概率论与数理统计2-2.ppt

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1、 第二节第二节 离散型随机变量及其离散型随机变量及其分布律分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法三种常见分布三种常见分布小结小结 布置作业布置作业 从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量.(1)X 可能取的值是可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为取每个值的概率为:看一个例子看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义一、离散型随机变量分布律的定义定义定义1：某些随机变量：某些随机变量X的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限多个或可列无限多个个或可列无限多个,这种随机变量称为这种

2、随机变量称为离散型随机离散型随机变量变量.其中其中 (k=1,2,)满足：满足：k=1,2,（1）（2）定定义义2：设设 xk(k=1,2,)是是离离散散型型随随机机变变量量 X 所所取的一切可能值，称取的一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律.用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律解解:依据分布律的性质依据分布律的性质P(X=k)0,a0,从中解得从中解得即即例例2设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数a.二、离散型随机变量表示方法二、离散型随机变量表示方法（1）公式法）公式法（2）列

3、表法）列表法X例例3 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独，求他两次独立投篮投中次数立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解：X可取值为可取值为0,1,2;PX=0=(0.1)(0.1)=0.01 PX=1=2(0.9)(0.1)=0.18 PX=2=(0.9)(0.9)=0.81常常表示为：常常表示为：这就是这就是X的分布律的分布律.例例4 某某射射手手连连续续向向一一目目标标射射击击，直直到到命命中中为为止止，已已知知他每发命中的概率是他每发命中的概率是p，求求所需射击发数所需射击发数X 的分布律的分布律.解解:显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是

4、1,2,，PX=1=P(A1)=p,为计算为计算 PX=k，k=1,2,，Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设于是于是可见可见这就是求这就是求所需射击发数所需射击发数X的分布律的分布律.例例5 一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，需需要要通通过过三三个个均均设设有有红红绿绿信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯为为红红或或绿绿与与其其它它信信号号灯灯为为红红或或绿绿相相互互独独立立，且且红红绿绿两两种种信信号号灯灯显显示示的的时时间间相相等等.以以X表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的的个个数数，求求X的分布律的分布律.解解:依题意依题意

5、,X可取值可取值0,1,2,3.PX=0=P(A1)=1/2,Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1PX=1=P()=1/4 PX=2=P()=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1=1/8P(X=3)=P()路口路口3路口路口2路口路口1即即X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数三、三种常见分布三、三种常见分布1、（、（0-1）分布：）分布：（也称两点分布）（也称两点分布）随机变量随机

6、变量X只可能取只可能取0与与1两个值，其分布律为：两个值，其分布律为：看一个试验看一个试验 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次次.X的分布律是：的分布律是：2.伯努利试验和二项分布伯努利试验和二项分布令令X 表示表示3次中出现次中出现“4”点的次数点的次数 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”一般地，一般地，设在一次试验设在一次试验E E中我们只考虑两个互逆的中我们只考虑两个互逆的结果：结果：A 或或 .这样的试验这样的试验E称为称为伯努利试验伯努利试验.“重复重复”是指这是指这 n 次试验中次试验中P(

7、A)=p 保持不变保持不变.将伯努利试验将伯努利试验E E独立地重复地进行独立地重复地进行n次次 ,则则称这一串称这一串重复的独立重复的独立试验为试验为n重伯努利试验重伯努利试验.“独立独立”是指各是指各 次试验的结果互不影响次试验的结果互不影响.用用X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数，则则易证：易证：（1）称称 r.vr.v X 服从参数为服从参数为n和和p的二项分布的二项分布，记作，记作 Xb(n,p)（2）例例6 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取的个，求在所取的

8、3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率.解解:因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则X b(3,0.05)，若若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为”无放回无放回”,那么各次那么各次试验条件就不同了试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验此试验就不是伯努利试验.此此时时,只能用古典概型求解只能用古典概型求解.请

9、注意：请注意：伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件 A 出现出现的次数的次数 X 的分布律的分布律.（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或或 ，（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立.可以简单地说，可以简单地说，且且 P(A)=p，；例例7 某类灯泡使用时数在某类灯泡使用时数在1000小时以上小时以上的概率是的概率是0.2，求三个灯泡在使用，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一

10、个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率.解解:设设X为三个灯泡在使用为三个灯泡在使用1000小时已小时已坏的灯泡数坏的灯泡数.X b(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验时数看作一次试验,“使用到使用到1000小时已坏小时已坏”视为事件视为事件A.每次试验每次试验,A 出现的概率为出现的概率为0.8 PX 1=PX=0+PX=1=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.1043.泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：且概率分布为：其中其中 0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为

11、的的泊松分布泊松分布,记作记作X().例例8 8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？某种商品多少件？解解:设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,已知已知X服从参数服从参数=5的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进设商店在月底应进某种商品某种商品m件件,求满足求满足P X m 0.95 的最小的的最小的m.

12、进货数进货数销售数销售数求满足求满足P X m 0.95 的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得PXm 0.05也即也即于是得于是得 m+1=10,m=9件件或或 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意在这个意义上，我们说义上，我们说 这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、四、小结小结练习题练习题五、布置作业五、布置作业概率统计概率统计标准化作业（二）标准化作业（二）一、一、1 1；三、；三、1 1，4 4；