数值分析数值积分与数值微分.pptx

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1、1 1 引引 言言一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数要求被积函数 有解析表达式有解析表达式；的原函数的原函数 为初等函数为初等函数第1页/共74页实际问题1.1.的原函数的原函数 不能用初等函数表示不能用初等函数表示例如函数:考虑一个实际问题考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.第2页/共74页假若要求波纹瓦长假若要求波纹瓦长4 4英尺英尺,每个波纹的高度每个波纹的高度(从中心线从中心线)为为1 1英寸英

2、寸,且每个波纹以近似且每个波纹以近似 英寸为一个周期英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需求制做一块波纹瓦所需铝板的长度铝板的长度L.L.从从 到到 英寸间的英寸间的弧长弧长L L.这个问题就是要求由函数给定的曲线给定的曲线,第3页/共74页 由微积分学我们知道由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:上述积分称为上述积分称为第二类椭圆积分第二类椭圆积分。Whats the Original function?!Its so complex that we can not get it.第4页/共74页2 2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限有些被积函数其原函数虽

3、然可以用初等函数表示成有限形式形式,但表达式相当复杂但表达式相当复杂,计算极不方便计算极不方便.例如函数例如函数:并不复杂并不复杂,但它的原函数却但它的原函数却十分复杂十分复杂:第5页/共74页3.3.没有解析表达式，只有数表形式没有解析表达式，只有数表形式:1423454.5688.5原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那怎么办呢？呵呵这就需要积分的数值方法来帮忙啦。第6页/共74页二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义第7页/共74页2、数值积分的理论依据依据积分中值定理,对于连续函数 ,在 内存在一点 ,使得称 为区间 的平均高度.第8页/共74页3、求积公式的构造 若简单选取区间

4、端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：第9页/共74页左矩形公式：第10页/共74页中矩形公式：第11页/共74页右矩形公式：第12页/共74页 若取 两点，并令 ，则可得梯形公式（两点求积公式）第13页/共74页第14页/共74页则可得Simpson公式(三点求积公式)若取三点，并令 第15页/共74页 一般地，取区间 内 个点处的高度通过加权平均的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为机械求积:第16页/共74页 或写成或写成:数值积分公式求积系数 求积节点 第17页/共74页记称为数值求积公式称为求积公式余项(误差).第18页/共74

5、页三、求积公式的代数精度1、问题的提出构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有:(i)确定求积系数 和求积节点 (iii)求积公式的误差估计和收敛性分析.(ii)判定求积公式精度的衡量标准；第19页/共74页 称求积公式 具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:2、定义(i)对所有次数m次的多项式 ,有(ii)存在m+1次多项式 ,使得第20页/共74页上述定义中的条件(i),(ii)等价于:第21页/共74页2 2 插值型求积公式插值型求积公式一、定义在积分区间 上，取 个节点作 的 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有其中，为插值余项。第22页/共74页于是有：取Ak由 节点 决

6、定，与 无关。称为插值型求积公式第23页/共74页第24页/共74页二、截断误差与代数精度1、截断误差第25页/共74页2、代数精度推论 求积系数 满足:形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即：）定理第26页/共74页3 Newton-Cotes3 Newton-Cotes公式公式一、Cotes系数取节点为等距分布：由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数：令Cotes系数第27页/共74页二、Newton-Cotes公式1、定义：记则求积公式变为称上式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式。第28页/共74页注意:由式确定的Cotes系数

7、只与 和 有关,与 和积分区间无关，且满足:第29页/共74页2、截断误差Newton-Cotes公式的误差为:与x有关第30页/共74页3、代数精度作为插值型求积公式，具有 次代数精度，阶Newton-Cotes公式至少而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？定理当阶数 为偶数时,Newton-Cotes公式至少具有次代数精度。第31页/共74页证明:只需验证当 为偶数时,Newton-Cotes公式对的余项为零。由于 ,所以 即得引进变换 ,因为 为偶数,故 为整数,于是有据此可断定 ,因为上述被积函数是个奇函数.第32页/共74页4、数值稳定性现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设用公式

8、 近似计算积分时,其中计算函数值 有误差则在 的计算中,由 引起的误差为没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑,计算，而第33页/共74页如果 都是正数,并设则有故 是有界的,即由 引起的误差受到控制,的 倍,不超过保证了数值计算的稳定性。将出现负数,而当 时,将随 增大,因而不能保证数值稳定性.故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.第34页/共74页三、几种常用的低阶求积公式n=1:梯形公式/*令 x=a+th,h=b a,用中值定理*/代数精度=1第35页/共74页n=2:Simpson 公式代数精度=3第36页/共74页n=4:Cotes 公式 代数精度=5,这里

9、第37页/共74页四、复化求积公式 高次插值有Runge 现象，怎么办？可采用分段低次插值来解决高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定。而低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求，怎么办？可将积分区间 分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。第38页/共74页 复化梯形公式：在每个 上用梯形公式：=Tn/*中值定理*/第39页/共74页 复化梯形公式积分法复化梯形公式积分法第40页/共74页 复化 Simpson 公式：44444=Sn第41页/共74页 复化复化Simpson公式积分法公式积分法第42页/共74页 复化 Cotes公式：=Cn第43

10、页/共74页 收敛速度与误差估计：定义：若一个积分公式的误差满足 ，且 ，则称该公式是 p 阶收敛的。第44页/共74页例:利用数据表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464计算积分解：这个问题有明显的答案第45页/共74页取n=8用复化梯形公式=3.138988494取n=4 用辛卜生公式=3.141592502运算量基本相同第46页/共74页复化梯形公式的误差估计给定精度 ，如何取?例如：要求 ，如何判断 n=？1、误差先验估计式记则第47页/共74页?上例中若要求 ，则即：取 n=

11、409通常采取将区间不断对分的方法，即取 n=2k上例中2k 409 k=9 时，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。2、误差后验估计式第48页/共74页复化Simpson公式的误差估计1、误差先验估计式2、误差后验估计式第49页/共74页复化Cotes公式的误差估计1、误差先验估计式2、误差后验估计式第50页/共74页四、龙贝格积分例:计算已知对于 =10 6 须将区间对分 9 次，得到 T512=3.14159202考察由 来计算 I 效果是否好些？=3.141592502=S4一般有：Romberg求积公式第51页/共74

12、页 Romberg 算法：?T1=)0(0T T8=)3(0T T4=)2(0T T2=)1(0T S1=)0(1T R1=)0(3T S2=)1(1T C1=)0(2T C2=)1(2T S4=)2(1T第52页/共74页 理查德森外推法利用低阶公式产生高精度的结果。由Taylor展开得到：i 与 h 无关现将 对分，得：设对于某一 ，有公式 近似计算某一未知值 。第53页/共74页如何将公式精度由 提高到？.432112)()(23322020 =hhIhTTh 即：第54页/共74页计算步骤：1取 ，计算2对k=1,2,计算下列各步第55页/共74页3对n=0,1,2,k=n 1,n 2

13、,4收敛控制若或则输出积分值 ，否则转3 3。第56页/共74页Newton-Cotes公式采用等距节点作为求积节点代数精度至多可达到 。（为偶数）那么，在节点个数一定的情况下，是否可以在 上自由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高？第57页/共74页例：求形如的两点求积公式。（1）用梯形公式（即以x0=-1，x1=1为节点的插值型 求积公式）立即可得 。只具有一次代数精确度！第58页/共74页（2）若对求积公式中的四个待定系数A0,A1,x0,x1适当选取，使求积公式对f(x)=1，x，x2，x3都准确成立，则需满足如下方程组：第59页/共74页第60页/共74页五、高斯型积分构造具有2

14、n+1次代数精度的求积公式将节点 以及系数 都作为待定系数。令 代入可求解，得到的公式具有 次代数精度。节点称为Gauss 点此公式称为Gauss 型求积公式第61页/共74页例：求 的 2 点 Gauss 公式。解：设 ，应有 3 次代数精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入 f(x)=1,x,x2,x3不是线性方程组，不易求解。第62页/共74页定理：x0 xn 为 Gauss 点 与任意次数不大于n 的多项式 P(x)（带权）正交。证明：“”x0 xn 为 Gauss 点,则公式 至少有 2n+1 次代数精度。对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)，Pm(x)w(x

15、)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：=00 求 Gauss 点 求w(x)第63页/共74页不大于 的多项式 精确成立，即证明：“”要证明 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数设0 第64页/共74页 正交多项式族正交多项式族 0,1,n,有性质：任意次数不大于有性质：任意次数不大于n 的多项式的多项式 P(x)必必与与 n+1 正交。正交。若取 w(x)为其中的 n+1，则 n+1的根就是 Gauss 点。第65页/共74页53=a0)(10=+dxaxx0),(10=+=+=1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910=cb

16、即：Step 1：构造正交多项式 2设cbxxxaxxx+=+=2210)(,)(,1)(再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfx第66页/共74页Step 2：求 2=0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0，x1Step 3：代入 f(x)=1,x 以求解 A0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：利用此公式计算 的值注：构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行。第67页/共74页 特殊正交多项式族：Legendre 多项式族：1)(xr r定义在 1,1上，满足：由 有递推以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre

17、公式。第68页/共74页 Chebyshev 多项式族：211)(xx=r r定义在 1,1上，Tn+1 的根为k=0,n以此为节点构造公式称为 Gauss-Chebyshev 公式。注意到积分端点 1 可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。第69页/共74页 Gauss 公式的余项：插值多项式的余项/*设P为f 的过x0 xn的插值多项式*/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/第70页/共74页Hermite 多项式！什么样的插值多项式在 上有 阶？第71页/共74页Hermite 多项式的插值条件为：插值余项为其中，与有关。第72页/共74页Hermite求积公式的余项第73页/共74页感谢您的观看！第74页/共74页