,199解解 将子样由小到大重排例例1010用不同方法估计总体的参数值.第73页/共103页2023/2/14 17:3674其中误差误差误差误差查表 2-1第74页/共103页2023/2/14 17:3675例例1111 某班某班50名学生概率考试成绩如下名学生概率考试成绩如下：75 65 80 81 92 63 77 79 54 9885 72 66 84 83 60 82 78 64 9081 78 76 86 68 76 73 71 88 8765 57 46 89 78 66 87 79 84 7896 88 67 38 67 75 83 82 68 85例例1111

31、若认为学生成绩总体若认为学生成绩总体试用试用特殊方法估计总体的参数值特殊方法估计总体的参数值.第75页/共103页2023/2/14 17:3676解解1 75 65 80 81 92 63 77 79 54 982 85 72 66 84 83 60 82 78 64 903 81 78 76 86 68 76 73 71 88 874 65 57 46 89 78 66 87 79 84 785 96 88 67 38 67 75 83 82 68 854430204358组组成成 绩绩将数据等分为将数据等分为5 5组组.第76页/共103页2023/2/14 17:3677 结结 论论

32、一般矩法一般矩法 与最大似与最大似 然法优于然法优于 特殊方法特殊方法 第77页/共103页2023/2/14 17:3678第三节 获得损失分布的一般过程获得损失分布方法总介绍：1、经典统计法是指在数据相对完备的条件下，通过总体信息和样本信息来确定损失的概率分布、估计其未知参数。2、贝叶斯方法采用先验概率、损失函数等主观信息来估计未知参数，估计损失的概率分布。3、随机模拟应用计算机程序对实际过程进行模拟，在模拟结果的基础上对损失分布进行估算第78页/共103页2023/2/14 17:3679第三节 获得损失分布的一般过程获得损失分布的方法通常有经典统计方法、贝叶斯统计方法和随机模拟。一、经

33、典统计方法基于总体信息和样本信息进行的统计推断被称为经典统计学。其过程如下：（1）获得损失分布的大体轮廓得出密度函数曲线（2）选择分布类型（3）估计参数，确定概率分布：用矩法或极大似然法（4）对分布及参数进行检验：卡方检验第79页/共103页2023/2/14 17:3680第三节 获得损失分布的一般过程检验分布的拟合是否恰当，常用卡方检验。先把观察数据排序，然后分为若干组，组数记为n。计算每一组的数据个数Oi，再用所选择的概率分布计算每一组的“理论个数”Ei，则近似服从自由度为n-r-1的卡方分布，其中r为所选择的概率分布中参数的个数。第80页/共103页2023/2/14 17:3681第

34、三节 获得损失分布的一般过程例10.5：p159设某投保人经营某种车辆险，对过去发生的1000次理赔情况，平均理赔额为2200元，将个体理赔额分为5档，个档的数值范围与次数见p159表试用卡方检验判断是否能用指数分布模拟个体；理赔额的分布?第81页/共103页2023/2/14 17:3682第三节 获得损失分布的一般过程解：如果用指数分布模拟个体理赔额的分布，就要估计指数分布的参数，由最大似然法可以估计出 接下来计算：X2统计量的值为第82页/共103页2023/2/14 17:3683第三节 获得损失分布的一般过程 查表可以知道，在99.5%置信度下的临界值为14.86，远远低于观察值33

35、1.89，因而拒绝原假设，即选择指数分布不恰当！第83页/共103页2023/2/14 17:3684第三节 获得损失分布的一般过程二、贝叶斯方法 经典统计方法是建立在具有独立性和代表性的样本信息基础上，但在风险管理实践中，有时对损失分布的估计需要加入主观判断，并利用获得的数据修正原来的估计的方法就是贝叶斯方法。第84页/共103页2023/2/14 17:3685贝叶斯简介贝叶斯是英国数学家.1702伦敦-1761年卒.1742年，贝叶斯被选为英国皇家学会会员.1763年，贝叶斯发表论机会学说问题的求解中，提出了一种归纳推理的理论，其中的“贝叶斯定理（或贝叶斯公式）”给出了在已知结果E后，对

36、所有原因C计算其条件概率（后验概率）的公式，可以看作最早的一种统计推断程序，以后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法.贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者，形成数理统计学中的贝叶斯学派.如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.第85页/共103页2023/2/14 17:3686第三节 获得损失分布的一般过程二、贝叶斯方法 贝叶斯统计起源于英国学者贝叶斯去世后发表的论文论有关机遇问题求解 1、是否利用先验信息是贝叶斯统计方法和经典统计方法的主要区别。2、贝叶斯方法

37、重视已出现的样本观察值，对尚未发生的样本观察值不予考虑，与经典统计不同。第86页/共103页2023/2/14 17:3687第三节 获得损失分布的一般过程二、贝叶斯方法 先验信息：贝叶斯方法中评估人的主观判断称为先验信息，主要来源于经验和历史资料。在风险管理实践中，难以获得足够样本信息，或者现有样本信息不符合对统计样本的理论要求，此时，对损失分布的估计就需要加入评估人的主观判断，并利用新获得的证据来修正原来的估计。第87页/共103页2023/2/14 17:3688第三节 获得损失分布的一般过程二、贝叶斯方法 设损失变量X的分布函数为 连续情形下相应的密度函数族为 。估计 的贝叶斯方法和经

38、典统计方法区别：贝叶斯将 看做一个随机变量。其步骤如下：1、选择先验分布2、确定似然函数3、确定参数 的后验分布 4、选择损失函数并估计参数 第88页/共103页2023/2/14 17:3689第三节 获得损失分布的一般过程1、选择先验分布 设 的分布函数和密度函数分别为 和称为先验分布和先验密度。他们建立在研究者额经验和知识基础上，甚至是主观判断。第89页/共103页2023/2/14 17:3690第三节 获得损失分布的一般过程2、确定似然函数为了得到关于 的进一步信息，针对损失变量X进行一些试验或观察。假设获得的新信息的观察值为 ，则在 的条件下，可构造函数：第90页/共103页202

39、3/2/14 17:3691第三节 获得损失分布的一般过程3、确定参数 的后验分布 由贝叶斯公式可以得到 的后验分布。注意：对于离散分布总可以计算出分母，但连续分布通过分布族即共轭分布族。第91页/共103页2023/2/14 17:3692第三节 获得损失分布的一般过程常用共轭分布族：（1）二项分布的贝塔分布族（2）泊松分布的伽马分布族（3）指数分布的伽马分布族（4）正态分布的正态分布族第92页/共103页2023/2/14 17:3693第三节 获得损失分布的一般过程常用共轭分布族：（1）二项分布的贝塔分布族 在二项分布B（n，p）中，成功概率p的共轭分布族为贝塔分布 则p的后验分布为 其

40、中x为n次独立重复试验中的成功次数。第93页/共103页2023/2/14 17:3694第三节 获得损失分布的一般过程（2）泊松分布的伽马分布族在泊松分布中，泊松均值 的共轭先验分布为伽玛分布 则 的后验分布为：其中 为泊松总体中抽出的样本。第94页/共103页2023/2/14 17:3695第三节 获得损失分布的一般过程（3）指数分布的伽马分布族在指数分布Exp（）中，参数 的共轭先验分布为伽玛分布 ，则 的后验分布为，其中 为从指数总体中抽取的样本。第95页/共103页2023/2/14 17:3696第三节 获得损失分布的一般过程（4）正态分布的正态分布族在正态分布 中，在 已知的条

41、件下，正态均值 的共轭先验分布为正态分布其中 为正态总体中抽取的样本。第96页/共103页2023/2/14 17:3697第三节 获得损失分布的一般过程4、选择损失函数并估计参数 得到了待估计参数的后验分布后，就要给出一个参数的后验估计值。因为参数看做是随机变量，所以究竟选择什么指标作为后验估计，就取决于评估者对参数真实值和估计值之间差距的严重程度的价值判断。我们这个严重程度为“损失”，对“损失”的度量称为损失函数。第97页/共103页2023/2/14 17:3698第三节 获得损失分布的一般过程4、选择损失函数并估计参数最好的估计应该使得损失函数的值最小，求损失函数期望值的最小值第98页

42、/共103页2023/2/14 17:3699第三节 获得损失分布的一般过程4、选择损失函数并估计参数三种常用损失函数及其对于待估计参数的贝叶斯估计 损失函数 贝叶斯估计二次函数：绝对函数：后验分布的中位数0-1误差函数：后验分布的众数 第99页/共103页2023/2/14 17:36100第三节 获得损失分布的一般过程例题10.6：假设X表示n次伯努利实验中成功的次数，设每次成功的概率为p，则X-（n，p）。根据仅有的一次观察记录x来估计未知参数p。（1）求p的最大似然估计（2）在假定p的先验分布为均匀分布下求其贝叶斯估计第100页/共103页2023/2/14 17:36101第三节 获得损失分布的一般过程解：（1）一次观测值x的似然函数为取对数对p求导，得到最大似然函数估计为：（2）p的先验分布为均匀分布，即p-U（0，1），由贝叶斯公式可得p的后验分布为Be（x+1,n-x+1）。选择平方损失函数 ，得到p的估计值：第101页/共103页2023/2/14 17:36102第三节 获得损失分布的一般过程自学例10.7，随后请同学讨论并讲解.作业与练习：P166：5和6(附加题自愿做）第102页/共103页2023/2/14 17:36103感谢您的观看！第103页/共103页