数学物理方法积分变换法求解定解问题.pptx

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1、1 积分变换法积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积解方法对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方的解积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途尤其当泛定方程及边界条件均为程等）中亦具有广泛的

2、用途尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解利用积分变得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的量法不能得到的第1页/共35页2 特别是特别是对于无界或半无界的定界问题对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来，用积分变换来 求解，

3、最合适不过了（注明：无界或半无界的定界问题求解，最合适不过了（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）也可以用行波法求解）用积分变换求解定解问题的步骤为：用积分变换求解定解问题的步骤为：第一第一：根据自变量的：根据自变量的变化范围和定解条件变化范围和定解条件确定选择适当确定选择适当的的积分变换积分变换；对于自变量在对于自变量在 内变化的定解问题内变化的定解问题（如无界域（如无界域的坐标变量）常采用的坐标变量）常采用傅氏变换傅氏变换，而自变量在，而自变量在 内变化内变化的定解问题（如时间变量）常采用的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换拉氏变换 第2页/共35页3 第二第二：对方程取积分

4、变换，将一个：对方程取积分变换，将一个含两个自变量含两个自变量的偏微分的偏微分方程化为方程化为一个含参量一个含参量的常微分方程；的常微分方程；第三第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；条件；第四第四：求解：求解常微分方程的解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；，即为原定解问题的变换；第五第五：对所得解取：对所得解取逆变换逆变换，最后得，最后得原定解问题的解原定解问题的解第3页/共35页42.2.傅里叶变换法解数学物理定解问傅里叶变换法解数学物理定解问题题 用用分离变量法求解有限空间的定解问题分离变量法求解有限空间的定解问题时，所

5、得到时，所得到 的的本本征值谱征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶傅里叶级数级数对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积对连续本征值求积分的傅里叶积分分的傅里叶积分 因此，对于因此，对于无限空间的定解无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求适用的求解方法本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空

6、间）的定界问题的基本方法，并解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式给出几个重要的解的公式 第4页/共35页5下面的讨论我们假设待求解的函数下面的讨论我们假设待求解的函数 及其一阶导数是有限的及其一阶导数是有限的 .弦振动问题弦振动问题例1 求解无限长弦的自由振动定解问题求解无限长弦的自由振动定解问题（假定假定：函数：函数 及其及其一阶导数是有限一阶导数是有限的的)第5页/共35页6简化表示为简化表示为 对其它函数也作傅氏变换，即为对其它函数也作傅氏变换，即为解解 应用傅里叶变换，即用应用傅里叶变换，即用 遍乘定解问题中的各式，遍乘定解问题中的各式，并对并对

7、空间变量空间变量x积分积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对傅氏变换对：第6页/共35页7于是原定解问题变换为下列于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题常微分方程的定解问题上述常微分方程的通解为上述常微分方程的通解为代入代入初始条件初始条件可以定出可以定出第7页/共35页8这样这样最后，上式乘以最后，上式乘以 并作并作逆傅氏变换逆傅氏变换应用应用延迟定理和积延迟定理和积分定理得到分定理得到这正是前面学过的的达朗贝尔公式这正是前面学过的的达朗贝尔公式.第8页/共35页9 为了说明为了说明

8、傅氏变换法解非齐次方程傅氏变换法解非齐次方程特别简便，我们特特别简便，我们特举一举一强迫弦振动强迫弦振动问题：问题：求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题解解根据与例根据与例1 1 相同的方法，相同的方法，作傅氏变换作傅氏变换例例2 2第9页/共35页10我们容易得到原定解问题可变换为下列我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题常微分方程的问题上述问题的解为上述问题的解为利用利用傅氏变换的性质傅氏变换的性质有有第10页/共35页11代入得到代入得到即得即得故得到故得到第11页/共35页12热传导问题热传导问题例 3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问

9、题求解无限长细杆的热传导（无热源）问题解解 作傅氏变换作傅氏变换 定解问题变换为定解问题变换为第12页/共35页13常微分方程的初值问题的解是常微分方程的初值问题的解是 再进行逆傅里叶变换，再进行逆傅里叶变换，交换积分次序交换积分次序第13页/共35页14引用积分公式引用积分公式且令且令 以便利用积分公式，即以便利用积分公式，即得到得到第14页/共35页15例4 求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题解解 利用利用 对定解问题作对定解问题作傅氏变换傅氏变换，得到常微分方程的定解问题，得到常微分方程的定解问题 上述问题的解为上述问题的解为第15页/共35页1

10、6为了求出上式的逆变换，利用下面为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式傅氏变换的卷积公式，即，即 若若 则则 而积分而积分 即为即为 最后得到定解问题的解为最后得到定解问题的解为第16页/共35页17稳定场问题稳定场问题 我们先给出求半平面内我们先给出求半平面内 拉普拉斯方程的第一拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进系统解法（读者可以与格林函数解法进行比较）行比较）例例 5 5 定解问题定解问题 解解 对于变量对于变量 作作傅氏变换傅氏变换，有，有第17页/共35页18定解问题变换为常微分方程定解问题变换为常微分方程 因为因为 可取

11、正、负值，所以可取正、负值，所以常微分定解问题的通解常微分定解问题的通解为为 因为因为 ，故得到，故得到常微分方程的解为常微分方程的解为设设 第18页/共35页19根据傅氏变换定义，根据傅氏变换定义，的的傅氏逆变换傅氏逆变换为为再利用再利用卷积公式卷积公式 最后得到最后得到原定解问题的解原定解问题的解为为容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式第19页/共35页20例例6 6 如果定解问题为下列第二边值问题如果定解问题为下列第二边值问题解解 令令 即即 容易得到容易得到 满足定解问题为满足定解问题为第20页/共35页21则根据上述则根据上述稳定场

12、第一边值问题公式稳定场第一边值问题公式故得到故得到第21页/共35页22第22页/共35页23 本节介绍另一种变换法：本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法求解定解问题求解定解问题 无界区域的问题无界区域的问题例例求解无限长细杆的热传导（无热源）问题求解无限长细杆的热传导（无热源）问题12.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题由于要作由于要作傅氏变换的函数傅氏变换的函数必须定义在必须定义在 上，故当上，故当我们讨论我们讨论 半无界问题半无界问题时，就不能对变量时，就不能对变量作傅氏变换了作傅氏变换了 第23页/共35页24由此由此原定解问题中的泛定方程原定解问题中的泛定方程变为变为

13、对方程实施傅氏逆变换来进行求解对方程实施傅氏逆变换来进行求解.利用利用傅氏逆变换公式傅氏逆变换公式【解解】先对时间先对时间 作作拉氏变换拉氏变换 第24页/共35页25以及卷积定理以及卷积定理得方程的解为得方程的解为 式作式作拉氏逆变换拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，并查阅拉氏变换表，得得原定解问题的解原定解问题的解为为第25页/共35页26 解首先作变量解首先作变量 的的拉氏变换拉氏变换 原定解问题即为原定解问题即为半无界区域的问题半无界区域的问题例 2 求定解问题求定解问题第26页/共35页27易得到式的解为易得到式的解为第27页/共35页28又又 故故由于由于及拉氏变换的卷积定理及拉氏变换

14、的卷积定理最后最后,得得原定解问题的解原定解问题的解为为第28页/共35页29【解解】首先作变量首先作变量 的的拉氏变换拉氏变换原定解问题即为原定解问题即为半无界区域的问题半无界区域的问题例 2 求定解问题第29页/共35页30易得到式的解为易得到式的解为因为因为 所以所以又又 故故第30页/共35页31利用利用及及拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理最后最后,得得原定解问题的解为原定解问题的解为第31页/共35页32例例3 3 求解在无失真条件下求解在无失真条件下 电报方程的定解问题电报方程的定解问题（）（）解解令令 并考虑到无失真条件则原方程化为并考虑到无失真条件则原方程化为 （）（）第32页/共35页33 上述问题的解为上述问题的解为因为因为 若对时间若对时间 作拉氏变换有作拉氏变换有于是定解问题化为下列于是定解问题化为下列常微分方程的边值问题常微分方程的边值问题:第33页/共35页34于是于是最后利用拉氏变换的延迟定律最后利用拉氏变换的延迟定律,得得定解问题的解定解问题的解为：为：或所以所以 第34页/共35页35感谢您的观看！第35页/共35页