数值分析6数值积分.pptx

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1、数值积分的几何意义第1页/共45页数值求积的基本思想依据积分中值定理，对于连续函数 f（x），在a，b内存在一点，成立 就是说，底为 b-a 而高为 f（）的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积 I.问题在于点 的具体位置一般是不知道的，因而难以准确地算出 f（）的值.我们称 f（）为区间 a，b上的平均高度.这样，只要对平均高度 f（）提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.第2页/共45页数值求积的基本思想 分别用分别用 f(a)，f(b)和和 近似近似 f()可得可得左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中中矩形公式矩形公式第3页/共45页求积公式的基本思想 若用若用 f(a)和和 f

2、(b)的算术平均值近似的算术平均值近似 f()，则可则可得得梯形公式梯形公式 若用若用 f(a),f(a+b/2)和和 f(b)的加权平均值近似的加权平均值近似 f()，则可得则可得辛甫生公式第4页/共45页一般求积公式q 更一般地，可以用更一般地，可以用 f(x)在在 a,b 上的一些离散点上的一些离散点上的值加权平均作为 f()的近似值，从而构造出求积节点求积节点求积系数求积系数机械求积法：求积系数仅仅与结点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式第5页/共45页机械求积的问题描述已知n+1个x以及在这些x上的函数值求解此函数在某个区间的积分值如何衡量这个公式的好坏？第6页/共

3、45页代数精度定义定义如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f(x)，公式精确成立，但对于某一次数为 m+1 的多项式不精确成立，则称该求积公式的代数精度为 m 次。q 要要验证一个求积公式具有验证一个求积公式具有 m 次代数精度，只需验证次代数精度，只需验证对对 f(x)1,x,x2,xm 精确成立，但对精确成立，但对 f(x)xm+1 不精不精确成立即可，即：确成立即可，即：(k=0,1,m)第7页/共45页已知：求积公式对于xk（k=0，1，m）均能准确成立求证：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立证明：由已知条件知（k=0，1，m）证明两种说法的等价性第8页/共45页则即：

4、求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立第9页/共45页举例（一）q 例：例：试确定系数试确定系数 i，使得下面的求积公式具有尽可能，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。解：解：将将 f(x)1,x,x2 代入求积公式，使其精确成立得代入求积公式，使其精确成立得 解得解得 0=1/3,1=4/3,2=1/3，所以求积公式为，所以求积公式为易验证该公式对易验证该公式对 f(x)x3 也精确成立，但对也精确成立，但对f(x)x4 不精确成立，所不精确成立，所以此求积公式具有以此求积公式具有 3 次代数精度。次代数精

5、度。第10页/共45页矩形和梯形公式的代数精度q 容易容易验证：验证：左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度q 特别地，特别地，具有具有 m(0)次代数精度的次代数精度的求积公式满足求积公式满足：辛甫生公式具有 三次 代数精度第11页/共45页如何求解求积公式我们可以用代数精度作为标准来构造求积公式.譬如两点公式式中含有两个待定参数 A0，A1，令它对于 f（x）=1，f（x）=x 准确成立，有第12页/共45页解之得 A0=A1=（b-a）/2.这说明，形如（5）且具有一次代数精度的求积公式必为梯形公式（1）.这一论断从几何角度来看是十

6、分明显的.如何求解求积公式第13页/共45页如何求解求积公式第14页/共45页如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个？有2n+2个能够达到的代数精度是多少？2n+1个此时的方程为非线性方程思考题第15页/共45页插值型求积公式基本思想由已知的n+1个点以及在这n+1个点上的函数值，作拉格朗日插值，得到pn(x)则第16页/共45页插值型求积公式q 设 f(x)在节点 上的函数值为 f(xi)，作 n 次拉格朗日插值多项式于是有其中 。插值型求积公式插值型求积公式q 误差：第17页/共45页插值型求积公式由于由于 n 次拉格朗日插值对次拉格朗日插值对 f(x)1,x,x2,xn 精确成立，精确

7、成立，所以所以 n 次插值型求积公式的代数精度至少为次插值型求积公式的代数精度至少为 n 次。次。q 代数精度：反之，如果求积公式反之，如果求积公式 的代数精度至少为的代数精度至少为 n 次，则它必定是插值型的。次，则它必定是插值型的。简证简证：求积公式对拉格朗日插值基函数：求积公式对拉格朗日插值基函数 lk(x)精确成立，精确成立，即有即有定理定理 求积公式 至少具有 n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。第18页/共45页结论定理 1 形如（4）的求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.问题：（1）如何判定一个求积公式是插值型的？（2）如何求作一个插值型的求积公

8、式？第19页/共45页例题1试检查下列求积公式的代数精度：解 直接检查易知，原式对于 准确成立，但当 时其左端=1/5，而右端=左右两端不相等，故所给求积公式仅有三阶精度。第20页/共45页例题2试构造下列求积公式，使其代数精度尽量高，并证明所构造出的求积公式是插值型的：第21页/共45页例题2第22页/共45页第23页/共45页例题3构造下列形式的插值型求积公式，并指明该求积公式所具有的代数精度：第24页/共45页第25页/共45页第26页/共45页求积公式的设计 试设计求积公式 第27页/共45页第28页/共45页第29页/共45页第30页/共45页例题2第31页/共45页第32页/共45页第33页/共45页例题3 试设计求积公式第34页/共45页第35页/共45页第36页/共45页例题4试设计求积公式第37页/共45页第38页/共45页第39页/共45页第40页/共45页例题5试设计求积公式 第41页/共45页第42页/共45页第43页/共45页第44页/共45页感谢您的观看。第45页/共45页